問題串、變式串、解法串

摘 要：問題串、變式串以及解法串通常被稱為“三串”，教師合理地應用“三串”，可以實現(xiàn)高中數(shù)學教學內(nèi)容的延伸，促使學生的數(shù)學思維得到有效發(fā)展。教師需要根據(jù)“三串”的特點和具體應用方法，構(gòu)建高中數(shù)學教學的基本模式，以促進高中數(shù)學教學的有效開展。文章闡述了“三串”的概念與特點，探討了“三串”在高中數(shù)學教學中的應用，希望能為高中數(shù)學教學的有效開展提供支持。

關(guān)鍵詞：問題串；變式串；解法串；高中數(shù)學教學；基本模式

作者簡介：蔡雪慧（1969—），女，貴州師范大學附屬中學。

高中數(shù)學課程的內(nèi)容比較復雜，涉及的知識點非常多，要求學生構(gòu)建全面、完整的知識架構(gòu)，具備良好的數(shù)學思維。通過基于問題串、變式串以及解法串（“三串”）的高中數(shù)學教學模式，教師可以逐層深入地呈現(xiàn)數(shù)學問題，并結(jié)合各種變式延伸數(shù)學知識，幫助學生形成完整的知識體系，提升學生的數(shù)學思維［1］。將“三串”融入高中數(shù)學教學中，不僅能促使學生有效吸收新學習的數(shù)學知識，還能夠幫助學生復習以前學過的知識內(nèi)容，使新知識和舊知識有機結(jié)合，這既能提升學生的學習效果，又有利于教師開展數(shù)學教學。因此，教師要在充分了解“三串”的基礎上，將其融入高中數(shù)學教學中，有效發(fā)揮其教學作用。

一、“三串”的概念及特點

（一）“三串”的概念

問題串是指針對某一數(shù)學方法、概念、思想構(gòu)建的一系列問題，這些問題之間具有一定的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性，能引導學生逐層理解數(shù)學知識的本質(zhì)，并促使學生掌握數(shù)學方法及數(shù)學核心思想。變式串是指根據(jù)某種范式產(chǎn)生一系列變式，其能使學生的思維保持活躍，有效培養(yǎng)學生的發(fā)散思維。解法串是指針對某一問題從不同維度出發(fā)形成的不同解法，包括一般解法、特殊解法和創(chuàng)新解法，能鍛煉學生的多種能力［2］。

（二）“三串”的特點

問題串具有有序性、自主性以及反思性的特點。有序性是指問題串中的后一個問題均屬于前一個問題的延伸，是根據(jù)前面問題拓展得到的新問題；自主性是指問題串中的每一個問題都能引導學生開展自主探究式學習［3］；反思性是指問題串可以引發(fā)學生的反思，使學生提出新問題。變式串具有廣泛性、深刻性以及創(chuàng)造性的特點。廣泛性是指同一問題可以形成多個不同的變式，考查不同的知識點；深刻性是指變式串可對學生的思維進行深刻培養(yǎng)，使學生學會透過問題看本質(zhì)，深入掌握數(shù)學知識；創(chuàng)造性是指變式串體現(xiàn)了創(chuàng)造性思維，可以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力。解法串具有實踐性、創(chuàng)新性以及發(fā)散性的特點。實踐性表現(xiàn)為一題多解是師生通過實踐得出的結(jié)果［4］；創(chuàng)新性表現(xiàn)為問題的解決思路和解決方法具有創(chuàng)新性；發(fā)散性表現(xiàn)為解法串的形成是依托于發(fā)散性思維的。

二、“三串”在高中數(shù)學教學基本模式中的具體應用

（一）問題串的具體應用

問題是高中數(shù)學教學的基本要素，教師通過問題能夠引導學生思考，增強師生之間的交流，促使學生進行自主探究學習［5］。因此，教師需要重視問題的質(zhì)量，以充分發(fā)揮問題串的作用和功能。在開展高中數(shù)學教學時，教師可以設置一系列問題，引導學生感知、認識、理解數(shù)學概念，從而讓學生循序漸進地掌握數(shù)學概念。

1.概念感知

以《充分條件與必要條件》一課的教學為例，教師可以設置以下問題情境使學生感知概念。

問題1：①已知命題為“如果y＞a2+b2，那么y＞2ab”，請同學們說出該命題的逆命題、否命題以及逆否命題，同時對上述命題的真假做出判斷。②若命題為“如果ab＝0，那么a＝0”，請同學們按照同上要求作答。

對于這種簡單的問題，學生一般可以準確解答。教師借助這樣的具體問題引出抽象的數(shù)學概念，符合學生的認知規(guī)律。同時，這兩個問題還具有“橋梁”的作用，不僅能幫助學生復習舊知識，而且能夠引出本課新知識。

問題2：可否通過增加限制條件的方式使問題1中②的命題變?yōu)檎婷}？

對此，有學生會回答：“設b≠0，且為實數(shù)，如果ab＝0，那么a＝0。”也有學生會回答：“設a/b＝0，如果ab＝0，那么a＝0?！庇纱丝梢姡瑔栴}2的解答方法有多種，能夠在一定程度上拓展學生的思維，并讓學生充分認識到，若要使一個假命題成為真命題，則必須在條件和結(jié)論間附加某種特定關(guān)系。教師可順勢闡述這一關(guān)系的必要性，提出問題：命題條件和結(jié)論之間究竟有何因果關(guān)系？通過這一問題使學生感知充分條件與必要條件，并引出本課內(nèi)容。

2.概念認識

為了使學生對數(shù)學概念有更深刻的認識，教師應對一些數(shù)學概念進行解釋。例如，在解釋“”以及“”符號時，教師可以這樣教學：“為了簡潔地表達因果關(guān)系，我們可以使用一些符號，如問題1中的①，‘如果y＞a2+b2屬于條件，‘那么y＞2ab為結(jié)論，因為該條件可以得出該結(jié)論，所以該命題為真命題，這說明條件和結(jié)論之間存在‘推出關(guān)系，這里的‘推出便可使用‘表示。而問題1的①的逆命題為‘如果y＞2ab，那么y＞a2+b2，這一命題的條件并不能推出‘y＞a2+b2這一結(jié)果，‘不能推出即可使用符號‘表示?！蓖ㄟ^這樣的講述，學生能對“”“”兩個符號以及充分條件和必要條件有初步的認識。此外，教師可以結(jié)合問題2的答案設置新的問題，進一步加深學生對充分條件和必要條件的認識。

問題3：請同學們結(jié)合充分條件和必要條件的概念，對問題2的解答“如果ab＝0且a/b＝0，那么a＝0”進行表述。

對此，學生首先要判定該命題的真假，在判定該命題為真命題后，便可進行如下表述：因為“ab＝0且a/b＝0”“a＝0”，所以“ab＝0且? a/b＝0”是“a＝0”的充分條件。學生回答后，教師可以繼續(xù)提出問題4。

問題4：綜合探究以上原命題及其逆命題，思考如何結(jié)合充分條件和必要條件的概念進行表述。

對此，學生首先要對原命題的逆命題進行真假判定，得出其為真命題。隨后，在問題3的基礎上，其可進行如下表述：因為“a＝0”“ab＝0且a/b＝0”，所以“a＝0”是“ab＝0且a/b＝0”的必要條件，又因為“ab＝0且a/b＝0”是“a＝0”的充分條件，所以“ab＝0且a/b＝0”是“a＝0”的充分必要條件。

同理，教師也可通過問題串的方式加深學生對充分不必要條件、必要不充分條件等概念的認識。

3.概念理解

為了進一步加深學生對上述概念的理解，教師可以預先在教案中設計一些隨堂練習題，以對學生的概念理解情況進行考查。

問題5：以下各選項中哪些條件是“a+b＞0”的充分不必要條件？

A.a＜0且b＜0

B.a＞0且b＞0

C.a＝3且b＝-2

D.a＞0，b＜0且|a|＞|b|

E.a＞-b

教師在學生解答該問題之前可以進行適當引導，輔助學生得出答案。設置該問題主要是為了使學生的思維靈活性得到加強，讓學生能夠深刻認識所學知識。教師也可以讓學生自擬充分必要條件、必要不充分條件、充分不必要條件的命題，以考查學生對相應知識的掌握情況。

4.概念深化

為了加深學生對上述概念的理解，教師還需要對問題進行拓展。

問題6：若p代表某元素x，且∈集合P，q代表這一元素，且∈集合Q，怎樣結(jié)合集合間的關(guān)系理解pq的含義？

學生在思考此問題的過程中，不僅能夠深入學習本課知識點，還能夠復習集合的知識。

由此可見，教師設置層層深入的問題串，可以拓展學生的思維，使學生的思維逐漸深入，將其他知識內(nèi)容與本課知識聯(lián)系起來，從而提升課堂教學效率。

（二）變式串的具體應用

變式教學法是教師在數(shù)學教學中常用的一種教學方法，教師利用變式串可讓不同層次的學生有效理解數(shù)學概念及方法。教師在開展高中數(shù)學教學時可利用變式串提升教學效果。

例如，在探究y＝x+1/x（x＞0）這一函數(shù)的單調(diào)性時，教師便可以利用變式串開展教學。

變式1：從定義角度進行變式，讓學生思考當x＜0時，函數(shù)的性質(zhì)以及圖象是怎樣的。

這一變式能使學生想到函數(shù)的奇偶性，幫助學生畫出圖象草圖，讓學生結(jié)合圖象得出單調(diào)區(qū)間，并在此基礎上研究函數(shù)的單調(diào)性。

變式2：從聯(lián)結(jié)符號角度進行變式，讓學生探究y＝x-1/x這一函數(shù)的特性。

部分學生遇到這種函數(shù)時，會感覺無從下手，這主要是因為學生缺乏反思意識和總結(jié)習慣。該函數(shù)明顯屬于增函數(shù)。

變式3：從常數(shù)改變角度進行變式，讓學生探究y＝x+a/x（a＞0）這一函數(shù)的特性。

實際上，該函數(shù)的圖象與原題類似，只是極值點出現(xiàn)了變化，由x＝±1轉(zhuǎn)變?yōu)?，但?/p>

從學生思維方面來看變化卻比較大，函數(shù)已從常系數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)樽兿禂?shù)函數(shù)。

變式4：從x指數(shù)變化角度進行變式，讓學生探究y＝x2+a/x2（a＞0）這一函數(shù)的特性。

這一變式主要考查復合函數(shù)的知識，對學生提出了更高的要求。

變式5：將原題變?yōu)閥＝xn+a/xn（a＞0，n∈N*）， 讓學生探究該函數(shù)的特性。

該變式的變化屬于指數(shù)變化，與變式4不同的是n屬于未知數(shù)，可能為奇數(shù)，也可能為偶數(shù)，因此學生按照變式4的分析方法，分別對n為奇數(shù)或偶數(shù)的情況進行分析即可。

部分學生在做數(shù)學練習題的時候，經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)有的題目似曾相識，與學過的例題相比，僅改變了數(shù)字和符號，但自己卻還是不知如何下手，思維不清晰，這說明學生掌握的基礎知識還不夠扎實。無論題目變式如何變化，問題的本質(zhì)均是對數(shù)學概念和理論知識的運用，因此，學生只要扎實掌握基礎知識并能靈活運用，便可高效解決變式問題。

（三）解法串的具體應用

教師在高中數(shù)學教學中引入解法串，不僅能幫助學生構(gòu)建完善的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)，而且還能優(yōu)化學生的數(shù)學思維，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力。

例如，在進行函數(shù)值域求解教學時，教師可以設置如下問題：在求函數(shù)y＝（x+1）/（x2+2x+2）的值域時，我們除了可以將其倒過來求得1/y的范圍，進而求解原函數(shù)的值域，還能怎樣求解？

解法1：先將x+1替換為t（t∈R），則原函數(shù)可變換為y＝t/（t2+1），然后分情況討論，分別探究t＝0時和t≠0時的情況，進而得出函數(shù)的值域。

解法2：采用判別式法解題，將分母向左移，通過化簡可以得出yx2+（2y-1）x+2y-1＝0，之后分別探討y=0時和y≠0時的情況，進而得出函數(shù)的值域。

解法3：采用求導法，結(jié)合求導除法法則求出極值點，從而判定該函數(shù)的遞減和遞增情況，最終求出該函數(shù)的值域。

解法串可以引導學生從不同的角度思考問題，拓展學生的解題思路，提升學生的數(shù)學知識運用能力，培養(yǎng)學生的綜合素質(zhì)。

結(jié)語

“三串”在高中數(shù)學教學中比較常用，教師將其融入高中數(shù)學教學中可以使高中數(shù)學教學的基本模式更豐富、充實，對于提升課堂教學效率和效果有重要作用。此外，教師結(jié)合“三串”開展高中數(shù)學教學，還可以培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，讓學生掌握更多的解題技巧，形成完整的數(shù)學知識架構(gòu)。

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