二次函數(shù)動點(diǎn)問題常見題型解法探究

張偉

【摘要】二次函數(shù)是初中階段學(xué)生數(shù)學(xué)知識體系中的重要構(gòu)成，以其為基礎(chǔ)的相關(guān)題型也豐富多變，其中動點(diǎn)問題既是考試的重點(diǎn)內(nèi)容，也是學(xué)生失分的重災(zāi)區(qū).本文總結(jié)二次函數(shù)動點(diǎn)問題中常見的面積問題、線段問題、三角形問題及相似圖形問題相關(guān)解題策略，供學(xué)生參考，以提高學(xué)生的解題效率.

【關(guān)鍵詞】動點(diǎn)問題；二次函數(shù)；解題

在對學(xué)生二次函數(shù)知識的考查中，往往會融合其他知識，以達(dá)到對學(xué)生綜合能力考查的目的.而在諸多題型中，動點(diǎn)問題無疑是重要的一類，同時也是學(xué)生較為懼怕的一類.動點(diǎn)問題不僅考查學(xué)生對二次函數(shù)、圖形知識的掌握及計(jì)算能力，還考查了學(xué)生的抽象思維等學(xué)科素養(yǎng).二次函數(shù)動點(diǎn)問題是因函數(shù)圖象上移動的點(diǎn)所引發(fā)的，題型也是復(fù)雜多變，因此學(xué)生對這一問題的掌握并不理想，在考試中錯誤率較高.因此，本文系統(tǒng)性地總結(jié)了二次函數(shù)動點(diǎn)問題的常見題型及解題策略，以促進(jìn)學(xué)生對知識的掌握.

1 面積問題

面積問題是二次函數(shù)動點(diǎn)知識考查中最為常見的一個題型，是對學(xué)生二次函數(shù)及圖形知識的綜合考查，同時也要注意動點(diǎn)的取值范圍，而后根據(jù)相關(guān)條件建立關(guān)系便可進(jìn)一步解答.在解答面積問題時，學(xué)生需具備較強(qiáng)的空間思維能力及計(jì)算能力，把握動點(diǎn)的運(yùn)動對圖象的影響，如此便可快速解答問題.

例1 如圖1，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（－1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，

（1）求拋物線解析式；

（2）若D為拋物線一點(diǎn)，且S△ABD=2S△ABC，求D坐標(biāo).

解 （1）將點(diǎn)A（－1，0），B（3，0）坐標(biāo)代入y=x2+bx+c，

可解得b=－2，c=－3，

則拋物線的解析式為y=x2－2x－3.

（2）因?yàn)椤鰽BD與△ABC擁有共同的邊AB，

故要想S△ABD=2S△ABC，僅需其AB邊上的高比值為2，

因?yàn)镈在拋物線上，

所以設(shè)其為D（m，m2－2m－3），

因?yàn)閥=x2－2x－3，將x=0代入，

可得C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，－3），

即m2－2m－3=6，

求出m便可得D點(diǎn)坐標(biāo).

2 線段問題

二次函數(shù)中動點(diǎn)線段問題總體可以分為兩類，即一個動點(diǎn)和兩個動點(diǎn).無論哪一類問題，題目中都大概率會涉及到二次函數(shù)以外的其他函數(shù)，故在解答這類問題時，學(xué)生要靈活運(yùn)用函數(shù)相關(guān)的知識，將線段長短問題轉(zhuǎn)化為一個二次函數(shù)的表達(dá)式，而后結(jié)合題目中的信息進(jìn)行解答.

例2 如圖2，點(diǎn)N為拋物線y=－x2+2x+3上一動點(diǎn)，且在線段BC上方，BC上有一動點(diǎn)M，若MN∥y軸，則MN的最值為多少？

解析 因?yàn)閽佄锞€y=－x2+2x+3，

可得B（3，0），C（0，3），

則線段BC的解析式為y=－x+3，

因M在線段BC上，

則設(shè)其坐標(biāo)為（m，－m+3），

因N為y=－x2+2x+3上動點(diǎn)，

則設(shè)其坐標(biāo)為（m，－m2+2m+3），

當(dāng)MN∥y軸時，MN的長度則為二者縱坐標(biāo)的差，

設(shè)MN的長度為函數(shù)LMN，

則LMN=（－m2+2m+3）－（－m+3）=－m2+3m，

整理可得LMN=－（m－1.5）2+2.25，

可知函數(shù)LMN為開口向下的二次函數(shù)，故MN最大值為2.25，無最小值.

3 三角形問題

在解答二次函數(shù)中動點(diǎn)引起的三角形問題時，重點(diǎn)并不在于函數(shù)，而是需要學(xué)生掌握三角形相關(guān)的各種知識，以此結(jié)合二次函數(shù)進(jìn)行分析，聯(lián)立求解，便可得到答案.

例3 如圖3，二次函數(shù)交坐標(biāo)軸于A（－1，0），B（4，0），C（0，－4）三點(diǎn)，P為直線BC下方拋物線上一動點(diǎn).

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）是否存在點(diǎn)P，使△POC是以O(shè)C為底的等腰三角形，求其坐標(biāo).

解 （1）設(shè)函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c，

將A（－1，0），B（4，0），C（0，－4）三點(diǎn)代入，

可解得a=1，b=－3，c=－4，

故函數(shù)解析式為y=x2－3x－4.

（2）因△POC是以O(shè)C為底的等腰三角形，則P點(diǎn)應(yīng)位于OC的垂直平分線上，

因?yàn)镺C=4，故點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-2，

因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，則可將y=－2代入到解析式中，

則有x2－3x－4=－2，同時，因其在直線BC下方，故應(yīng)舍去小于0的根，

4 結(jié)語

綜上所述，本文系統(tǒng)性地總結(jié)了二次函數(shù)動點(diǎn)問題中常見的面積問題、線段問題、三角形問題及相似圖形問題，并對其進(jìn)行了實(shí)際的講解.總體來說，學(xué)生要想解答這類問題，首先要對二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角形、多邊形等基礎(chǔ)知識有一個完整的認(rèn)識，在此基礎(chǔ)之上熟練掌握各種題型的解題原理、過程，如此便可快速解答相關(guān)問題.

參考文獻(xiàn)：

[1]李惠平.二次函數(shù)動點(diǎn)問題的教學(xué)設(shè)計(jì)[J].數(shù)理天地（初中版），2022（03）：77-78.

[2]胡雅雯.二次函數(shù)中動點(diǎn)圖形的面積最值問題探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（22）：36-38.

[3]王偉.二次函數(shù)面積有關(guān)題型分析[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2021（12）：15-16.

[4]王珍.探討初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)動點(diǎn)問題的教學(xué)策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（20）：64-65.