“說數(shù)學(xué)”在教學(xué)中的應(yīng)用研究

牟慶生

摘要：數(shù)學(xué)是思維的體操，將數(shù)學(xué)思維過程用語言表達(dá)出來，有助于教師了解學(xué)生的動(dòng)態(tài)，及時(shí)調(diào)整教學(xué)方向，實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng).本文中以“函數(shù)的零點(diǎn)”教學(xué)為例，具體闡述如何選擇“說”的內(nèi)容，并提出“說”的執(zhí)行方法.說開放話題，制造認(rèn)知沖突；議議新問題，擬定解決方案；辨析新材料，驗(yàn)證解題方案；練典型例題，培養(yǎng)表述能力；評(píng)教學(xué)反饋，增強(qiáng)解題信心.

關(guān)鍵詞：說數(shù)學(xué)；認(rèn)知；材料

說數(shù)學(xué)是指學(xué)習(xí)者用口頭表達(dá)的方式闡述自己對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)、解題思路、思想方法與情感體會(huì)等的過程，一般可概括為：說知識(shí)、說過程、說異見、說體會(huì).說數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)交流的基本形式，能讓學(xué)生在表達(dá)中獲得良好的交流能力，為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成奠定基礎(chǔ).鑒于此，筆者以“函數(shù)的零點(diǎn)”教學(xué)為例，具體談?wù)勅绾螌ⅰ罢f數(shù)學(xué)”應(yīng)用于實(shí)際教學(xué)中.

1 選擇說的內(nèi)容

學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的過程并不一定與教學(xué)過程相符合，其認(rèn)知常常隨著最近發(fā)展區(qū)的發(fā)展而發(fā)展.因此，在說數(shù)學(xué)的內(nèi)容選擇上，應(yīng)契合學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，只有著眼于學(xué)生認(rèn)知的生長(zhǎng)點(diǎn)，才能讓說數(shù)學(xué)起到真正的教學(xué)作用.教師應(yīng)精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程，為學(xué)生搭建“說”的平臺(tái)，并積極配合學(xué)生的“說”，讓師生、生生之間通過對(duì)話的方式，完成教學(xué)任務(wù)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng).

“函數(shù)的零點(diǎn)”教學(xué)是在函數(shù)概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，可利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象等解決方程問題，將函數(shù)的零點(diǎn)和方程的根融合在一起進(jìn)行思考、分析.但在數(shù)形結(jié)合的對(duì)應(yīng)上，學(xué)生常會(huì)出現(xiàn)偏差，有時(shí)因過分倚重一方面，導(dǎo)致其他因素被弱化，所捕捉到的信息不全，出現(xiàn)圖形不準(zhǔn)確或數(shù)據(jù)偏差等問題；也有學(xué)生因等價(jià)轉(zhuǎn)化不合理，導(dǎo)致思維出現(xiàn)混亂等情況.

事實(shí)證明，解題不僅需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力，還要有良好的直覺思維，而用語言表達(dá)則是訓(xùn)練學(xué)生直覺思維的良好方法.

綜上分析，筆者認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)，訓(xùn)練學(xué)生的“說數(shù)學(xué)”能力可選取以下內(nèi)容：①回顧零點(diǎn)的概念與判定方法；②排查教學(xué)活動(dòng)過程中產(chǎn)生的問題，根據(jù)問題擬定解決方案；③課前自測(cè)，驗(yàn)證擬定的方案是否有效，提升學(xué)生的思辨能力；④練習(xí)訓(xùn)練，培養(yǎng)解題表達(dá)能力；⑤及時(shí)反饋，獲得信心.

2 制定說的方法

筆者在研究“說數(shù)學(xué)”的過程中，共經(jīng)歷了以下三個(gè)階段：①自由階段，教師鼓勵(lì)學(xué)生大膽地說，但迫于教師的壓力，效果甚微；②問題階段，教師根據(jù)教學(xué)活動(dòng)需要，設(shè)計(jì)系列化的問題鏈，讓學(xué)生針對(duì)問題，一個(gè)個(gè)地說思路，這種教學(xué)效果雖然不錯(cuò)，但存在教師牽著學(xué)生鼻子走的嫌疑，制約了學(xué)生的自主發(fā)揮；③循序漸進(jìn)階段，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的認(rèn)知水平，遵循一定的規(guī)律、次序，將說數(shù)學(xué)規(guī)劃成說、議、辨、練、評(píng)，五個(gè)層次.

筆者以第三階段的“說數(shù)學(xué)”教學(xué)為例，針對(duì)“分段（復(fù)合）函數(shù)的零點(diǎn)”的教學(xué)，具體談?wù)劇罢f數(shù)學(xué)”的操作過程與方法.

2.1 說開放話題，制造認(rèn)知沖突

此環(huán)節(jié)的目的在于引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)零點(diǎn)的概念與性質(zhì)，強(qiáng)化零點(diǎn)可多元表征的特性.教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在概念的表征上存在模糊性、不靈活性、分散性與不一致性等問題.這些問題會(huì)阻礙學(xué)生的思維發(fā)展.為了幫助學(xué)生從高層次理解這些概念，教師可展開以下教學(xué)活動(dòng).

（1）設(shè)計(jì)開放話題.封閉式的問題只會(huì)禁錮學(xué)生的思維，無法達(dá)到發(fā)散學(xué)生思維的目的.本節(jié)課，教師可提出：“請(qǐng)大家說說對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的理解.”這是一個(gè)典型的開放式問題，學(xué)生在回答過程中，思維角度會(huì)比較寬泛，在學(xué)生暢所欲言時(shí)，同伴進(jìn)行補(bǔ)充，教師在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候進(jìn)行引導(dǎo).若學(xué)生說對(duì)了，緊接著詢問理由；若學(xué)生說錯(cuò)了，則鼓勵(lì)同伴進(jìn)行修正、完善.如此群策群力，即可幫助學(xué)生建立完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

（2）制造認(rèn)知沖突.每個(gè)學(xué)生對(duì)零點(diǎn)的認(rèn)識(shí)都有所區(qū)別，教師可根據(jù)學(xué)生認(rèn)知的差異性，通過一定的教學(xué)手段激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，以激活學(xué)生思維的深度與廣度.如緊扣“零點(diǎn)不是點(diǎn)”的話題，詢問：零點(diǎn)不是點(diǎn)，那是什么？它的本質(zhì)是什么？有什么作用？等等.學(xué)生在對(duì)認(rèn)知沖突的處理中，逐漸實(shí)現(xiàn)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的互相轉(zhuǎn)化（見圖1）.

2.2 議議新問題，擬定解決方案

這是一個(gè)容易被忽視的環(huán)節(jié)，而此環(huán)節(jié)卻是確定研究對(duì)象，激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力的重要機(jī)會(huì).首先要建立多元化的對(duì)話機(jī)制，確定研究對(duì)象.如可用：“你們?cè)诮鉀Q關(guān)于零點(diǎn)的問題時(shí)，曾經(jīng)遇到過哪些障礙？”在學(xué)生的表達(dá)中，師生共同設(shè)計(jì)解決方案.

如學(xué)生在處理f（x）=x2-2x+12的相關(guān)問題時(shí)，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)、整體換元等方法.在學(xué)生提出自己的困惑后，師生共同討論，并獲得解決問題的方案為：如圖1（4），將分段函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成初等函數(shù)的零點(diǎn)問題.若學(xué)生還不能理解這個(gè)方法，可例舉：已知，f（x）=|x|，g（x）=x2-2x+12，分別求f（g（x））與g（f（x））.

通過上述問題的解決，學(xué)生弄清楚了初等函數(shù)的零點(diǎn)問題是怎么變成復(fù)合分段函數(shù)的零點(diǎn)問題.

2.3 辨析新材料，驗(yàn)證解題方案

數(shù)學(xué)教學(xué)并不純粹是解題教學(xué)，而是數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).“說數(shù)學(xué)”說的是思維，到底該用怎樣的方式來辨析新材料，驗(yàn)證解題方案呢？

首先，在新材料的選擇上，可考慮以下幾個(gè)方面：①可用零點(diǎn)相關(guān)知識(shí)來解釋、分析并解決這個(gè)材料；②材料需有新意；③材料要有明確的針對(duì)性.其次，在話題的選擇上，可從以下流程出發(fā)：課前自測(cè)、展示錯(cuò)誤、錯(cuò)題歸因、思考對(duì)策、完善解題.再次，在話題的引領(lǐng)上可提出：你用了哪些方法？為什么選擇這種方法？還有其他方法嗎？這些解題方法錯(cuò)在哪兒？等等.學(xué)生親歷思考、辨析過程，可獲得思維的升華.

本節(jié)課，筆者選擇了以下材料：

（1）已知函數(shù)f（x）=2|x|，x≤0，|lg x|，x＞0，那么函數(shù)g（x）=2f2（x）-3f（x）+1有幾個(gè)零點(diǎn)？

（2）函數(shù)f（x）=|ln x|，如果g（x）=f（x）-ax在區(qū)間（0，4）上存在三個(gè)零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？

（3）若函數(shù)f（x）滿足以下幾個(gè)條件：①定義域?yàn)镽；②x∈R，均有f（2+x）=f（x）；③x∈［-1，1］時(shí)，f（x）=1-|x|，則方程f（x）=12log2|x|在區(qū)間［-3，5］上有幾個(gè)解？

以第（2）個(gè)材料為例，從多角度進(jìn)行“說數(shù)學(xué)”，以培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性與廣闊性.

師：針對(duì)第（2）個(gè)材料，你們會(huì)選擇怎樣的解題方法？并說說理由.

生1：構(gòu)造h（x）=ax，分析函數(shù)h（x）與f（x）=|ln x|這兩個(gè)函數(shù)的圖象（過程略）.

生2：也可以將方程變形為a=|ln x|x，令h（x）=|ln x|x=ln xx，1≤x＜4，-ln xx，0＜x＜1.求導(dǎo)，然后根據(jù)h（x）的圖象來解決問題（過程略）.

師：還有沒有其他方法？

生3：函數(shù)g（x）在（0，1）上必然有一個(gè)零點(diǎn).若將問題轉(zhuǎn)化成g（x）在（1，4）上有兩個(gè)零點(diǎn)，令h（x）=ln x-ax，則h′（x）=1x-a.當(dāng)a≤0時(shí)，h′（x）＞0在（1，4）上恒成立，h（x）最多只有一個(gè)零點(diǎn)，因此可排除.當(dāng)a＞0時(shí)，h′（x）的零點(diǎn)為x=1a，此時(shí)分0＜1a≤1，1a≥4與1＜1a＜4三種情況進(jìn)行分析，最終解得ln 22＜a＜1e.

師生都為生3的解題思路喝彩.觀察以上解題思路，會(huì)發(fā)現(xiàn)區(qū)間端點(diǎn)特別容易被忽略掉，但學(xué)生依然能依靠自主分析完善解題過程.

2.4 練典型例題，培養(yǎng)表述能力

因思維水平的差異，學(xué)生的表述能力也有較大差異.為了讓學(xué)生能想得明白、說得清楚，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過例題訓(xùn)練、小組交流、同伴互評(píng)等方式檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成效.如本節(jié)課，筆者安排了以下例題進(jìn)行教學(xué)：

（1）已知函數(shù)f（x）=x2-2x+1，x＞0，x+1，x≤0，如果關(guān)于x的方程f2（x）-af（x）=0有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，那么a的取值范圍是什么？

（2）若f（x）是偶函數(shù)，其定義域?yàn)镽，當(dāng)x∈［-2，0］時(shí)，f（x）=12x-1，如果在區(qū)間（-2，6］上關(guān)于x的方程f（x）-loga（x+2）=0（a＞1）存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，那么a的取值范圍是什么？

這是兩道關(guān)于零點(diǎn)問題的典型例題，學(xué)生在這兩題的探究過程中，交流合作，最后獲得統(tǒng)一結(jié)論.筆者要求學(xué)生將自己的解題思路、過程與方法分享給大家，如此不僅鍛煉了學(xué)生的口頭表達(dá)能力，還讓學(xué)生在表達(dá)的過程中捋清了自己的思路，完善對(duì)知識(shí)的認(rèn)知.

2.5 評(píng)教學(xué)反饋，增強(qiáng)解題信心

及時(shí)反饋評(píng)價(jià)是教學(xué)活動(dòng)不可或缺的一個(gè)環(huán)節(jié)，同一節(jié)課，從不同價(jià)值觀角度出發(fā)，會(huì)有不一樣的評(píng)價(jià)方式.而不同的評(píng)價(jià)又會(huì)帶領(lǐng)學(xué)習(xí)者朝著不同的方向前進(jìn).從教學(xué)的時(shí)效性出發(fā)，回顧與反饋可結(jié)合在一起用“說數(shù)學(xué)”的方式進(jìn)行.評(píng)價(jià)方式可多層次、多角度、多元化與多樣化.除師生的評(píng)價(jià)以外，還可吸納更多外界人士參與到評(píng)價(jià)中來，以擴(kuò)大評(píng)價(jià)元，提高評(píng)價(jià)效果，增強(qiáng)學(xué)生的解題信心.

總之，師生、生生以及生本的“說數(shù)學(xué)”過程，是多層次的對(duì)話過程，也是多維度的思考過程.學(xué)生在交流中反饋，又在反饋中交流，最終獲得思維的發(fā)展與能力的提升，為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).