問題串、變式串、解法串

摘 要：?jiǎn)栴}串、變式串以及解法串通常被稱為“三串”，教師合理地應(yīng)用“三串”，可以實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的延伸，促使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到有效發(fā)展。教師需要根據(jù)“三串”的特點(diǎn)和具體應(yīng)用方法，構(gòu)建高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基本模式，以促進(jìn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的有效開展。文章闡述了“三串”的概念與特點(diǎn)，探討了“三串”在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，希望能為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的有效開展提供支持。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}串；變式串；解法串；高中數(shù)學(xué)教學(xué)；基本模式

作者簡(jiǎn)介：蔡雪慧（1969—），女，貴州師范大學(xué)附屬中學(xué)。

高中數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容比較復(fù)雜，涉及的知識(shí)點(diǎn)非常多，要求學(xué)生構(gòu)建全面、完整的知識(shí)架構(gòu)，具備良好的數(shù)學(xué)思維。通過基于問題串、變式串以及解法串（“三串”）的高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式，教師可以逐層深入地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，并結(jié)合各種變式延伸數(shù)學(xué)知識(shí)，幫助學(xué)生形成完整的知識(shí)體系，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維［1］。將“三串”融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅能促使學(xué)生有效吸收新學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，還能夠幫助學(xué)生復(fù)習(xí)以前學(xué)過的知識(shí)內(nèi)容，使新知識(shí)和舊知識(shí)有機(jī)結(jié)合，這既能提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，又有利于教師開展數(shù)學(xué)教學(xué)。因此，教師要在充分了解“三串”的基礎(chǔ)上，將其融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有效發(fā)揮其教學(xué)作用。

一、“三串”的概念及特點(diǎn)

（一）“三串”的概念

問題串是指針對(duì)某一數(shù)學(xué)方法、概念、思想構(gòu)建的一系列問題，這些問題之間具有一定的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性，能引導(dǎo)學(xué)生逐層理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，并促使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)方法及數(shù)學(xué)核心思想。變式串是指根據(jù)某種范式產(chǎn)生一系列變式，其能使學(xué)生的思維保持活躍，有效培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。解法串是指針對(duì)某一問題從不同維度出發(fā)形成的不同解法，包括一般解法、特殊解法和創(chuàng)新解法，能鍛煉學(xué)生的多種能力［2］。

（二）“三串”的特點(diǎn)

問題串具有有序性、自主性以及反思性的特點(diǎn)。有序性是指問題串中的后一個(gè)問題均屬于前一個(gè)問題的延伸，是根據(jù)前面問題拓展得到的新問題；自主性是指問題串中的每一個(gè)問題都能引導(dǎo)學(xué)生開展自主探究式學(xué)習(xí)［3］；反思性是指問題串可以引發(fā)學(xué)生的反思，使學(xué)生提出新問題。變式串具有廣泛性、深刻性以及創(chuàng)造性的特點(diǎn)。廣泛性是指同一問題可以形成多個(gè)不同的變式，考查不同的知識(shí)點(diǎn)；深刻性是指變式串可對(duì)學(xué)生的思維進(jìn)行深刻培養(yǎng)，使學(xué)生學(xué)會(huì)透過問題看本質(zhì)，深入掌握數(shù)學(xué)知識(shí)；創(chuàng)造性是指變式串體現(xiàn)了創(chuàng)造性思維，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。解法串具有實(shí)踐性、創(chuàng)新性以及發(fā)散性的特點(diǎn)。實(shí)踐性表現(xiàn)為一題多解是師生通過實(shí)踐得出的結(jié)果［4］；創(chuàng)新性表現(xiàn)為問題的解決思路和解決方法具有創(chuàng)新性；發(fā)散性表現(xiàn)為解法串的形成是依托于發(fā)散性思維的。

二、“三串”在高中數(shù)學(xué)教學(xué)基本模式中的具體應(yīng)用

（一）問題串的具體應(yīng)用

問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要素，教師通過問題能夠引導(dǎo)學(xué)生思考，增強(qiáng)師生之間的交流，促使學(xué)生進(jìn)行自主探究學(xué)習(xí)［5］。因此，教師需要重視問題的質(zhì)量，以充分發(fā)揮問題串的作用和功能。在開展高中數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，教師可以設(shè)置一系列問題，引導(dǎo)學(xué)生感知、認(rèn)識(shí)、理解數(shù)學(xué)概念，從而讓學(xué)生循序漸進(jìn)地掌握數(shù)學(xué)概念。

1.概念感知

以《充分條件與必要條件》一課的教學(xué)為例，教師可以設(shè)置以下問題情境使學(xué)生感知概念。

問題1：①已知命題為“如果y＞a2+b2，那么y＞2ab”，請(qǐng)同學(xué)們說出該命題的逆命題、否命題以及逆否命題，同時(shí)對(duì)上述命題的真假做出判斷。②若命題為“如果ab＝0，那么a＝0”，請(qǐng)同學(xué)們按照同上要求作答。

對(duì)于這種簡(jiǎn)單的問題，學(xué)生一般可以準(zhǔn)確解答。教師借助這樣的具體問題引出抽象的數(shù)學(xué)概念，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。同時(shí)，這兩個(gè)問題還具有“橋梁”的作用，不僅能幫助學(xué)生復(fù)習(xí)舊知識(shí)，而且能夠引出本課新知識(shí)。

問題2：可否通過增加限制條件的方式使問題1中②的命題變?yōu)檎婷}？

對(duì)此，有學(xué)生會(huì)回答：“設(shè)b≠0，且為實(shí)數(shù)，如果ab＝0，那么a＝0?！币灿袑W(xué)生會(huì)回答：“設(shè)a/b＝0，如果ab＝0，那么a＝0?！庇纱丝梢?，問題2的解答方法有多種，能夠在一定程度上拓展學(xué)生的思維，并讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到，若要使一個(gè)假命題成為真命題，則必須在條件和結(jié)論間附加某種特定關(guān)系。教師可順勢(shì)闡述這一關(guān)系的必要性，提出問題：命題條件和結(jié)論之間究竟有何因果關(guān)系？通過這一問題使學(xué)生感知充分條件與必要條件，并引出本課內(nèi)容。

2.概念認(rèn)識(shí)

為了使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念有更深刻的認(rèn)識(shí)，教師應(yīng)對(duì)一些數(shù)學(xué)概念進(jìn)行解釋。例如，在解釋“”以及“”符號(hào)時(shí)，教師可以這樣教學(xué)：“為了簡(jiǎn)潔地表達(dá)因果關(guān)系，我們可以使用一些符號(hào)，如問題1中的①，‘如果y＞a2+b2屬于條件，‘那么y＞2ab為結(jié)論，因?yàn)樵摋l件可以得出該結(jié)論，所以該命題為真命題，這說明條件和結(jié)論之間存在‘推出關(guān)系，這里的‘推出便可使用‘表示。而問題1的①的逆命題為‘如果y＞2ab，那么y＞a2+b2，這一命題的條件并不能推出‘y＞a2+b2這一結(jié)果，‘不能推出即可使用符號(hào)‘表示?！蓖ㄟ^這樣的講述，學(xué)生能對(duì)“”“”兩個(gè)符號(hào)以及充分條件和必要條件有初步的認(rèn)識(shí)。此外，教師可以結(jié)合問題2的答案設(shè)置新的問題，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)充分條件和必要條件的認(rèn)識(shí)。

問題3：請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合充分條件和必要條件的概念，對(duì)問題2的解答“如果ab＝0且a/b＝0，那么a＝0”進(jìn)行表述。

對(duì)此，學(xué)生首先要判定該命題的真假，在判定該命題為真命題后，便可進(jìn)行如下表述：因?yàn)椤癮b＝0且a/b＝0”“a＝0”，所以“ab＝0且? a/b＝0”是“a＝0”的充分條件。學(xué)生回答后，教師可以繼續(xù)提出問題4。

問題4：綜合探究以上原命題及其逆命題，思考如何結(jié)合充分條件和必要條件的概念進(jìn)行表述。

對(duì)此，學(xué)生首先要對(duì)原命題的逆命題進(jìn)行真假判定，得出其為真命題。隨后，在問題3的基礎(chǔ)上，其可進(jìn)行如下表述：因?yàn)椤癮＝0”“ab＝0且a/b＝0”，所以“a＝0”是“ab＝0且a/b＝0”的必要條件，又因?yàn)椤癮b＝0且a/b＝0”是“a＝0”的充分條件，所以“ab＝0且a/b＝0”是“a＝0”的充分必要條件。

同理，教師也可通過問題串的方式加深學(xué)生對(duì)充分不必要條件、必要不充分條件等概念的認(rèn)識(shí)。

3.概念理解

為了進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)上述概念的理解，教師可以預(yù)先在教案中設(shè)計(jì)一些隨堂練習(xí)題，以對(duì)學(xué)生的概念理解情況進(jìn)行考查。

問題5：以下各選項(xiàng)中哪些條件是“a+b＞0”的充分不必要條件？

A.a＜0且b＜0

B.a＞0且b＞0

C.a＝3且b＝-2

D.a＞0，b＜0且|a|＞|b|

E.a＞-b

教師在學(xué)生解答該問題之前可以進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)，輔助學(xué)生得出答案。設(shè)置該問題主要是為了使學(xué)生的思維靈活性得到加強(qiáng)，讓學(xué)生能夠深刻認(rèn)識(shí)所學(xué)知識(shí)。教師也可以讓學(xué)生自擬充分必要條件、必要不充分條件、充分不必要條件的命題，以考查學(xué)生對(duì)相應(yīng)知識(shí)的掌握情況。

4.概念深化

為了加深學(xué)生對(duì)上述概念的理解，教師還需要對(duì)問題進(jìn)行拓展。

問題6：若p代表某元素x，且∈集合P，q代表這一元素，且∈集合Q，怎樣結(jié)合集合間的關(guān)系理解pq的含義？

學(xué)生在思考此問題的過程中，不僅能夠深入學(xué)習(xí)本課知識(shí)點(diǎn)，還能夠復(fù)習(xí)集合的知識(shí)。

由此可見，教師設(shè)置層層深入的問題串，可以拓展學(xué)生的思維，使學(xué)生的思維逐漸深入，將其他知識(shí)內(nèi)容與本課知識(shí)聯(lián)系起來，從而提升課堂教學(xué)效率。

（二）變式串的具體應(yīng)用

變式教學(xué)法是教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的一種教學(xué)方法，教師利用變式串可讓不同層次的學(xué)生有效理解數(shù)學(xué)概念及方法。教師在開展高中數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)可利用變式串提升教學(xué)效果。

例如，在探究y＝x+1/x（x＞0）這一函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，教師便可以利用變式串開展教學(xué)。

變式1：從定義角度進(jìn)行變式，讓學(xué)生思考當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)的性質(zhì)以及圖象是怎樣的。

這一變式能使學(xué)生想到函數(shù)的奇偶性，幫助學(xué)生畫出圖象草圖，讓學(xué)生結(jié)合圖象得出單調(diào)區(qū)間，并在此基礎(chǔ)上研究函數(shù)的單調(diào)性。

變式2：從聯(lián)結(jié)符號(hào)角度進(jìn)行變式，讓學(xué)生探究y＝x-1/x這一函數(shù)的特性。

部分學(xué)生遇到這種函數(shù)時(shí)，會(huì)感覺無從下手，這主要是因?yàn)閷W(xué)生缺乏反思意識(shí)和總結(jié)習(xí)慣。該函數(shù)明顯屬于增函數(shù)。

變式3：從常數(shù)改變角度進(jìn)行變式，讓學(xué)生探究y＝x+a/x（a＞0）這一函數(shù)的特性。

實(shí)際上，該函數(shù)的圖象與原題類似，只是極值點(diǎn)出現(xiàn)了變化，由x＝±1轉(zhuǎn)變?yōu)?，但?/p>

從學(xué)生思維方面來看變化卻比較大，函數(shù)已從常系數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)樽兿禂?shù)函數(shù)。

變式4：從x指數(shù)變化角度進(jìn)行變式，讓學(xué)生探究y＝x2+a/x2（a＞0）這一函數(shù)的特性。

這一變式主要考查復(fù)合函數(shù)的知識(shí)，對(duì)學(xué)生提出了更高的要求。

變式5：將原題變?yōu)閥＝xn+a/xn（a＞0，n∈N*）， 讓學(xué)生探究該函數(shù)的特性。

該變式的變化屬于指數(shù)變化，與變式4不同的是n屬于未知數(shù)，可能為奇數(shù)，也可能為偶數(shù)，因此學(xué)生按照變式4的分析方法，分別對(duì)n為奇數(shù)或偶數(shù)的情況進(jìn)行分析即可。

部分學(xué)生在做數(shù)學(xué)練習(xí)題的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)有的題目似曾相識(shí)，與學(xué)過的例題相比，僅改變了數(shù)字和符號(hào)，但自己卻還是不知如何下手，思維不清晰，這說明學(xué)生掌握的基礎(chǔ)知識(shí)還不夠扎實(shí)。無論題目變式如何變化，問題的本質(zhì)均是對(duì)數(shù)學(xué)概念和理論知識(shí)的運(yùn)用，因此，學(xué)生只要扎實(shí)掌握基礎(chǔ)知識(shí)并能靈活運(yùn)用，便可高效解決變式問題。

（三）解法串的具體應(yīng)用

教師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中引入解法串，不僅能幫助學(xué)生構(gòu)建完善的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，而且還能優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

例如，在進(jìn)行函數(shù)值域求解教學(xué)時(shí)，教師可以設(shè)置如下問題：在求函數(shù)y＝（x+1）/（x2+2x+2）的值域時(shí)，我們除了可以將其倒過來求得1/y的范圍，進(jìn)而求解原函數(shù)的值域，還能怎樣求解？

解法1：先將x+1替換為t（t∈R），則原函數(shù)可變換為y＝t/（t2+1），然后分情況討論，分別探究t＝0時(shí)和t≠0時(shí)的情況，進(jìn)而得出函數(shù)的值域。

解法2：采用判別式法解題，將分母向左移，通過化簡(jiǎn)可以得出yx2+（2y-1）x+2y-1＝0，之后分別探討y=0時(shí)和y≠0時(shí)的情況，進(jìn)而得出函數(shù)的值域。

解法3：采用求導(dǎo)法，結(jié)合求導(dǎo)除法法則求出極值點(diǎn)，從而判定該函數(shù)的遞減和遞增情況，最終求出該函數(shù)的值域。

解法串可以引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考問題，拓展學(xué)生的解題思路，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用能力，培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)。

結(jié)語(yǔ)

“三串”在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中比較常用，教師將其融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)中可以使高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基本模式更豐富、充實(shí)，對(duì)于提升課堂教學(xué)效率和效果有重要作用。此外，教師結(jié)合“三串”開展高中數(shù)學(xué)教學(xué)，還可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，讓學(xué)生掌握更多的解題技巧，形成完整的數(shù)學(xué)知識(shí)架構(gòu)。

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