化歸思想在解方程（組）教學(xué)中的應(yīng)用

王志宇 苗鳳華

【摘要】隨著課程改革，在數(shù)學(xué)課程和教學(xué)中滲透一些數(shù)學(xué)思想方法越來越重要，其中化歸思想是數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，在數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)解題中都經(jīng)常用到.初中數(shù)學(xué)解方程（組）教學(xué)主要包括：一元一次方程、二元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程.盡管每類方程（組）的解法不盡相同，但是歸根結(jié)底是利用化歸的基本思想將方程（組）轉(zhuǎn)化為最基本的一元一次方程的問題，文章主要介紹化歸思想在這些內(nèi)容中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】化歸思想；二元一次方程組；一元二次方程；分式方程

一、歷史上的化歸思想應(yīng)用綜述

化歸思想是數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想方法，無論在新知學(xué)習(xí)還是在數(shù)學(xué)解題中都經(jīng)常用到.很多著名學(xué)者都對化歸思想有過比較深入的研究.下面舉幾個典型的例子.

17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾發(fā)明了解析幾何，解析幾何實現(xiàn)了用代數(shù)的方法研究幾何問題，按照他的觀點，所有問題都可化歸為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而可化歸為代數(shù)問題，最終化歸為解方程的問題.笛卡爾建立的平面直角坐標(biāo)系，成功實現(xiàn)了幾何問題向代數(shù)問題的轉(zhuǎn)化.

古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得著的《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)的代表作，這本書構(gòu)建了幾何公理化體系.將眾多幾何命題的證明都?xì)w結(jié)為最基本的定義、公設(shè)和公理，幾何公理化體系是化歸思想的典型應(yīng)用.

我國古代著名的《九章算術(shù)》在歷史上有著非常重要的價值.書中的每一個題目都由“問、答、術(shù)”組成.“術(shù)”即解決問題的方法.書中很多解決問題的方法都體現(xiàn)了化歸思想.此外，很多問題都是將實際生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.這種將生活中的實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的過程充分體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想.

二、化歸思想的概念

化歸思想是指在解決數(shù)學(xué)問題時通過變換條件使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而解決問題的一種方法，即轉(zhuǎn)化和歸結(jié).它是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法，化歸思想往往能夠?qū)⒁恍┪粗?、?fù)雜的問題，轉(zhuǎn)化為已知的、簡單的問題，并使之得到解決.

三、解方程（組）教學(xué)中出現(xiàn)的一些問題

（一）忽視學(xué)生主體性

在實際教學(xué)中，存在著教學(xué)過于注重“基”的落實，而忽視了學(xué)生的主體性的問題.解方程（組）作為數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點內(nèi)容，很多教師過于強調(diào)基礎(chǔ)知識，注重對解方程（組）步驟的歸納，并通過機械訓(xùn)練實現(xiàn)對學(xué)生解題的強化，忽視了對數(shù)學(xué)思想方法的滲透，同時忽視了學(xué)生自己去探究的過程，學(xué)生僅僅知道“怎么做”而不知道“為什么這樣做”，這就難以使學(xué)生了解化歸思想的作用，難以利用化歸思想學(xué)習(xí)知識.

（二）忽視化歸思想滲透

在初中數(shù)學(xué)方程（組）的實際教學(xué)當(dāng)中，許多教師把教學(xué)重點放在歸納解方程的步驟上，忽視了化歸思想的滲透，忽略了知識生成的過程，不肯花費時間讓學(xué)生探索知識的形成過程，抑制了學(xué)生的思維，導(dǎo)致其逐漸喪失了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的欲望.

（三）缺乏精講精練指導(dǎo)

現(xiàn)在很多初中數(shù)學(xué)教師在開展方程（組）有關(guān)內(nèi)容的教學(xué)講解和練習(xí)時引導(dǎo)學(xué)生套用步驟進(jìn)行機械訓(xùn)練.而精講精練應(yīng)該是把講解重點放在對學(xué)生思路的引導(dǎo)：即面對新的知識如何思考，將其轉(zhuǎn)化為已有的知識，并有針對性地進(jìn)行練習(xí)，否則學(xué)生只會死板地套用，并不知道知識間存在的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生則記憶困難，面對陌生一點的題目就無從下手.

四、化歸思想在解方程（組）教學(xué)中的應(yīng)用

方程求解的模式基本為化歸為一元一次方程進(jìn)而化為ax=b（a≠0）的形式進(jìn)行求解.如二元一次方程組相比一元一次方程，多了一個未知數(shù)，在解二元一次方程組時無論是代入消元法還是加減消元法目的都是實現(xiàn)消元，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程的問題；三元一次方程組，是先通過消元的方法化歸為二元一次方程組，再化歸為一元一次方程的求解問題；可化為一元一次方程的分式方程則通過“去分母”轉(zhuǎn)化為整式方程；一元二次方程則通過“降次”轉(zhuǎn)化為一元一次方程的求解問題.

教師教學(xué)前先要對教材內(nèi)容進(jìn)行分析，在進(jìn)行教材分析時就應(yīng)具有化歸意識，找到其中運用的化歸方法及其相關(guān)聯(lián)的化歸思想，厘清各部分知識之間的化歸關(guān)系，更好地對教材相關(guān)知識進(jìn)行整體把握.教師通過教材分析，挖掘出教學(xué)內(nèi)容中能夠滲透的化歸思想，引導(dǎo)學(xué)生掌握化歸方法，實現(xiàn)化歸思想的有效滲透.以華師版初中數(shù)學(xué)教材為例，方程這一部分知識編排如表1所示.

從表1可以看出，雖然不同類型的分布在不同年級的教材中，但是它們之間是存在著一定聯(lián)系的，如圖1所示，各種類型的方程之間存在著化歸關(guān)系.

下面對化歸思想在幾種不同類型的方程中應(yīng)用的進(jìn)行舉例分析.

（一）化歸思想在二元一次方程組教學(xué)中的應(yīng)用

學(xué)生在學(xué)習(xí)解二元一次方程組之前，學(xué)習(xí)過解一元一次方程，因此，可以通過化歸，把“二元”變?yōu)椤耙辉?但是，很多數(shù)學(xué)教師往往側(cè)重于求解的步驟的教學(xué)，忽視了對“化歸”思想的滲透.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》將“能用代入消元和加減消元法解二元一次方程組”變?yōu)椤澳苡孟ń舛淮畏匠探M”，這可以看出新課程標(biāo)準(zhǔn)不再限定學(xué)生用“哪種消元”，而重點是達(dá)到“消元”的目的.如果教師能將化歸思想的滲透落到實處，這樣學(xué)生的分析問題能力、思維能力、邏輯推理能力都會有所增強.

求解這個方程組時，學(xué)生通常用常規(guī)的代入消元和加減消元得出答案.但是要想讓學(xué)生深入理解“化歸思想”的精髓，教師在教學(xué)中可以這樣引導(dǎo)學(xué)生：

【問題引入】出示二元一次方程組，請同學(xué)們思考：方程中有幾個未知數(shù)？這和我們之前學(xué)過的方程有何區(qū)別？引導(dǎo)學(xué)生想出解決思路———消掉其中一個未知數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為學(xué)過的一元一次方程.

【問題】消掉哪個未知數(shù)更好？（引導(dǎo)學(xué)生觀察方程）

在這個過程中學(xué)生能夠充分觀察思考，體現(xiàn)了學(xué)生的主體性.

【歸納】學(xué)生會用各種方法找出解題思路.

把x+y看成一個整體，再將方程②變形為3（x+y）+y=14，③

那么將方程①整體代入③，可得3×4+y=14，

這樣就非常容易將二元一次方程組轉(zhuǎn)化成了一個一元一次方程問題.

【總結(jié)與強化】教師歸納總結(jié)：由于整體代入后容易消掉未知數(shù)x，所以沒有必要按照傳統(tǒng)的固定模式去套用.看到一個二元一次方程，要先觀察、思考，核心是“消元”，而消元方法是多樣的.

這樣就實現(xiàn)了對學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)和精講精練的目的，在具體問題中滲透了化歸思想.

（二）化歸思想在三元一次方程組教學(xué)中的應(yīng)用

三元一次方程組屬于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中規(guī)定的選學(xué)內(nèi)容，不做考試要求，因此很多教師認(rèn)為學(xué)習(xí)三元一次方程組會增加學(xué)生負(fù)擔(dān)，但是如果領(lǐng)悟到解三元一次方程組的基本思想———化歸為二元一次方程組，即可將復(fù)雜問題簡單化.而且，消元的方法不是一成不變的，是靈活的，為了讓學(xué)生意識到這一點，深刻體會轉(zhuǎn)化的思想，可以設(shè)計如下的例題.

【思路分析】觀察后發(fā)現(xiàn)方程①的左邊是x+y，而方程②的括號里也是x+y，可以把x+y視為一個整體，把方程①直接代入到方程②中，將方程②直接轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而達(dá)到“消元”的目的.

這樣的設(shè)計，可以讓學(xué)生通過例子體會到通過“整體代入”達(dá)到“消元”的目的，很容易地將三元一次方程組的問題轉(zhuǎn)化為簡單的二元一次方程組進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題.

（三）化歸思想在一元二次方程教學(xué)中的應(yīng)用

對學(xué)生而言，一元二次方程的學(xué)習(xí)難度是比較大的.而一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可以在不解方程也能得到一元二次方程的兩根和與兩根積的值.因此，它在一些求參數(shù)的值以及取值范圍時非常適用.此外，有時可以將非一元二次方程的問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程，將復(fù)雜問題簡單化.

學(xué)生在完成兩個任務(wù)時可先進(jìn)行思考，再進(jìn)行討論.

【總結(jié)】請同學(xué)思考，我們把這個問題化歸為了一個什么問題？

這樣的教學(xué)過程，將復(fù)雜的題目轉(zhuǎn)換成為一元二次方程，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系問題.這樣解決了問題的同時讓學(xué)生有了化歸意識，體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性以及對學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo).

（四）化歸思想在換元法解決方程問題中的應(yīng)用

中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的分式方程僅僅局限于可化為一元一次方程的分式方程，對于超出這個范圍的分式方程，我們可以通過換元的方法將其轉(zhuǎn)化為學(xué)過的方程，實現(xiàn)化歸.

換元法就是用一個新的符號將未知式子代替，將復(fù)雜問題簡化.它可以將不熟悉的問題轉(zhuǎn)換為熟悉的問題，進(jìn)而提高解題效率.在解一些較復(fù)雜的分式方程時，換元的一種常用方法，它還可以起到降次的作用，把高次方程轉(zhuǎn)化為低次方程，這是化歸思想的體現(xiàn).

這個問題能讓學(xué)生意識到，陌生問題可以通過化歸，轉(zhuǎn)化為熟悉的問題.學(xué)生通過這個問題的解決進(jìn)一步理解了化歸思想，避免了遇到新問題“束手無策”的情況.

結(jié) 語

在解方程（組）的教學(xué)當(dāng)中，化歸思想是非常重要的數(shù)學(xué)思想之一，化歸思想可以將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題.讓學(xué)生抓住核心問題、深刻理解，更好地培養(yǎng)學(xué)生的思維.教師在日常教學(xué)中，要積極融入化歸思想，不斷激發(fā)學(xué)生的探究數(shù)學(xué)新知的興趣，提高課堂教學(xué)效率.

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