初中數(shù)學(xué)例題變式教學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)

朱加鵬

【摘要】初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)依賴于例題，教師應(yīng)該注重例題的設(shè)計(jì)與精心改編，避免例題教學(xué)功能單一.例題變式能夠讓例題教學(xué)的功能大為增強(qiáng)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)十分有利，所以教師要明確和掌握例題變式的策略及技巧.基于此，文章結(jié)合現(xiàn)有的研究及實(shí)踐成果，探究初中數(shù)學(xué)例題變式教學(xué)的可行之策，為初中數(shù)學(xué)教師提供些許建議.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；例題；例題變式

初中數(shù)學(xué)例題變式中要遵循三大原則，即系統(tǒng)性原則、目的性原則、深入性原則.在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的指導(dǎo)下，初中數(shù)學(xué)的教師們更關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育，同時(shí)關(guān)注習(xí)題講評(píng)、例題變式教學(xué)，取得了不錯(cuò)的教學(xué)成效.例題變式教學(xué)面臨一些較問題，大部分教師奉行簡(jiǎn)單的“拿來主義”，在例題變式中沒有深入思考、預(yù)設(shè)追問、精心改編，導(dǎo)致例題變式教學(xué)未能達(dá)到理想目標(biāo).教師要不斷豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在初中數(shù)學(xué)例題變式教學(xué)過程中注重自我思考和自我反思，例題變式的功能完善，能夠給學(xué)生更多的啟發(fā)和有效訓(xùn)練.

一、初中數(shù)學(xué)例題變式的優(yōu)勢(shì)

教師通過初中數(shù)學(xué)例題變式教學(xué)，可以取得良好的教學(xué)效果，其優(yōu)勢(shì)非常值得肯定.首先，例題變式教學(xué)會(huì)拓展新問題，借助新問題可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，且進(jìn)一步提高思維的廣度與深度.在基于“新問題”的例題變式中，基本問題和新問題之間有緊密關(guān)聯(lián)，比如兩者具有層層遞進(jìn)的關(guān)系，新問題是基于基本問題向外延展而形成的，也正是因?yàn)槿绱耍卣沟男聠栴}能夠促使學(xué)生的思維朝著縱深方向發(fā)展，進(jìn)一步體悟到知識(shí)類比、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的用法.教師如果長(zhǎng)時(shí)間進(jìn)行例題變式教學(xué)，一定可以開闊學(xué)生的解題思路，提升學(xué)生解題速度與能力.

其次，例題變式設(shè)計(jì)時(shí)，教師可以隱藏掉例題中的某一條件，如此設(shè)計(jì)，有助于發(fā)展學(xué)生的發(fā)散式思維.當(dāng)例題中的某一條件被隱藏，例題的題意可能會(huì)變化或完全改變，此時(shí)雖然解題難度增加，但卻可以有效激發(fā)學(xué)生的探究興趣和解題興趣.長(zhǎng)時(shí)間做“隱去某一條件”的例題，學(xué)生的思維會(huì)具備發(fā)散性，也會(huì)形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度.

再次，在例題變式設(shè)計(jì)中，教師通過改變其中的某一個(gè)條件，有助于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的邏輯思維，促進(jìn)邏輯思維的嚴(yán)密性.教師將例題中的某一個(gè)條件或多個(gè)條件改變之后，學(xué)生難以覺察，從而更認(rèn)真地審題和思考，可以潛移默化地培養(yǎng)審題能力、邏輯思維.教師要注意一點(diǎn)，即例題變式設(shè)計(jì)要始終遵循學(xué)生的當(dāng)前水平，不應(yīng)該超出學(xué)生當(dāng)前的學(xué)習(xí)能力、認(rèn)知水平及解題能力，避免做徒勞的例題變式教學(xué).

最后，教師在初中數(shù)學(xué)例題變式設(shè)計(jì)中，可將例題的條件、結(jié)論互換，這樣的題型可以培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維.以初中數(shù)學(xué)的幾何證明題為例，教師應(yīng)該將逆向思維法的技巧傳授給學(xué)生.比如，在證明“某兩條邊相等”時(shí)，教師可以叮囑學(xué)生只需要證明某兩個(gè)三角形相等，再比如，證明“三角形全等”時(shí)，叮囑學(xué)生思考證明缺少的條件需要怎樣做輔助線.基于這樣的思考，學(xué)生在解題時(shí)可以將過程順利寫出.

二、初中數(shù)學(xué)例題變式的常見形式

（一）一題多變

借助“一題多變”的題型，可以有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)思維的靈活性.在一題多變中，教師要努力借助例題幫助學(xué)生全方位、廣視角和多層次地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題，達(dá)到“做一題會(huì)一類”的效果.如，這樣一道例題，“？ABCD中，已知DE=BG，AF=CH，那么如何求證EG和HF互相平分？”如圖1所示.在例題變式設(shè)計(jì)中，教師可以設(shè)計(jì)三種題型.

第一，給出具體問題及條件，即？ABCD的對(duì)角線是AC，BD，已知AC，BD交于點(diǎn)O，且EF過點(diǎn)O分別和AB、CD相交，交點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，請(qǐng)求證OE=OF.如圖2.

第二，如果GH⊥BD，GH分別交AD，BC于點(diǎn)G，H，此時(shí)將BG、DH連接起來，所形成的四邊形BGDH是什么樣的四邊形？如圖3.

第三，觀察圖2，大膽地說一說哪些線段連接起來可以形成哪一些新的平行四邊形？為了提高例題變式教學(xué)的針對(duì)性，教師可以直接給學(xué)生呈現(xiàn)如圖4.

（二）一題多問

在一道例題中，教師可以圍繞例題的本質(zhì)提出較多問題，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行深度思考，促使認(rèn)知不斷提高與深化.以蘇教版八年級(jí)上冊(cè)“全等三角形”為例，教師可以在復(fù)習(xí)課上對(duì)學(xué)生進(jìn)行例題變式教學(xué).例題是“在△ABC中，已知AB=AC，△ABC的角平分線是BD，CE，現(xiàn)在求證BD=CE”，在一題多問的設(shè)計(jì)中，教師可以提出四個(gè)問題.第一，是否可以用不同的方法求證BD=CE.第二，若原問題的已知條件不變，能獲得哪些結(jié)論呢？第三，如果要證明同樣的結(jié)論，那么可以試著改變哪些已知條件呢？第四，請(qǐng)你可以試著對(duì)例題進(jìn)行精心改編，甚至是可以改變圖形，編出新問題并解決.除此之外，為切實(shí)鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，教師可以將“一題多問”的設(shè)計(jì)機(jī)會(huì)留給學(xué)生，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí).比如，以蘇教版八年級(jí)下冊(cè)“平行四邊形的判定”為例，教師可以給學(xué)生提這樣的問題，即“有一個(gè)對(duì)角線相等的四邊形，現(xiàn)在將四條邊中點(diǎn)順次連接起來，你們能說一說所得到的四邊形是什么四邊形嗎？”在此基礎(chǔ)上，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合自身情況設(shè)計(jì)題目，且應(yīng)該是圍繞著給出的問題進(jìn)行例題變式設(shè)計(jì).

（三）一題多解

在初中數(shù)學(xué)例題教學(xué)中，教師要避免學(xué)生形成思維定式，而是應(yīng)該確保思維具有靈活性和發(fā)散性，避免思維方式的千篇一律.毋庸置疑，很多的初中數(shù)學(xué)例題并不是只有一種解答方法，教師應(yīng)該多讓學(xué)生進(jìn)行“一題多解”的訓(xùn)練，在此過程中發(fā)展學(xué)生的思維求異性.有這樣的一道例題：△ABC和△ADE等腰三角形，點(diǎn)D和點(diǎn)E都在BC上，已知AB=AC，AD=AE，求證BD=CE.一些學(xué)生運(yùn)用了“等腰三角形底邊上的三線合一”這一性質(zhì)，順利求證出BD=CE，部分學(xué)生運(yùn)用了“三角形全等的判定定理”，得出△ABD≌△ACE，或者是得出△ABE≌△ACD，最后都可以得出BD=CE.除此之外，還有學(xué)生嘗試用“等腰三角形是軸對(duì)稱圖形”這一性質(zhì)進(jìn)行解題.總而言之，為激發(fā)學(xué)生“一題多解”的意識(shí)及思維，教師要給學(xué)生足夠的鼓勵(lì)和支持，引領(lǐng)學(xué)生在解題時(shí)擅長(zhǎng)換一種思維或角度進(jìn)行思考，積極地尋找不同的解決方法.學(xué)生長(zhǎng)時(shí)間參與在“一題多解”的訓(xùn)練中，數(shù)學(xué)思維一定可以變得發(fā)散、靈活且富有創(chuàng)新性.

（四）多題一解

在初中數(shù)學(xué)例題的設(shè)計(jì)中，有較多的例題雖然條件和求證的結(jié)論有所不同，但卻可以借用同一種方法或思路進(jìn)行解題，即“多題一解”.在引導(dǎo)學(xué)生做多題一解的數(shù)學(xué)題時(shí)，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)，發(fā)現(xiàn)和厘清其中的規(guī)律，為后續(xù)的解題奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，同時(shí)達(dá)到訓(xùn)練解題思維深刻性的效果.以蘇教版八年級(jí)下冊(cè)“相似三角形”為例，教師應(yīng)重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生用相似三角形的知識(shí)解決生活中問題的能力.首先，教師可以給學(xué)生設(shè)計(jì)有關(guān)于相似三角形知識(shí)的題，即“在△ADE中，已知∠DAE=120°，DE上的兩點(diǎn)分別是B和C，△ABC是一個(gè)等邊三角形，請(qǐng)你證明三條線段BC，CE，BD有什么樣的關(guān)系？”在這一道例題中，學(xué)生需要在解題過程中將BC分別用AB，AC替代，同時(shí)通過運(yùn)用相似三角形的相關(guān)知識(shí)，得出一個(gè)結(jié)論：BC2=BD×CE.待學(xué)生順利解答題目之后，教師可以對(duì)題目進(jìn)行變形處理，再設(shè)計(jì)出一道證明題，并要求學(xué)生通過思考獨(dú)立完成.比如，“在△ADE中，已知∠DAE=120°，DE上的兩點(diǎn)分別是B和C，△ABC是一個(gè)等邊三角形，現(xiàn)在求證BC2=BD×CE”.兩道題目本質(zhì)上是相似或相同的，解題時(shí)的思路也是一樣的.學(xué)生通過做題，既可以加深對(duì)相似三角形知識(shí)的理解，又可使解題思維具備深刻性.

三、初中數(shù)學(xué)例題變式教學(xué)的策略

（一）進(jìn)行簡(jiǎn)單的改編

在初中數(shù)學(xué)例題變式設(shè)計(jì)中，為了讓例題變式教學(xué)面向全體學(xué)生，確保每位學(xué)生獲得相應(yīng)的良好發(fā)展，教師應(yīng)該把握好“簡(jiǎn)單改編”這一要求.所講的簡(jiǎn)單改編是指教師不改變例題的考查方向、設(shè)問意圖，而是簡(jiǎn)單改變例題中的數(shù)據(jù)及字母，如此可以確保學(xué)困生參與其中.

比如，在蘇教版八年級(jí)上冊(cè)“一次函數(shù)”的例題教學(xué)中，有這樣的一道例題，即一次函數(shù)y=（k-2）x+（3-b），如果y和x之間具有增大而增大的關(guān)系，那么k和b的取值范圍是什么？如果一次函數(shù)的圖像和y軸的交點(diǎn)位于y軸的負(fù)半軸，那么k和b的取值范圍是什么？基于此，教師可以對(duì)例題進(jìn)行簡(jiǎn)單的改編，即“一次函數(shù)y=（3m-2）x+（1-n），如果y和x之間具有增大而增大的關(guān)系，那么m，n的取值范圍是什么？如果一次函數(shù)的圖像和y軸的交點(diǎn)位于y軸的正半軸，那么m，n的取值范圍是什么？”在例題變式教學(xué)中，教師可以先給學(xué)生講解例題，幫助學(xué)生理解“一次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)”這一知識(shí)內(nèi)容，使學(xué)生積累成功經(jīng)驗(yàn)再進(jìn)行變式，在此基礎(chǔ)上所設(shè)計(jì)的題目只是簡(jiǎn)單換了字母及數(shù)據(jù)，所有學(xué)生都可以正確做題，對(duì)學(xué)困生、中等生及優(yōu)等生均是有利的，均可以達(dá)到鞏固強(qiáng)化的效果.

（二）注重“置換”設(shè)問

所講的“置換”設(shè)問，是指將例題的條件與結(jié)論交換，從而得到新的題目.比如“兩直線平行，同位角相等”是學(xué)生解題的重要性質(zhì)，反過來也可以用“同位角相等，兩直線平行”這一性質(zhì)，如此便可以稱之為“置換”設(shè)問.比如，這樣的例題.Rt△ABC中，∠C和∠B分別是90°，60°，可得出BC∶AB的關(guān)系為（ ）.在例題變式教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)這樣的題目：在Rt△ABC中，已知∠C是90°，且AB=2BC，那么如何求證∠A=30°.如果班級(jí)學(xué)生的整體水平較高，則教師可以繼續(xù)進(jìn)行例題變式，提出這樣的題目：在Rt△ABC中，已知∠C和∠A分別是90°，30°，現(xiàn)在取AB的中點(diǎn)為點(diǎn)D，并連接CD，請(qǐng)證明AB=2CD.學(xué)生通過解答教師所設(shè)計(jì)的三道題目，可以對(duì)“直角三角形的重要性質(zhì)”這一知識(shí)點(diǎn)有深刻的理解，思維和解題能力都可以得到訓(xùn)練.

（三）適時(shí)增設(shè)鋪墊

在蘇教版的初中數(shù)學(xué)教材上，一些例題難度較大，學(xué)生在做題時(shí)明顯感到壓力，難以取得良好的成效.針對(duì)于此，在例題變式教學(xué)過程中，教師可以采用“增設(shè)鋪墊”這一方法.其中“增設(shè)鋪墊”，是指教師結(jié)合例題適當(dāng)?shù)脑鲈O(shè)條件或問題，從而讓學(xué)生在做題過程中沒有太大的難度.有這樣的一道例題：等腰直角三角形ACD，邊是AD，AC，CD，以三條邊為直徑畫半圓，可因此形成2個(gè)月形圖案，如圖5所示即DHCF、AGCE，現(xiàn)在求證DHCF和AGCE的面積之和可以和Rt△ACD的面積相等.可以看出，這一題目對(duì)學(xué)生的解題能力有較高的要求，對(duì)于此，教師可以適時(shí)增設(shè)鋪墊，比如，可以設(shè)計(jì)這樣兩個(gè)問題，一是假設(shè)AD=4，那么可以求出三個(gè)半圓的面積之和嗎？第二，假設(shè)AD是等于m，是否在表達(dá)DHCF和AGCE的面積之和時(shí)用含m的式子.第二道題目促使學(xué)生可以列出含m的式子表達(dá)DHCF和AGCE的面積之和，并因此確定出DHCF和AGCE的面積之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系，后續(xù)的解題可以確定出思路，解題的難度可以因此降低.

結(jié)束語

教師應(yīng)該十分重視初中數(shù)學(xué)例題變式教學(xué)，且要讓例題變式教學(xué)的啟迪性、科學(xué)性處于不斷提高的狀態(tài)，以求幫助學(xué)生有效學(xué)習(xí)，助力學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成.通過分析論述可知，初中數(shù)學(xué)例題變式教學(xué)主要有四種類型，即一題多變、一題多問、一題多解、多題一解，且中考常常考查與之相關(guān)的解題能力，所以教師應(yīng)該多引領(lǐng)學(xué)生做常見四種類型的例題.除此之外，初中數(shù)學(xué)例題變式教學(xué)要盡量面向班級(jí)的每一名學(xué)生，向每名學(xué)生滲透解題方法和解題思路，助力每名學(xué)生有效學(xué)習(xí)與健康發(fā)展.要想實(shí)現(xiàn)以上所述的目標(biāo)，教師們今后在初中數(shù)學(xué)例題變式設(shè)計(jì)中要堅(jiān)持做到深入思考和精心改編.

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