提升學(xué)生核心素養(yǎng) 促進(jìn)解題效率提升

孟偉

摘要：在功利教育的影響下，大多師生過于追求短期效益，“灌輸”和“刷題”成為了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主旋律，學(xué)生表達(dá)能力和閱讀能力的培養(yǎng)常常被忽視.本文中以解題為主線，闡述了閱讀能力在發(fā)展學(xué)生思維能力和解題能力中的價值，以期師生能夠關(guān)注閱讀能力的提升，以此切實提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：解題；閱讀能力；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

談起閱讀，大多數(shù)學(xué)生會認(rèn)為那是一些文科課程應(yīng)該做的事情，數(shù)學(xué)屬于理科，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點就是解題，但事實上數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng)同樣重要.閱讀是人類汲取知識的主要手段，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中汲取和借鑒前人經(jīng)驗更有利于學(xué)生認(rèn)識、理解、掌握數(shù)學(xué)知識，進(jìn)而應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題.

高中數(shù)學(xué)課本中許多概念、公式和定理的形成都有它的歷史背景.如果在課前多引導(dǎo)學(xué)生閱讀一些歷史故事，讓他們領(lǐng)悟知識形成的背景及產(chǎn)生的過程，更有利于激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，也便于他們能夠更加全面地認(rèn)識和理解新知.然在現(xiàn)實教學(xué)中，學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng)并沒有得到足夠的重視，學(xué)校更多關(guān)注的是升學(xué)率，教師為了提高升學(xué)率通常將學(xué)生的業(yè)余時間安排得很滿，屬于學(xué)生的閱讀時間很少.即使有閱讀時間大多也是語文教師安排的與考試相關(guān)的名著閱讀，屬于學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀時間少之更少.因此，在學(xué)生的潛意識里就形成了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是解題，若想提高數(shù)學(xué)成績就要多做題這一片面認(rèn)識.為此，大多學(xué)生對于課本上的閱讀內(nèi)容走馬觀花，也就更談不上自主閱讀數(shù)學(xué)書籍了，導(dǎo)致數(shù)學(xué)閱讀與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)漸行漸遠(yuǎn).為了培養(yǎng)學(xué)生閱讀能力，喚醒學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，筆者借助閱讀在數(shù)學(xué)解題中的一些具體應(yīng)用，帶領(lǐng)學(xué)生體會數(shù)學(xué)閱讀價值，以此促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

1 反復(fù)閱讀，厘清題意

在解數(shù)學(xué)題時，順利求解的第一步就是理解題意，而這需要靠閱讀來完成.通過閱讀發(fā)現(xiàn)已知與未知間的聯(lián)系，從而運用公式、定理為已知和未知搭建起相互溝通的橋梁，確定解題思路.然有些數(shù)學(xué)題目過于抽象和復(fù)雜，學(xué)生很難理解題意.對于這類問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)進(jìn)行閱讀，逐詞逐句分析，從而根據(jù)對數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)符號的感知挖掘出隱藏于題目中有價值的信息，進(jìn)而找到解題方法.

例1 已知實數(shù)x，y滿足x-x+1=y+3-y，求x+y的最大值.

師：請同學(xué)們仔細(xì)閱讀題目，看看已知條件x-x+1=y+3-y有什么特征，該如何求解呢？

生1：因為x-x+1=y+3-y，所以x+y=x+1+y+3≤2x+y+42，則（x+y）2≤2（x+y+4），得-2≤x+y≤4，故x+y的最大值為4.

師：很好！聯(lián)想一下圓，看看你們能發(fā)現(xiàn)什么？

問題雖然得以順利求解，但一些基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生理解起來還有一定的難度，于是教師引導(dǎo)學(xué)生從圓的角度去分析，將代數(shù)問題逐漸幾何化，從而借助圖形的直觀性來求解.很快就有學(xué)生找到了如下方法.

生2：設(shè)x+1=u，y+3=v，則x-x+1=y+3-y可化為u2-1-u=v-v2+3，即u-122+v-122=92（u，v為正數(shù)）.這樣問題可以轉(zhuǎn)化為求x+y=u2-1+v2-3=u2+v2-4的最大值，再轉(zhuǎn)化為求圓

u-122+v-122=92（u，v為正數(shù)）

上任意一點Q（u，v）與原點O距離的平方的最大值.結(jié)合圖形，可得x+y的最大值為322+222-4=4.

例1經(jīng)過生2的換元轉(zhuǎn)化，結(jié)合幾何圖形找到了新方法.在解題過程中，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度反復(fù)閱讀，學(xué)生不僅順利理解了題意，而且找到了解決問題的突破口，便捷求解了問題.

2 類比轉(zhuǎn)化，融會貫通

眾所周知，轉(zhuǎn)化是解題的必經(jīng)之路.類比轉(zhuǎn)化是常用手段，通過對相似、相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)想，從而將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，借助二者的區(qū)別與聯(lián)系找到解題的切入點，從而順利解題.值得注意的是，閱讀是發(fā)現(xiàn)相似或相關(guān)內(nèi)容的前提，解題時需要先通過閱讀形成感性認(rèn)知，進(jìn)而應(yīng)用理性的分析逐漸將問題向正方向轉(zhuǎn)化，直至順利求解.

例2 設(shè)A={x|1≤x≤3}，又設(shè)B是關(guān)于x的不等式組x2-2x+a<0，x2-2bx+5<0的解集，且AB，確定a，b的取值范圍.

例2乍看上去就是不等式組的解集問題，但因為是含參的不等式組，若直接求解顯然比較困難，為此仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)求解本題時，可以轉(zhuǎn)化成求方程根的問題，進(jìn)而根據(jù)方程根的分布確定不等式組的解集.于是，記f（x）=x2-2x+a，B1為不等式x2-2x+a<0的解集；記g（x）=x2-2bx+5，B2為不等式x2-2bx+5<0的解集.于是B=B1∩B2，且AB.通過這兩個式子可以得到，f（1）<0，且g（1）<0；f（3）<0，且g（3）<0.代入方程組，得-1+a<0且6-2b<0；3+a<0且14-6b<0.解得a<-3且b>3.這樣，將不等式的解與方程的實根聯(lián)系在一起，使求解水到渠成，輕而易舉.

上述解法中通過有效閱讀和聯(lián)想將問題進(jìn)行了合理的轉(zhuǎn)化，將不等式的解與方程的根相類比，化解了題目的難度.閱讀可以使不同知識點相互溝通，提升解題效率.

3 閱讀分析，合情推理

在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生在解數(shù)學(xué)題時常急于求成，不重視題目的閱讀分析，拿起題就算，待發(fā)現(xiàn)無法求解時再轉(zhuǎn)換策略，這樣不僅會浪費寶貴的時間，而且容易挫傷信心，得不償失.因此，在日常教學(xué)中，要重視學(xué)生閱讀能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生學(xué)會通過閱讀提煉有價值的信息，通過大膽猜測找到解題方法.

例3 數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-an，計算該數(shù)列的前4項并猜想{an}的通項公式.

問題給出后，學(xué)生迅速求出了數(shù)列的前4項.

生1：前4項分別為a1=1，a2=32，a3=74，a4=158.

師：很好！仔細(xì)閱讀上面的計算結(jié)果，你能猜出{an}的通項公式嗎？

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生開始關(guān)注計算結(jié)果，由1，32，74，158這幾個具體的數(shù)大膽猜測出an=2n-12n-1.那么，該猜測是否合理呢？為了進(jìn)一步驗證其合理性，教師又引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行邏輯推理.

生2：當(dāng)n=1時，左邊a1=1，右邊=1，故猜想成立.假設(shè)n=k（k∈N*）時，猜想也成立，則Sk=2k-ak=2k-2k-12k-1.當(dāng)n=k+1時，Sk+1=2（k+1）-ak+1，解得ak+1=12［2（k+1）-Sk］=2k+1-12（k+1）-1，所以當(dāng)n=k+1時，等式也成立.故猜想成立.

師：很好，通過對猜想的合理分析證明了結(jié)論，看來解此類問題的方法大家都已經(jīng)掌握了.

上述解法中在求解{an}通項公式時并沒有直接推理，而是引導(dǎo)學(xué)生通過分析數(shù)列的前4項，大膽猜想出an，這樣不僅提高了求解速度，而且有利于學(xué)生邏輯思維能力的提升.閱讀數(shù)學(xué)資料容易發(fā)現(xiàn)，任何公式和定理的得出都需要經(jīng)歷聯(lián)想和假設(shè)的過程，在教學(xué)中要多制造一些機(jī)會讓學(xué)生大膽猜測，讓學(xué)生的思維能力在猜測中得以提升.

4 邏輯推理，升華能力

數(shù)學(xué)閱讀能力與邏輯推理能力息息相關(guān)，閱讀能力是邏輯推理的前提和保障.但在解決一些比較棘手的數(shù)學(xué)問題時，僅靠審題和猜測有時很難求解，為此需要適時加入一些邏輯推理，使問題的發(fā)展更有目的性和層次性，更有利于知識生成和解題效率提升.

例4 函數(shù)f（x）=13x3+12ax2+bx在區(qū)間［-1，1），（1，3］內(nèi)各有一個極值點.

（1）求a2-4b的最大值；

（2）當(dāng)a2-4b=8時，設(shè)函數(shù)y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線為l，若l在點A處的切線穿過函數(shù)y=f（x）的圖象（即動點在點A附近沿曲線y=f（x）運動，經(jīng)過點A時，從l的一側(cè)進(jìn)入另外一側(cè)），求函數(shù)f（x）的表達(dá)式.

問題給出后，學(xué)生很快得到了第（1）問的答案16.

對于第（2）問，先對f（x）進(jìn)行求導(dǎo)得f′（1）=1+a+b，此時函數(shù)在點（1，f（1））處的切線方程y-f（1）=（1+a+b）（x-1），即y=（1+a+b）x-23-12a.因為切線穿過函數(shù)圖象，令g（x）=f（x）-［（1+a+b）x-23-12a］，所以g（x）在x=1兩側(cè)的函數(shù)值異號，則x=1不是g（x）的極值點.而g（x）=13x3+12ax2+bx-（1+a+b）x+23+12a，且g′（x）=x2+ax-a-1=（x-1）（x+1+a）.

若1≠-1-a，則x=1和x=-1-a都是g（x）的極值點，所以1=-1-a即a=-2.由a2-4b=8，得b=-1.故f（x）=13x3-x-x.

例4是一道“三次函數(shù)求導(dǎo)”問題，在解題過程中運用了邏輯推理，使問題變得更簡單、可控，求解更高效.

總之，在教學(xué)中應(yīng)重視數(shù)學(xué)閱讀能力、表達(dá)能力等的培養(yǎng)，以此來開闊學(xué)生的視野，豐富學(xué)生的內(nèi)涵.同時，學(xué)生的閱讀能力提升了，讀題審題的能力自然也就提升了，題目讀懂了也就覺得數(shù)學(xué)不那么復(fù)雜和抽象了，解題速度和準(zhǔn)確率自然也就提升了.這樣不僅提升了學(xué)生解題能力，思維能力和邏輯推理能力也得到了提升，促進(jìn)了教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn)，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠基了堅實的基礎(chǔ).