基于GeoGebra的函數(shù)性質(zhì)探究

謝濤 程國忠

摘要：本文中基于GeoGebra的可視性，設(shè)計了冪函數(shù)性質(zhì)的探究活動.利用信息技術(shù)，不僅能將數(shù)與形有機結(jié)合，揭示“數(shù)形結(jié)合”是研究一類函數(shù)的基本思想方法，同時也有效地突破了教學(xué)難點，打破了思維障礙.

關(guān)鍵詞：函數(shù)性質(zhì)；冪函數(shù)；GeoGebra；教學(xué)設(shè)計

冪函數(shù)是繼函數(shù)概念及其基本性質(zhì)后所學(xué)習(xí)的第一種基本初等函數(shù)模型.通過對冪函數(shù)的學(xué)習(xí)，構(gòu)建出研究一類函數(shù)的基本方法，即定義與表示—圖象與性質(zhì)—應(yīng)用.在教學(xué)中，大部分教師選擇讓學(xué)生通過觀察圖象，感知和發(fā)現(xiàn)函數(shù)性質(zhì).然而，觀察圖形變化是處理教學(xué)難點的一個關(guān)鍵因素，并且此過程中，函數(shù)圖象均處于靜態(tài)，學(xué)生難以感受到變化中的不變性，導(dǎo)致教學(xué)活動缺乏探究性，學(xué)生思維缺乏主動性.為解決這些問題，本文中基于GeoGebra（以下簡稱GGB）開展探究活動，對新人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第三章第3節(jié)“冪函數(shù)”進行了如下教學(xué)設(shè)計.

1 回顧舊知，引出課題

問題1 前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了有關(guān)函數(shù)的哪些知識？

設(shè)計意圖：通過復(fù)習(xí)回顧所學(xué)內(nèi)容，在學(xué)生原有的知識體系中生長出新的知識，幫助學(xué)生構(gòu)建知識體系，探尋研究路徑.

問題2 利用已有知識，請同學(xué)們解決下列5個問題.

（1）如果張紅購買了價格為1元/kg的蔬菜w kg，那么她需要支付p元，則p=___________.

（2）如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積S=___________.

（3）如果立方體的棱長為a，那么立方體的體積V=___________.

（4）如果一個正方形場地的面積為S，那么這個正方形的邊長a=___________.

（5）如果某人t s內(nèi)騎車行進了1 km，那么他騎車的平均速度v=___________.

追問1：如果去掉這些變量的實際意義，將自變量用x來表示，因變量用y來表示，上述五個式子分別如何表示？

追問2：觀察抽象后的式子，它們在形式上都有哪些共同特征？

追問3：根據(jù)這些特征，可以用一個怎樣的式子進行概括？

師生共同歸納總結(jié)，最終得到冪函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y=xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù).

設(shè)計意圖：“情境問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的平臺”，創(chuàng)設(shè)合適的數(shù)學(xué)情境，有助于激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.通過解決生活中的實際問題，抽象得到熟悉的函數(shù)模型，強化學(xué)生對函數(shù)概念的理解.通過3個追問，引導(dǎo)學(xué)生由這些特殊的函數(shù)概括出一般的形式，由特殊到一般，抽象出冪函數(shù)的定義.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，促使學(xué)生感悟特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.

2 合作探究，體驗過程

問題3 根據(jù)初中研究一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的經(jīng)驗，我們該如何研究冪函數(shù)？

問題4 分別畫出y=x，y=x2，y=x－1這三個函數(shù)的圖象，并研究它們各自具有哪些性質(zhì).

教學(xué)組織：學(xué)生體驗作圖過程，并從定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等方面研究這三個函數(shù)的性質(zhì)，同時明確定義域是研究一個函數(shù)其他性質(zhì)的前提.最后，教師借助GGB準(zhǔn)確作圖，如圖1所示.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧研究一類函數(shù)的基本方法——圖象法，并以學(xué)生熟悉的三個具體函數(shù)作為對象展開研究，符合“最近發(fā)展區(qū)”理論.引導(dǎo)學(xué)生從圖象上直觀感受函數(shù)的基本性質(zhì)，讓學(xué)生體驗“說”的過程，進而體會“形”是研究函數(shù)的一種重要方式.

追問1：它們之間有什么共同的特點？

追問2：將它們放在同一坐標(biāo)系下，有何發(fā)現(xiàn)？

教學(xué)組織：教師將合并后的函數(shù)圖象（如圖2）在GGB上呈現(xiàn)出來，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們的共性，鼓勵學(xué)生提出有關(guān)一般冪函數(shù)性質(zhì)的猜想，并借助GGB加以驗證.

發(fā)現(xiàn)1：這三個函數(shù)圖象有共同的交點，都經(jīng)過點（1，1）.

猜想：冪函數(shù)圖象都經(jīng)過點（1，1）.

探究：你能從代數(shù)的角度證明這一猜想嗎？

根據(jù)冪函數(shù)的解析式f（x）=xα，可知f（1）=1α=1，所以冪函數(shù)的圖象過點（1，1）.

發(fā)現(xiàn)2：函數(shù)y=x，y=x－1是奇函數(shù)，函數(shù)y=x2是偶函數(shù).

猜想：當(dāng)指數(shù)α為奇數(shù)時，冪函數(shù)是奇函數(shù)；當(dāng)指數(shù)α為偶數(shù)時，冪函數(shù)是偶函數(shù).

探究：這是巧合還是必然呢？不妨借助GGB軟件來探究（如圖3）.

首先，在GGB的繪圖區(qū)中創(chuàng)建兩個滑動條，分別表示奇數(shù)和偶數(shù)，用于控制冪函數(shù)的指數(shù).其次，在代數(shù)區(qū)中輸入兩類冪函數(shù)，繪制對應(yīng)的函數(shù)圖象.最后，拖動滑動條，讓學(xué)生觀察當(dāng)指數(shù)α發(fā)生變化時函數(shù)圖象的特點，猜想得以驗證.

設(shè)計意圖：單獨研究每個對象時，要在變化中尋找不變性，即函數(shù)的性質(zhì)，相對困難.因此，需引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用“分與合”這一思想，研究事物的個性與共性，認(rèn)識事物之間的聯(lián)系.對于函數(shù)性質(zhì)的探究，信息技術(shù)不僅讓抽象的函數(shù)“動”了起來，也讓學(xué)生的思維“動”了起來，極大地提高了直觀性，有助于發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

問題5 剛才我們探究發(fā)現(xiàn)，根據(jù)指數(shù)α的奇偶性，可以判斷冪函數(shù)的奇偶性.那么，冪函數(shù)的其他性質(zhì)是否也與α存在一定關(guān)系呢？為深入探究，請同學(xué)們繼續(xù)在該坐標(biāo)系下畫出函數(shù)y=x3和y=x12的圖象（如圖4）.

設(shè)計意圖：對于函數(shù)y=x3的圖象，在描點過程中，部分學(xué)生喜歡取整數(shù)點，導(dǎo)致其與函數(shù)y=x2的圖象在區(qū)間（0，1）上的位置關(guān)系拿捏不準(zhǔn).此時，引導(dǎo)學(xué)生在區(qū)間（0，1）上取點，并利用GGB實現(xiàn)交互，展示取點、列表、描點、連線繪制函數(shù)圖象的動態(tài)過程，借助信息技術(shù)突破教學(xué)中的難點，克服學(xué)生思維上的障礙.同時，從“形”的角度再次證明了前面兩個猜想的正確性.

追問1：再次觀察這五個函數(shù)的圖象，有何發(fā)現(xiàn)？

發(fā)現(xiàn)3：函數(shù)圖象在第一象限均有出現(xiàn)，即冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義.

追問2：聚焦第一象限，有何發(fā)現(xiàn)？

發(fā)現(xiàn)4：y=x12，y=x，y=x2，y=x3在第一象限單調(diào)遞增，y=x－1在第一象限單調(diào)遞減.

猜想：當(dāng)指數(shù)α>0時，冪函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增；α<0時，冪函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減.

探究：創(chuàng)建兩個滑動條，分別控制α>0和α<0.拖動滑動條，通過觀察函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的變化，學(xué)生可以直觀感受到這一猜想的正確性（如圖5）.

追問3：當(dāng)α<0時，函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減.遞減有怎樣的特點？函數(shù)值會隨著自變量的增大而無限減小嗎？

發(fā)現(xiàn)5：當(dāng)α<0時，x→0+時，函數(shù)圖象無限接近于y軸；x→+∞時，函數(shù)圖象無限接近于x軸.

問題6 你能從代數(shù)的角度證明冪函數(shù)f（x）=x是增函數(shù)嗎？

設(shè)計意圖：強化學(xué)生的作圖能力和歸納概括能力，強化學(xué)生通過代數(shù)運算和幾何直觀來研究函數(shù)性質(zhì)的方法.培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表達數(shù)學(xué)現(xiàn)象的能力.

3 自主歸納，提煉升華

根據(jù)探究得到冪函數(shù)的性質(zhì)如下：

（1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義，并且圖象都通過點（1，1）.

（2）當(dāng)α為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)α為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù).

（3）若α>0，則冪函數(shù)圖象過原點，并且在區(qū)間［0，+∞）上是增函數(shù).

（4）若α<0，則冪函數(shù)圖象在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨近原點時，圖象在y軸右側(cè)無限逼近于y軸，當(dāng)x趨向+∞時，圖象在x軸上方無限逼近于x軸.

4 學(xué)以致用，小試牛刀

例1 已知冪函數(shù)y=f（x）圖象過點（2，2），求f（4）的值.

例2 利用冪函數(shù)的性質(zhì)，比較下列各題中兩個值的大?。?/p>

（1）（－1.5）3，（－1.4）3; （2）1－1.5，1－1.4.

5 梳理知識，形成系統(tǒng)

問題7 我們是如何研究冪函數(shù)性質(zhì)的？研究路徑是怎樣的？這一過程中學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

設(shè)計意圖：“思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂”，通過構(gòu)建思維導(dǎo)圖（圖6），總結(jié)研究對象所涉及的研究思路與方法，幫助學(xué)生建立良好的知識結(jié)構(gòu)，從而促使學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.

新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)要適當(dāng)?shù)乩眯畔⒓夹g(shù)進行輔助教學(xué).對于抽象程度較大的數(shù)學(xué)內(nèi)容，借助GGB的可視性，可建立起“抽象”通往“可見”的橋梁，為學(xué)生探索規(guī)律啟發(fā)思路，為學(xué)生解決問題提供直觀.只有這樣，才能有效落實學(xué)生的“四基”與“四能”，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).