數(shù)學(xué)高階思維的生本課堂演進(jìn)

張娟萍

? 浙江省杭州市臨安區(qū)青云初級(jí)中學(xué)

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維的重點(diǎn)是課堂中使學(xué)生深度卷入數(shù)學(xué)活動(dòng)過程,實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階.課堂中踐行“不用PPT,不用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)題”[1],由學(xué)生生成數(shù)學(xué)任務(wù)、生長數(shù)學(xué)知識(shí),親歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程.課堂中的練習(xí)題由學(xué)生根據(jù)習(xí)得的數(shù)學(xué)知識(shí)自己編制而成,讓學(xué)生親歷提出問題、分析問題與解決問題的過程.課堂以學(xué)生主動(dòng)參與為本,以深度經(jīng)歷和體驗(yàn)為徑,以思維層次的提升為旨.下面以“特殊平行四邊形”[2]單元復(fù)習(xí)課為例,談?wù)劇吧?、生成、生長”的課堂演進(jìn)過程.

1 由學(xué)生梳理知識(shí),架構(gòu)體系

問題1你有哪些辦法判定一個(gè)四邊形是平行四邊形?

學(xué)生回顧之前學(xué)過的知識(shí),通過思考,回答平行四邊形的判定方法,教材提供了三個(gè)判定定理.

問題2能否說出所有判定平行四邊形的方法?

這個(gè)問題其實(shí)就是指向于學(xué)生去尋找判定方法的規(guī)律或者基本特征,追蹤“判定”的基本方法.

學(xué)生面臨任務(wù)時(shí),會(huì)產(chǎn)生思維的沖突.首先激發(fā)獨(dú)立思考,產(chǎn)生想法,需要得到其他同學(xué)共鳴;碰到困惑和挫折,需要得到其他同學(xué)提示和啟發(fā).這樣學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生交流需求,自覺進(jìn)入群組互動(dòng)環(huán)節(jié).

群組互動(dòng):讓組內(nèi)每位學(xué)生“出聲思考”——“說出”自己的思維及其發(fā)現(xiàn)過程,實(shí)現(xiàn)思維曝光.

小組反饋:要判定一個(gè)四邊形是平行四邊形需要兩個(gè)特征條件,可以考慮邊的特征,也可以考慮角或者對(duì)角線的特征,梳理得到平行四邊形有十個(gè)表現(xiàn)特征,分別為兩組對(duì)邊相等、兩組對(duì)邊平行,兩組對(duì)角相等,兩組鄰角互補(bǔ),兩條對(duì)角線互相平分.這十個(gè)特征里任選兩個(gè)作為條件就可以得到四十五種判定平行四邊形的方法,如表1.至于這些判斷方法是否正確,有待驗(yàn)證.如果是真命題,則需要證明;如果是假命題,則需要舉出反例.

表1

問題3可以用這種方式類比探究其他圖形嗎?

學(xué)生自主探究:獨(dú)立思考—群組互動(dòng)—反饋.要判定四邊形是矩形,還需增加一個(gè)矩形的特征.矩形有兩個(gè)表現(xiàn)特征,選其中一個(gè),即可在原來判定平行四邊形的基礎(chǔ)上判定矩形.同樣的道理要判定四邊形是菱形,還需增加一個(gè)菱形的特征,菱形有三個(gè)表現(xiàn)特征,選其中一個(gè),即可在原來判定平行四邊形的基礎(chǔ)上判定菱形.同學(xué)們得到45×2×3=270種判定一個(gè)四邊形是正方形的方法.因而非常激動(dòng),由同學(xué)歸納判斷一個(gè)四邊形是平行四邊形的基本策略,如圖1所示:

圖1

這其實(shí)是方法的習(xí)得,不僅可以重新梳理整合之前學(xué)習(xí)過的圖形的判定方法,還可以用這樣的方法探究新的圖形.

2 由學(xué)生編題,將知識(shí)轉(zhuǎn)化為問題解決

任務(wù):既然學(xué)習(xí)了判定一個(gè)四邊形是平行四邊形方法,那么用這些知識(shí)可以解決什么樣的問題呢?

此問題引起學(xué)生思考如何將知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)題,養(yǎng)成數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用意識(shí).

環(huán)節(jié)1：每個(gè)學(xué)生獨(dú)立編題.

環(huán)節(jié)2：學(xué)生編題后小組交流,保證編的題更有科學(xué)性和針對(duì)性.通過互動(dòng),學(xué)生的思維能得到回應(yīng)和反饋.吸收各小組反饋的不同結(jié)論、不同思考路徑和創(chuàng)造性的想法,并對(duì)自己的思維進(jìn)行進(jìn)一步加工,因此,群組交流的過程是思維的優(yōu)化過程.

環(huán)節(jié)3：每一組反饋所編的不同類型的題.

環(huán)節(jié)4：組際交流.將各組反饋的所編題目按不同類型、不同難度進(jìn)行歸類和排序,使解決問題變得有序而有梯度.

環(huán)節(jié)5：呈現(xiàn)最終分類、分層的學(xué)生編題.本節(jié)課組際評(píng)估出的思維水平層次較高的兩道編題如下:

例1如圖2,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足為D,AN是△ABC外角∠CAM的平分線,CE⊥AN,垂足為E.

圖2

(1)求證:四邊形ADCE為矩形;

(2)添加什么條件時(shí),四邊形ADCE是一個(gè)正方形?

例2已知,兩個(gè)含30°角的三角板ABC和FED如圖3-1放置,現(xiàn)翻折三角板FED到FE′D,如圖3-2)所示.

圖3-1

圖3-2

(1)求證:四邊形BFE′C是平行四邊形.

(2)要使四邊形BFE′C是矩形,還需要什么條件?有沒有辦法使它為正方形?

3 由學(xué)生追蹤解題和編題過程,提煉方法

環(huán)節(jié)6：解決問題,質(zhì)疑、拓展.

(1)要求所有學(xué)生將他組編的題,落到筆頭.

(2)反饋不同解法、思路及其發(fā)現(xiàn)的路徑;反饋遇到的挫折及其解決辦法;反饋存在的疑問或質(zhì)疑;反饋有創(chuàng)造性的想法,包括有創(chuàng)造性但沒有形成結(jié)論的想法、有創(chuàng)造性但結(jié)論錯(cuò)誤的想法;反饋可能碰到的典型錯(cuò)誤.

(3)由學(xué)生對(duì)編題和解法提出質(zhì)疑和變式.

(4)教師隆重地板書,記錄學(xué)生的表達(dá).

各組在互相點(diǎn)評(píng)、反饋的過程中,吸收并優(yōu)化了自己的思維．

環(huán)節(jié)7：展示編題路徑、提煉編題方法.以供沒有編出題目或者不是按這樣的思路編題的同學(xué)學(xué)習(xí)、反思和評(píng)估.

編得例1的同學(xué)反饋:要編一個(gè)矩形判斷的問題,可由平行四邊形加一個(gè)直角的條件得到,而平行四邊形可以由兩組對(duì)邊分別平行得到.其中一組對(duì)邊平行由“角平分線+等腰三角形”得到;另一組對(duì)邊平行和直角,由“垂直于平行線的兩直線”得到,如圖4所示.

圖4

編得例2的同學(xué)反饋:如圖5所示的流程,我們組想要用一種對(duì)邊平行且相等來得到一個(gè)四邊形是平行四邊形,而對(duì)邊相等可以由全等得到,我們每個(gè)人手頭上都有兩副三角板(用同是含30°角的直角三角板),如圖3-1,兩條斜邊一部分重疊在一條直線上,就滿足了第一個(gè)條件.然后,想要用內(nèi)錯(cuò)角相等來得到對(duì)邊平行,這里有內(nèi)錯(cuò)角,但是沒能得到平行線的內(nèi)錯(cuò)角,于是把一個(gè)三角板翻折下去,如圖3-2,只要判斷四邊形BFE′C是平行四邊形即可.

圖5

評(píng)析：這個(gè)環(huán)節(jié)最有創(chuàng)造性的表現(xiàn)是將三角板實(shí)物操作過程“翻譯”成數(shù)學(xué)圖形,補(bǔ)全△DE′F,尤其補(bǔ)全在實(shí)物操作中并不存在的兩條線段BF和E′C是題目編成和實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的關(guān)鍵所在,“畫出圖形”需要學(xué)生正真理解問題的本質(zhì).

接著,按照?qǐng)D形特征研究的一般方法,想到在平行四邊形的基礎(chǔ)上,需要添加什么條件得到一個(gè)矩形呢?我們?cè)谄叫兴倪呅蜝FE′C的∠FBC處添加了一個(gè)直角符號(hào),但圖中∠FBC明顯不是一個(gè)直角,所以不能直接畫一個(gè)直角符號(hào)就表示它是直角了.先把平行四邊形畫成矩形,判斷它還需要補(bǔ)充什么條件.

評(píng)析：從圖3-2到圖6-1,對(duì)學(xué)生來說是一個(gè)非常簡單的嘗試,但對(duì)下一步起到了重大的作用.因?yàn)榫o接著他們要補(bǔ)充條件得到一個(gè)正方形.

圖6-1

根據(jù)剛才的思路,先把這個(gè)正方形畫出來,滿足正方形的特征,正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角(還需滿足FB與FE′對(duì)稱),而根據(jù)操作,FE′是由FE翻折得到的,因此,當(dāng)平行四邊形BFE′C是正方形時(shí),FB與FE重合,所以點(diǎn)B與E重合,得到圖6-2.

圖6-2

從圖6-1到圖6-2,是學(xué)生創(chuàng)造性思維的體現(xiàn),它來自于數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身的邏輯.最后創(chuàng)造性得到綜合問題:△ABC沿AC的一條垂線對(duì)稱得到△DEF(如圖3-1),再沿AD所在直線對(duì)稱到△DE′F(如圖3-2).(1)求證:四邊形BFE′C為平行四邊形.(2)再添一個(gè)什么條件可得到矩形、正方形呢?學(xué)生經(jīng)過作圖得到圖6-2,從而確定題目條件．

學(xué)生編的題完全達(dá)到了本堂課所要求的思維水平層次,給學(xué)生帶來了很大的鼓舞、震撼和觸動(dòng).

組際提出質(zhì)疑:三角板按圖3-1放置,本身是一個(gè)對(duì)稱圖形,平移就可以直接得到平行四邊形,那么他們組通過翻折得到圖3-2,想得到平行四邊形考慮再對(duì)稱,兩次軸對(duì)稱就成了一次中心對(duì)稱,直接得到平行四邊形.

評(píng)析：整個(gè)構(gòu)圖過程中,學(xué)生自己嘗試條件的構(gòu)造,經(jīng)歷了由知識(shí)點(diǎn)到圖形符號(hào)到數(shù)學(xué)問題的構(gòu)造過程,學(xué)生的評(píng)價(jià)和質(zhì)疑促進(jìn)學(xué)生從不同角度進(jìn)行思考,對(duì)問題的本質(zhì)有了更深層次的理解.

環(huán)節(jié)8：評(píng)價(jià)解題和編題.(1)自我評(píng)估.有什么思維的增長?有什么方法、能力的提升?(2)群組學(xué)生評(píng)價(jià)和質(zhì)疑.小組以題目原創(chuàng)、新穎、思維含量高、解法多樣、編題方法可操作等為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn).(3)教師評(píng)價(jià).以學(xué)生為主體的課堂中,學(xué)生思維的深度在于群組互動(dòng)時(shí),教師能否敏銳地抓取到學(xué)生生成的創(chuàng)造性信息及不同的思維路徑.教師要大張旗鼓地鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)群組互動(dòng)中產(chǎn)生的質(zhì)疑、有創(chuàng)造性的想法.這是對(duì)學(xué)生創(chuàng)造性思維的一種肯定,倡導(dǎo)學(xué)生不只是追求正確的結(jié)論,更多地去追求創(chuàng)造性思維過程.

評(píng)析：由學(xué)生編題,使問題產(chǎn)生(編題及方法)與問題解決(解題及方法)形成閉環(huán),小組交流、反饋,促成學(xué)生創(chuàng)造性思維,提煉編題的方法.教師的行為、煽動(dòng)性的追問,是鼓勵(lì)和回應(yīng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和方法的重要策略.

4 生本課堂發(fā)展學(xué)生高階思維的關(guān)鍵

促動(dòng)學(xué)生高階思維的課堂,關(guān)鍵在于能否以學(xué)生為主體.這需要解決以下三個(gè)問題:

(1)學(xué)生編出來的問題不是教師想要的問題怎么辦?學(xué)生之所以編出這些問題,是他認(rèn)知范圍內(nèi)知識(shí)產(chǎn)生的路徑所理解的問題表述.不用PPT的好處就是可以把這些問題納入課堂要解決的問題,如果預(yù)設(shè)PPT的話,那么學(xué)生編出來的問題不在PPT預(yù)設(shè)之內(nèi),就會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)這樣的狀況:你這個(gè)問題很好,我們課后去研究.因此,利用PPT會(huì)造成教學(xué)沒有辦法以學(xué)生為中心.至于這個(gè)問題的科學(xué)性和內(nèi)容的針對(duì)性在小組互動(dòng)的時(shí)候,已經(jīng)篩選過了,并進(jìn)行了分類、分層.因此,凡是學(xué)生編出來的問題都是課堂中要解決的問題,學(xué)生編出的問題反應(yīng)了學(xué)生的疑問和當(dāng)前的認(rèn)知水平,這些題可能教師自己沒有想到,因而把學(xué)生的問題納入到課堂中來,同時(shí),教師的教學(xué)策略也應(yīng)據(jù)此作出改變.

(2)課程內(nèi)容所涉及到的數(shù)學(xué)知識(shí),如果學(xué)生編寫的問題中沒有得到反映和完善怎么辦呢?事實(shí)上,促動(dòng)學(xué)生有序思考,類比已有知識(shí)探究的方法,課堂上所要研究的問題基本上學(xué)生都會(huì)涉及到;如果沒有想到,小組同學(xué)互動(dòng)一下,經(jīng)過思維的碰撞就會(huì)得到這些問題;進(jìn)一步教師在巡視時(shí)可以介入到小組中對(duì)類似的探究進(jìn)行追問,必然會(huì)追蹤到問題的本源.

(3)學(xué)生為主體的開放課堂怎樣收回來呢?實(shí)際上每次上課都要做好整個(gè)內(nèi)容的設(shè)計(jì)以及PPT(包括PPT的每一張動(dòng)畫),然后,上課之前經(jīng)過深思熟慮會(huì)把PPT刪去,之所以能夠把課堂收回來,最主要的原因是教師對(duì)課堂內(nèi)容非常嫻熟.教師課堂上要關(guān)注教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的反應(yīng),在數(shù)學(xué)內(nèi)容非常熟練的情況下,教師的注意力可都放在學(xué)生身上.學(xué)生編出來的問題,如果正好是預(yù)設(shè)體系里有的內(nèi)容,便可以直接把這個(gè)問題納入到本節(jié)教學(xué)體系中;如果原預(yù)設(shè)中沒有,那就是學(xué)生現(xiàn)場生成的創(chuàng)造性產(chǎn)物.教師要對(duì)學(xué)生新生成的問題作出判斷和評(píng)估,也就是說,能不能挖取到學(xué)生原創(chuàng)的東西,是對(duì)教師最基本能力的考量.