借助多元解題技巧，突破初中數(shù)學幾何題解題障礙

王琪瓊

【摘要】數(shù)學課程主要由代數(shù)與幾何兩大部分構(gòu)成，前者主要研究數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，做題時以計算為主，后者則主要研究圖形的空間結(jié)構(gòu)及性質(zhì)，其中初中數(shù)學中的幾何知識以學習平面幾何為主，難度雖然不是特別大，但是對學生的空間觀念有著一定的要求，解答幾何題時往往會遇到很多的障礙，教師可指導學生借助多元解題技巧突破幾何題解題障礙.本文針對如何借助多元解題技巧突破初中數(shù)學幾何題解題障礙做探討，并羅列部分解題案例.

【關(guān)鍵詞】解題技巧；初中數(shù)學；幾何

幾何知識屬于初中數(shù)學課程的重要構(gòu)成部分，幾何題在各類考試中也占據(jù)著較為關(guān)鍵的地位，分值也不少，因為幾何題較為靈活，涉及的知識比較廣泛，邏輯性也較強，不少學生遇到一些有難度的題目時就不知道該如何下手，從而影響學生做題的積極性與繼續(xù)學習幾何知識的自信心.初中數(shù)學教師在幾何題解題訓練中應(yīng)傳授給學生一些常用的解題技巧，使其借助技巧能夠快速準確的找到切入點，輔助學生順利突破幾何題的解題障礙，增強學習幾何的自信心.

1 合理利用代數(shù)法突破幾何題解題障礙

代數(shù)同幾何一樣均屬于數(shù)學知識范疇，是數(shù)學課程體系的兩大構(gòu)成部分，在初中數(shù)學幾何題解題教學中，學生需樹立“大數(shù)學”觀，除利用幾何方面的知識以外，還要學會合理利用代數(shù)知識去解答幾何試題，讓學生突破幾何題的解題障礙.具體來說，初中數(shù)學教師可以指導學生將一些特殊的幾何題轉(zhuǎn)變成代數(shù)問題，由此展開計算、推理或者證明，使其創(chuàng)新思維得到很好的培養(yǎng)，增進幾何同代數(shù)之間的聯(lián)系，并有效提升學生的整體數(shù)學解題能力[1].

例1 如圖1所示，已知等邊三角形ABC，其中點D，E，F(xiàn)分別位于邊BC，CA，AB上，請證明三角形DEF的周長不小于三角形ABC周長的二分之一.

解析 本幾何題所要證明的結(jié)論較為特殊，是兩個三角形周長之間的關(guān)系，純粹利用幾何知識證明起來難度較大，步驟復雜，很難把結(jié)論證明出來，不少學生甚至無處下手，難以找到證明的出發(fā)點，往往半途而廢，這時教師可以提醒學生使用代數(shù)知識，根據(jù)題目內(nèi)容聯(lián)系到不等式，使其據(jù)此展開推理與證明.

具體解題技巧如下：設(shè)等邊三角形ABC的邊長為a，AF=x，BD=y，CE=z，

2 巧妙添加輔助線突破幾何題解題障礙

輔助線作為初中數(shù)學幾何題中的一個關(guān)鍵解題因素，學會添加與應(yīng)用輔助線是每位學生都需要掌握的技能之一，這是除掌握常見題型解題方法以外應(yīng)關(guān)注的一個重要問題，當部分幾何題無法直接解出或者遇到瓶頸時，學生通過添加合適的輔助線往往能夠產(chǎn)生豁然開朗的感覺.對此，初中數(shù)學教師在幾何題解題訓練中，應(yīng)當指導學生根據(jù)實際情況在原圖上巧妙添加輔助線，借此降低題目的難度，使其快速找到解題的切入點，讓學生突破難題障礙[2].

解析 學生通過對題目內(nèi)容的閱讀與圖形的觀察和分析后發(fā)現(xiàn)，無法直接求出這兩條線段在這種形式下的值，這時教師可要求學生認真觀察與研究圖形，嘗試畫出輔助線，將題設(shè)中的兩條線段通過轉(zhuǎn)化整合至一條線段之中，以此降低本道題目的難度，使其輕松求出最小值的大小.

具體解題技巧如下：由于∠C是直角，AC的值是1，

3 運用逆向思維法突破幾何題解題障礙

針對初中數(shù)學幾何題教學來說，證明題是一種十分常見的題型，處理這類題目時對學生的推理能力有著較高的要求，不過有些題目從正向思維視角進行證明時難度較大，或者比較復雜、步驟較多，這時教師可以提醒學生基于逆向思維視角切入，使其輕松證明結(jié)論.因此，初中數(shù)學教師在幾何證明題解題訓練中，應(yīng)指引學生學會對問題進行逆向思考，從題干中要證明的結(jié)論展開，如果發(fā)現(xiàn)結(jié)果同命題之間相互矛盾，這就說明結(jié)論是不成立的[3].

例3 如圖3所示，在圓O中有AB與CD兩條弦，且這兩條弦均不是直徑，請證明弦AB和弦CD不能相互平分.

解析 針對這樣的幾何證明題，學生短時間內(nèi)很難找到正確的證明方法，便可以嘗試使用逆向思維的方式進行證明假設(shè)這兩條圓內(nèi)的非直徑弦能夠相互平分，再推理與求證，找出同某些定理存在沖突，由此將題設(shè)給證明出來.

具體解題技巧如下：設(shè)弦AB和弦CD相交于點P，把OP連接起來，假設(shè)弦AB和弦CD能夠相互平分，那么AP與BP、CP與DP均是相等關(guān)系，又因為弦AB和弦CD是圓O內(nèi)兩條非直徑的弦，所以O(shè)P與AB、OP與CD均是垂直關(guān)系，這明顯同“過一點有且只有一條直線同已知直線垂直”這一定理相沖突，故假設(shè)不成立，所以說弦AB和弦CD是不能相互平分的.

4 科學使用平移法突破幾何題解題障礙

平移法是處理幾何試題的一個常用方法，根據(jù)需要，平移的對象可以是整個圖形、圓、角、直線與線段等，平移只能夠改變圖形的位置，不會改變圖形的形狀與大小，而且平移前后的線段平行，對應(yīng)點連線平行且相等，對應(yīng)角的兩邊分別平行且方向一致，這一性質(zhì)在解題中起著重要作用.當幾何題目中出現(xiàn)相互平行且相等的線段，或所求問題并沒有在同一個圖形內(nèi)時，初中數(shù)學教師可以引領(lǐng)學生科學使用平移法，使其通過平行的某些要素解題[4].

例4 如圖4所示，在一個四邊形ABCD中，AB與CD是相等關(guān)系，AD與BC是平行關(guān)系，且AD的長度比BC小，那么∠B和∠C之間有著什么樣的關(guān)系？

解析 學生對圖形進行認真觀察以后能夠發(fā)現(xiàn)，∠B和∠C距離較遠，很難直接判斷出它們之間的大小關(guān)系，而且根據(jù)題干中提供的已知信息與條件難以進行計算，無法準確判定兩者的關(guān)系，此時教師可以指引學生使用平移法，通過將邊AB平移，再結(jié)合平行與三角形相關(guān)知識進行解題.

具體解題技巧如下：由于AB與CD是相等關(guān)系，AD與BC是平行關(guān)系，AD的長度比BC小，那么可以把邊AB平移至圖中DE的位置，有AB平行且等于DE，DE與CD是相等關(guān)系，再根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”得到∠B=∠DEC，則三角形DEC是一個等腰三角形，由此得到∠DEC=∠C，即為∠B=∠C，也就說∠B和∠C是相等關(guān)系.

5 精準應(yīng)用建系法突破幾何題解題障礙

初中生已經(jīng)對平面直角坐標系相關(guān)知識有所接觸與學習，再加上對點、線相關(guān)公式的掌握，學生具備在平面直角坐標系中處理問題的知識基礎(chǔ)與能力.對于初中數(shù)學幾何題教學而言，當純粹使用幾何知識與方法很難求解時，教師可以引導學生精準應(yīng)用建系法嘗試解題，結(jié)合題目中給出的信息與條件建構(gòu)出相應(yīng)的平面直角坐標系，使其結(jié)合點的坐標把幾何問題轉(zhuǎn)變成坐標進行計算與解答，由此降低幾何題的難度，促使學生快速、準確地求得答案[5].

例5 如圖5所示，正方形ABCD的邊長是2，正方形CGEF的邊長是3，其中點B，C，G位于同一條直線上，點M是AE的中點，連接MF，那么MF的值是多少？

解析 ?通過對題意的分析發(fā)現(xiàn)僅僅依靠簡單的計算無法解答這一幾何題，而在原圖上建立平面直角坐標系則能夠快速求解，當建立好平面直角坐標系以后，只需求點M的坐標，再利用已知點F的坐標，就能夠求出MF的長度，而且點M是AE的中點，所以知道A，E兩點的坐標就能夠求出M點的坐標.

具體解題技巧如下：根據(jù)題意，以點C為原點，BC為x軸，CF為y軸，建立如圖6所示的平面直角坐標系，能夠得到點A的坐標是（－2，2），點E的坐標是（3，3），由于點M是AE的中點，

因為點F的坐標是（0，3），

結(jié)合兩點間的距離公式能夠得到

6 結(jié)語

總而言之，在初中數(shù)學解題訓練活動中，教師要格外關(guān)注幾何題的設(shè)計與練習，以幫助學生掌握扎實的理論知識為前提，注重同代數(shù)知識之間的聯(lián)系，精心設(shè)計幾何專題訓練，要求學生以認真閱讀題目內(nèi)容、仔細審題為基本出發(fā)點，根據(jù)具體題目靈活運用代數(shù)法、輔助線、逆向思維、平移法與建系法等多元解題技巧突破解題障礙，不斷提高學生的幾何解題水平.

參考文獻：

[1]張海霞.初中幾何題的解題思路分析[J].數(shù)理天地（初中版），2022（22）：31-32.

[2]李芳.輔助線在初中幾何解題中的應(yīng)用[J].數(shù)理天地（初中版），2022（08）：2-3.

[3]楊靜靜.綜合法和解析法在初中幾何解題中的應(yīng)用探討[J].數(shù)理化解題研究，2021（17）：28-29.

[4]朱小平.初中幾何解題教學的“破”與“立”[J].湖北教育（教育教學），2021（05）：72-74.

[5]雷春霞.圖形分析法在初中幾何解題中的應(yīng)用策略探究[J].考試周刊，2021（33）：49-50.