一道初中幾何壓軸題的點(diǎn)評*

刁 琴 石勇國

?內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院

從近年全國各省市中考來看,動態(tài)幾何題已成為中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)題型之一.這類題按照“觀察—抽象—探索—猜測—論證”方式命題,有較好的區(qū)分度,具備探究的功能,有力地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).然而這類題難度大,知識點(diǎn)跨度寬,多數(shù)學(xué)生不易掌握.本文中以2021年孝感孝南區(qū)二模初中數(shù)學(xué)壓軸題為例,利用歸納、類比、猜想、化歸的數(shù)學(xué)思維,結(jié)合數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解分析;同時點(diǎn)評了該題的考點(diǎn)、區(qū)分度、命題設(shè)計,并且給出了變式拓展以及教學(xué)上的幾點(diǎn)建議.

1 試題求解分析

題目在△ABC與△CDE中,∠ACB=∠DCE=90°,且∠CAB=∠CDE=θ,點(diǎn)D始終在線段AB上(不與點(diǎn)A,B重合).

圖1

圖2

對于第(2)問,利用類比、歸納,發(fā)現(xiàn)不變量.根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似,判定Rt△ABC∽Rt△DEC,有

根據(jù)相似三角形的判定定理,即兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等,確定△ACD∽△BCE.于是

∠CBE=∠CAD=θ,∠DBE=90°,

以及相似比

猜想:不管角θ多大,均有△ACD∽△BCE,而且∠DBE是直角.

證明方法類似.

第(3)問利用化歸的方法,轉(zhuǎn)化最值問題進(jìn)行求解.根據(jù)兩個不變量△ACD∽△BCE,∠DBE=90°,結(jié)合M是DE的中點(diǎn)、直角三角形斜邊中線定理和θ=30°,得到BM=ME=MD=CE.

圖3

2 試題點(diǎn)評

2.1 考點(diǎn)知識面寬,區(qū)分度明顯

試題第(1)問考查了三角形全等的判定.第(2)問考查了類比法、三角形相似的判定、相似比以及歸納法的第一步特殊值驗(yàn)證.第(3)問考查了直角三角形的中線定理、勾股定理、直角三角形斜邊大于直角邊,以及最值問題.題中附帶的兩圖,包含了等腰直角三角形、特殊直角三角形等9個三角形,3個四邊形.涉及2個變量,即1個角度變量∠CAD,1個動點(diǎn)D.考點(diǎn)從等腰直角三角形變化為一般的直角三角形,從角度變化到動點(diǎn)變化,從求比值到求最值.問題由易到難、層次分明,考點(diǎn)之間有機(jī)融合,三個小問區(qū)分度明顯,是一道非常好的幾何壓軸題.

2.2 考題變中有定,動中有靜

該題有兩個變量,同時在變化中也有兩個不變量:一是△ACD∽△BCE;二是∠DBE是直角.

為了分解題目的難度,將變量θ依次取特殊值進(jìn)行設(shè)問.第(1)問以簡單特殊值入門,讓考生初步嘗試;第(2)問以另外一個特殊值進(jìn)一步探索,通過類比、歸納、猜想,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)上述兩個不變量.第(3)問將變量θ設(shè)置為固定值,以D為動點(diǎn)求最值.通過化歸的方法,將動態(tài)的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的靜態(tài)最值問題,最后得到解.

題目設(shè)計以學(xué)生為中心,讓學(xué)生從考題中享受探索發(fā)現(xiàn)、類比猜想、驗(yàn)證證明的樂趣.選題動靜結(jié)合,從特殊到一般,在變化之中尋找不變量,在動態(tài)之中尋找最小值.三個小問由易到難、逐步深入,相關(guān)知識點(diǎn)銜接順暢,設(shè)計精巧,是一道適合探索研究的好題.

2.3 考題變化有度,適合變式訓(xùn)練

本題有兩個變量,因此可以設(shè)計較多的變式拓展的訓(xùn)練題.例如下面的問題(4):

(4)若θ=60°,M為DE的中點(diǎn),當(dāng)AC=2時,BM的最小值為多少?

另外考慮點(diǎn)D可能在AB的延長線上,可以設(shè)計如下問題(5):

(5)若θ=60°,且D在直線AB上(不與A,B重合),點(diǎn)M為線段DE的中點(diǎn).若AC=2,當(dāng)△BMC為直角三角形時,求BE的長.

圖4

圖5

再由直角三角形中線定理,可得

3 教學(xué)建議

(1)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維與直觀想象能力

針對幾何題,引導(dǎo)學(xué)生讀題并且聯(lián)想變化過程、繪制多幅圖展示動態(tài)過程,從題目中提取關(guān)鍵信息,在眾多的三角形中找出全等或相似三角形,利用相似比,根據(jù)三角形重要定理,列出邊角所具有的關(guān)系.利用數(shù)形結(jié)合的方式,對題目進(jìn)行雙重表述,鍛煉邏輯思維與直觀想象能力.

(2)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式

按照數(shù)學(xué)的思維方式傳授數(shù)學(xué)知識,提升學(xué)生的四種數(shù)學(xué)思維:從特殊到一般的歸納思維、觸類旁通的類比思維、化繁為簡的化歸思維、“反其道而思之”的逆向思維.引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會遇到問題時該如何發(fā)現(xiàn)規(guī)律、舉一反三、變換化簡、反向思考,逐步養(yǎng)成數(shù)學(xué)思維方法,能夠用數(shù)學(xué)的眼光看問題,了解問題的本質(zhì),分析出難點(diǎn),選擇合適的數(shù)學(xué)方法,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)求解過程,以此訓(xùn)練學(xué)生的思維方式,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

(3)教學(xué)融入德育實(shí)踐

對復(fù)雜的動點(diǎn)幾何題分析不難發(fā)現(xiàn),變量在變化過程中常常會出現(xiàn)數(shù)量關(guān)系保持不變的情形.這就需要我們勇于探索,排除動態(tài)變化的干擾,用數(shù)學(xué)的眼光去發(fā)現(xiàn)不變的規(guī)律,大膽猜測,小心求證.教學(xué)中要融入德育實(shí)踐,在潤物細(xì)無聲中,培養(yǎng)了學(xué)生講理、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇跃?鼓勵學(xué)生認(rèn)識與評價數(shù)學(xué),養(yǎng)成正確的理想信念,增強(qiáng)學(xué)生的興趣與自信心,培養(yǎng)堅(jiān)韌不拔、謙虛謹(jǐn)慎與志存高遠(yuǎn)的品質(zhì),以及追求創(chuàng)新的精神.Z