數(shù)學模型課程研究性教學模式的實踐探索

摘 要：本研究根據(jù)數(shù)學模型課程自身特點，以該課程日常教學為例，探討數(shù)學類專業(yè)課程的研究性教學模式，并總結(jié)研究性教學模式中的經(jīng)驗，分析教學中的收獲和不足，為數(shù)學類專業(yè)課程教學改革提供參考。

關(guān)鍵詞：數(shù)學模型；研究性教學模式；教學改革

《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020）》提出了“全面提高高等教育質(zhì)量”的戰(zhàn)略目標，明確“提高質(zhì)量是高等教育發(fā)展的核心任務，是建設高等教育強國的基本要求”。研究性教學模式是一種注重創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力培養(yǎng)的實踐活動，理論基礎是構(gòu)建主義?？v觀國內(nèi)外教育教學改革進程，研究性教學模式的創(chuàng)新、探索已成為目前高校教學改革的主要方向之一。

鄭州航空工業(yè)管理學院數(shù)學學院承擔著培養(yǎng)數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)人才的使命，數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)為省一流專業(yè)。在學?！暗掠孜唬虒W中心，質(zhì)量至上，育人為本”的辦學理念下，如何培養(yǎng)“具有創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的高素質(zhì)現(xiàn)代化專業(yè)人才”是專業(yè)任課教師始終思考的問題。筆者以數(shù)學模型課程的日常教學為例，探討數(shù)學類專業(yè)課程的研究性教學模式，為今后的教育教學改革提供參考和借鑒。

一、數(shù)學模型課程的研究性教學模式

數(shù)學模型是鄭州航空工業(yè)管理學院數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)的一門必修課程。該課程的總體建設目標是以學生為中心，以問題為主線，旨在充分調(diào)動學生的學習主觀能動性，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)意識和應用實踐能力。研究性教學模式是一個系統(tǒng)、連續(xù)、動態(tài)的教學模式，其整個應用過程需要師生共同參與、相互配合。筆者認為，構(gòu)建數(shù)學模型課程的研究性教學模式，應從以下幾個方面入手。

（一）轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)教學觀念、樹立以人為本教學理念

在日常授課中，教師和學生首先需要轉(zhuǎn)變觀念。傳統(tǒng)的教學理念主要是“灌輸式”教學，把學生當成容器，任課教師主要負責灌輸傳授知識，把容器裝滿。在學生的理解、應用上花費時間不多，這樣長期的教學方式容易導致學生學而不會、會而不用，以至于產(chǎn)生厭學情緒。

研究性教學模式要求任課教師做到以人為本，把灌輸傳授為主的教學方式轉(zhuǎn)化為以引導為主的教學方式。整個授課教學過程真正做到以學生為中心，學生是知識的構(gòu)建者，引導學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，從而活學活用、融會貫通。

教師要真正理解“授人以魚不如授人以漁”，提高學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，具備創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。

（二）以教材為載體，以問題為主線

研究性教學沒有捷徑，在日常授課過程中教材是基礎，是學生學習的依據(jù)，尤其是在數(shù)學類專業(yè)課程中，各種概念、定義、定理、推論等必須理解清晰。如果基本概念沒有掌握好，數(shù)學類課程會越學越累。

同時，在教師的教學過程中必須強調(diào)以問題為主線，貫穿整個教學過程。每一章、每一節(jié)都要找到恰當?shù)?、對應的實例問題作為切入點，以便激發(fā)學生的求知欲和創(chuàng)造性。

（三）學生開展團隊合作，教師發(fā)揮主導作用

教學過程中，通過自由組合或者任課教師指定，在學生中形成若干個學習小組，相互討論和交流，可以有效激勵學生，并能加深學生對問題的理解。

同時，任課教師在日常授課中要發(fā)揮主導作用，要確定教學目標、指導學生整理分析相關(guān)文獻、組織學生討論總結(jié)、對學生學習成效進行評價等，充分發(fā)揮好設計者、引導者、組織者、評價者的功能。

（四）開展多元化評價，促進學生全面發(fā)展

評價是檢驗教學效果的重要方式，鄭州航空工業(yè)管理學院數(shù)學模型課程實行過程性評價和終結(jié)性評價相結(jié)合的多元化考核評價模式。

充分利用線上和線下教學資源，引導學生課前觀看視頻自主學習、查閱文獻資料、完成建模小論文撰寫等。任課教師通過網(wǎng)絡教學平臺記錄的數(shù)據(jù)，以及學生在課堂上參與討論的情況、文獻資料準備情況和課堂表現(xiàn)等，給出過程性評價。

到了期末，學生根據(jù)一個學期的學習情況，將學習成果形成報告或?qū)懗烧撐?，并制作成課件進行展示，同時接受教師和同學的檢查，作為終結(jié)性評價。期末研究成果展示不僅讓學生體驗到自身的價值，還讓其鍛煉了評價能力和表達能力，同時也起到激勵學生繼續(xù)研究的作用。

多元化評價是研究性教學模式的強化環(huán)節(jié)，是培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識、實踐能力不可或缺的部分，可以進一步激勵學生進行再創(chuàng)新、再研究和再應用，促進學生全面發(fā)展。

二、研究性教學案例

數(shù)學模型課程教學內(nèi)容豐富，涉及知識點多，覆蓋面廣，應用性強。該課程既有數(shù)學類專業(yè)課程的特點，又具有其獨特性和復雜性。下面以高等教育出版社謝金星等編寫的《數(shù)學模型》（第五版）第一章第五節(jié)“椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？”為例，說明在數(shù)學模型課程中如何開展基于課堂的研究性教學。

（一）背景及問題提出

首先向?qū)W生描述一個日常生活中的常見現(xiàn)象，即學校每年召開新生軍訓大會時，每名同學都攜帶椅子，由于地面不一定是水泥地，不能保證地面都是水平的，但同學們總能簡單地移動椅子就將其放穩(wěn)。這自然就引出一個問題：椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？

（二）分組討論，教師把控

任課教師讓學生以學習小組為單位討論該問題。讓學生明確研究對象和關(guān)鍵點等信息，并幫助尋找相關(guān)的數(shù)學信息，進行分析討論。隨后，教師進一步追問：學校給同學們使用的椅子都是正方形，如果使用長方形椅子、圓形椅子或其他不規(guī)則形狀的椅子，能否使其在地面上放穩(wěn)？我們應該如何分析和解決這個問題？

（三）將實際問題化為數(shù)學問題

不平的地面在數(shù)學上可以視為連續(xù)曲面，引導學生復習連續(xù)函數(shù)的定義和性質(zhì)；將椅子在地面放穩(wěn)等價于椅子腿和地面接觸，即椅子腿和地面的距離為零，用距離這個數(shù)量指標來衡量是否能使椅子放穩(wěn)；由于學校發(fā)放的椅子是正方形，四條板凳腿對稱，我們以正方形的中心作為平面直角坐標系原點，以椅子腿對角相連作為兩個坐標軸，建立坐標系，然后用旋轉(zhuǎn)角度來表示椅子的移動。

這樣就將現(xiàn)實生活中的椅子是否能放穩(wěn)問題，轉(zhuǎn)化為是否存在角度使得距離這個數(shù)量指標為零的數(shù)學問題。

利用f（θ）表示A、C兩腳與地面的距離之和，g（θ）表示B、D兩腳與地面的距離之和。我們的問題就歸納為如下數(shù)學命題：

已知f（θ）和g（θ）是連續(xù)函數(shù)，對任意θ，f（θ）·

g（θ）=0，且f（■）=g（0）=0，f（0）>0，g（■）>0，證明存在θ0∈[0，2π]，使得f（θ0）=g（θ0）=0。

（四）動手練習，求解模型

讓每個學生都親自動手完成分析、求解的全過程。本問題所運用的數(shù)學理論并不復雜，主要涉及連續(xù)函數(shù)的相關(guān)概念和性質(zhì)。在數(shù)學模型的課程學習中，動手練習是必不可少的，以避免學生養(yǎng)成眼高手低的習慣。

（五）拓展延伸，應用探索

上述分析都假定椅子是正方形，如果將椅子換成長方形或是梯形，還能保證椅子在不平的地面放穩(wěn)嗎？我們是否還能利用上述方法進行建模求解？如果上述方法不適用，需要如何改進？能否進一步給出椅子在不平地面放穩(wěn)的充要條件或充分條件或必要條件？

在這個實際問題的基礎上，給學生提出新的問題，鼓勵學生自己查找資料并嘗試解決，從而鍛煉學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。

利用一個變量θ的函數(shù)f（θ）、g（θ），來達到分析問題和解決問題的目的，同樣的思路和方法能否用在其他實際問題上？如果能，請同學們自己去嘗試尋找，從而培養(yǎng)學生的想象力、洞察力和創(chuàng)造力。

三、結(jié)語

筆者在進行研究性教學的實踐中，也發(fā)現(xiàn)了許多可以商榷的地方。比如教材問題，大部分教材都很經(jīng)典，但個別章節(jié)的內(nèi)容編排可以進一步完善，從而更好地激發(fā)學生的研究興趣，更適合研究性教學模式；評價體系問題，以期末考試進行的傳統(tǒng)考評模式顯然不能滿足研究性教學模式的需求，需要嘗試多元化的線上與線下相結(jié)合、過程性評價和終結(jié)性評價相結(jié)合的評價模式，才能更好地激發(fā)學生的學習興趣。此外，教師自身也需要提高，尤其是提高自身的科研水平。只有教師站位更高、看得更遠，才能更好地引導學生朝著正確的方向前進，實現(xiàn)教研結(jié)合，相互促進。研究性教學不能僅停留在有限個的離散知識點上，要由“點”變?yōu)椤熬€”，趨向于“面”，使研究性教學模式真正成為一種面向全體學生、成規(guī)模、可持續(xù)、有效的教學運行機制。

在研究性教學過程中，可能隨時會出現(xiàn)或發(fā)現(xiàn)新的問題，這就要求任課教師不能停止學習的步伐，要與學生相互配合、共同努力，才能更好地開展研究性教學，讓學生真正具備獲取知識、吸收知識、掌握知識和利用知識的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。

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責編：應 圖

基金項目：鄭州航院研究性教學改革與實踐項目

作者簡介：王戰(zhàn)偉（1979— ），男，鄭州航空工業(yè)管理學院數(shù)學學院副教授，研究方向為應用數(shù)學。