初中數(shù)學例題變式教學的實踐與認識

高永強

【摘要】初中數(shù)學教學中，例題變式訓練是解題教學中的一大重點，通過例題變式訓練可以有效培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神、拓展學生的思維廣度，同時優(yōu)化解題思路、提高解題效率.基于例題變式訓練的重要性，教師在課堂上要巧妙使用例題變式教學，培養(yǎng)學生多方面的學習能力，實現(xiàn)培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)的目標.文章先簡單介紹了初中數(shù)學例題變式教學的變式原則，然后系統(tǒng)地分析了初中數(shù)學例題變式的分類及教學優(yōu)勢，最后列舉了初中數(shù)學例題變式教學的常見形式.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學；例題變式；變式訓練

例題變式訓練有多方面的作用，通過對例題進行變換、組合，學生在訓練的過程中可以有效活躍思維，減少思維的惰性、僵化，提高解題能力.教師開展例題變式教學，有助于學生挖掘數(shù)學知識的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系，最終實現(xiàn)知識點的融會貫通，更為有效地應(yīng)用所學知識.也正是基于例題變式教學的重要性，教師更應(yīng)該進一步將其融入初中數(shù)學課堂，以求達成更好的課堂教學成效.

一、初中數(shù)學例題變式教學的變式原則

在例題變式教學中，知識的本質(zhì)不會改變，只是呈現(xiàn)形式發(fā)生變化，均圍繞概念、定義、公式.在初中數(shù)學的例題變式教學中，主要有三點變式原則，一是系統(tǒng)性原則，二是目的性原則，三是深入性原則.

在系統(tǒng)性原則中，因為學生剛開始學習初中數(shù)學知識時，主要學習的是概念、定義、公式，所以教師要堅持循序漸進的原則，向?qū)W生延伸知識點，幫助他們掌握更多的學問.在此基礎(chǔ)上，學生要逐漸建構(gòu)起系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò)體系，對知識點有系統(tǒng)性的理解，并掌握類似知識概念中的微妙變式.在目的性原則中，每個知識點的教學均要有目的性，避免盲目性或低效化，尤其是要注重例題變式訓練的目的性.比如在引導學生學習人教版八年級下冊“勾股定理”知識時，教師要多進行例題變式訓練，著重對各種不同直角三角形進行變式，便于學生直接應(yīng)用“勾三股四”解題.另外，教師還可以引導學生嘗試從普通的三角形中分割出直角三角形，進一步應(yīng)用勾股定理.在深入性原則中，進行例題變式教學和訓練時，教師要關(guān)注學生當前的學習情況和能力，將新舊內(nèi)容聯(lián)系起來，逐步帶領(lǐng)學生掌握新知識，還要注意不能出現(xiàn)超過學生當前能力水平的情況.教學過程中，教師可以多引入學生已經(jīng)掌握的知識點，進行適當?shù)淖兪?，與新知識聯(lián)系起來，以此激活學生的思維，讓學生從中總結(jié)經(jīng)驗，掌握例題變式后的解題思路與方法.

二、初中數(shù)學例題變式的分類及教學優(yōu)勢

（一）初中數(shù)學例題變式的分類

當前的初中數(shù)學例題變式主要有兩種類型，一是“一題多變”，二是“一題多解”.

“一題多變”強調(diào)培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，提升學生思維的創(chuàng)造性.在進行“一題多變”的教學時，教師要堅持以教材上的例題為基礎(chǔ)，由學生嘗試著去改變例題中的條件、背景、結(jié)論，促使他們的數(shù)學思維處于發(fā)散狀態(tài).比如在人教版九年級上冊“二次函數(shù)”的教學中，教材上有這樣的一類例題，即明確給出拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）中a，b，c的符號，要求學生完成四個解題任務(wù)：一是判斷拋物線的開口方向，二是確定對稱軸在坐標軸的哪一側(cè)，三是判斷拋物線是否與x軸存在交點，四是在草圖上畫出大致圖像.對于這一類題目，教師可以引導學生使用不同的數(shù)學方法嘗試揭示出二次函數(shù)問題的基本解題規(guī)律，繼而使用已知的規(guī)律解決例題變式問題，這里使用的解題方法主要包括綜合方法、歸納方法、比較方法和分析方法.這一過程可以較好地培養(yǎng)學生數(shù)學思維的廣闊性和創(chuàng)造性，

“一題多解”可以提高學生數(shù)學思維的發(fā)散性，使學生數(shù)學思維的廣度得到拓寬.在初中數(shù)學課堂上，教師要引導學生進一步分析例題，從不同的角度剖析例題，找出解題的思路和方法，提出解題的多個方法.這一過程一方面可以將學生已經(jīng)掌握的知識點有效調(diào)動，提高他們應(yīng)用知識的能力，另一方面可以鍛煉學生的數(shù)學思維，提高學生數(shù)學思維的靈敏度，讓其更為靈活地應(yīng)用自己所掌握的數(shù)學知識.

（二）初中數(shù)學例題變式教學的優(yōu)勢

初中數(shù)學例題變式教學的優(yōu)勢體現(xiàn)在多個方面，但均可以指向?qū)W生的數(shù)學核心素養(yǎng)，幫助他們提高數(shù)學學習和解題的能力.詳細言之，初中數(shù)學例題變式教學主要有四個方面的優(yōu)勢.

首先，例題變式教學可以拓展新的知識點或問題，對培養(yǎng)學生數(shù)學思維的廣度和深度大有裨益.當例題變式堅持從一個基本問題出發(fā)，與相關(guān)知識聯(lián)系后向外拓展，層層遞進，就可以促使學生的思維向縱深發(fā)展.在此過程中，學生還可以使用數(shù)學思想，比如知識類比思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，既掌握了更多新的知識，也開闊了解題時的思路.

其次，在例題變式中適當?shù)仉[去某一條件，有助于培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維.將例題中的某一條件隱去，可能導致題目意思發(fā)生較大的變化，題目難度可能增加，也可能減小，但均容易吸引學生積極探究、解題.長時間進行這樣的例題變式訓練可以培養(yǎng)學生的觀察能力，學習態(tài)度和解題思維也會變得更加嚴謹，對數(shù)學思維的發(fā)散性發(fā)展意義重大.

再次，改變例題中的某一條件，有助于鍛煉學生的邏輯思維，促使其邏輯思維變得富有嚴密性.在例題變式教學中，教師可以結(jié)合學生的解題能力適當改變題目中的條件，但應(yīng)該努力不讓學生輕易察覺.進行這樣的例題變式訓練，可以有效培養(yǎng)學生的審題能力，提高其數(shù)學思維的靈活性.如果學生的數(shù)學學習能力較好，教師就可以讓他們自己改編例題，如添加條件或改變某一條件，以此有效培養(yǎng)學生數(shù)學邏輯思維的嚴密性.

最后，教師可以將例題中的結(jié)論和條件互換，以此培養(yǎng)學生的逆向思維.應(yīng)該說，這樣的例題變式訓練，更容易激活學生的求知欲和解題興趣，讓學生從多個角度嘗試解決問題，這樣無論是發(fā)散性思維還是創(chuàng)造性思維均可以得到培養(yǎng).以初中數(shù)學中的幾何題目為例，在做證明題時，學生可以多使用逆向思維法：如果要證明某兩條邊是相等的，就可以證明兩個三角形全等；如果要證明兩個三角形是全等的，就要分析題目中給出的條件，確定還需要什么樣的條件，這樣的條件通常是做輔助線創(chuàng)造出來的.通過這樣一系列的思考，學生解題過程中的逆向思維可以得到有效激活和發(fā)展.

三、初中數(shù)學例題變式教學的常見形式

（一）變換例題的條件或結(jié)論

在初中數(shù)學的例題變式訓練中，將例題中的條件或結(jié)論加以變換是常見操作，可以很好地培養(yǎng)學生的解題能力.有這樣一道例題，即“已經(jīng)知道a2-a=5，求a2-a+7的值.”在解這道一元二次方程的例題時，教師要引導學生認真觀察條件，找準例題的特征.具體來說，兩個式子中均有相同的項，即“a2-a”，所以可以將其視為一個整體，并替換為5，便可以輕松解題.在此基礎(chǔ)上，教師可以對例題進行變式，設(shè)計新的問題.教師可以設(shè)計四個變式，一是“已經(jīng)知道a2-a=5，求解出2a2-2a-6的值”；二是“已經(jīng)知道a2-a-11=0，求解出a2-a-6的值”；三是“已經(jīng)知道a2-a-11=0，求解出（a-3）（a+2）的值”；四是“已經(jīng)知道a2+4a-4=0，求解出2（a-2）2-4（a-1）（a+1）的值”.以變式一為例，與原例題相比改變了問題，兩個式子的相同項發(fā)生變化，不再是一倍的關(guān)系，解題時需要變形，將“2a2-2a-6”變形為2（a2-a）-6，此時學生發(fā)現(xiàn)需要整體代入乘2，兩個式子之間就是兩倍的關(guān)系.再以變式三為例，學生剛開始審題時可能會發(fā)現(xiàn)式子和整體代入思想并沒有緊密的聯(lián)系，但仔細研究題目可以發(fā)現(xiàn)，能將條件變形為“a2-a=11”，再對問題進行變形處理，利用好已經(jīng)學習的“多項式乘多項式法則”，可以將（a-3）（a+2）這一式子變形為“a2-a-6”.在此基礎(chǔ)上，教師再引導學生使用整體代入思想解題，就可有效降低解題的難度.

再比如解決幾何問題時，有這樣的一道例題，即“有一條線段AB的長度為7cm，點P在線段AB上，已知AP的長度是3cm，求解BP的長度.”在解決這一題目時，學生可以先畫出草圖，借助草圖對題目的條件有一個更為深刻的理解.當學生順利解題后，教師可以進行例題變式設(shè)計，可以設(shè)計兩類變式訓練題目：一是“已經(jīng)知道線段AB的長度為7cm，點P在直線AB上，AP的長度為3cm，求BP的長度”；二是“已經(jīng)知道線段AB的長度為7cm，點P在射線AB上，AP的長度為3cm，求BP的長度”.與原例題相比，變式一和變式二均是對題目中的“線段”這一關(guān)鍵詞進行了變形，分別變?yōu)椤爸本€”和“射線”.在這樣的例題變式訓練過程中，學生不僅需要畫草圖解題，還需要分析題目中的關(guān)鍵詞，能夠逐漸意識到關(guān)鍵詞在一道數(shù)學題目中的重要性.

（二）變換例題的內(nèi)容或形式

以人教版七年級下冊“平行線的性質(zhì)”為例，學生求解一些題目時會遇到困難，此時教師要多加引導，重視例題變式訓練.有這樣一道題目，即“如圖1所示，已經(jīng)知道AB∥CD，求∠A，∠C和∠APC的數(shù)量關(guān)系”.通過分析題目學生可以發(fā)現(xiàn)只有“AB∥CD”這一個已知條件，且∠A，∠C和∠APC并不是平行線“三線八角”中的角.為此，學生在解題時需要畫輔助線自行構(gòu)造出“三線八角”模型，可以過點P構(gòu)造條件，即PM∥AB，如圖1所示，這樣便可以順利解題.

在學生順利解題后，教師可以結(jié)合學生的解題情況進行例題變式訓練，可以設(shè)計兩道變式訓練題目，一是不改變題目條件，只單純改變例題的圖形，依然求∠A，∠C和∠APC的數(shù)量關(guān)系，如圖2.

二是已知AB∥CD，結(jié)合圖形條件求∠A，∠C，∠APE和∠PEC之間的數(shù)量關(guān)系，如圖3.

所設(shè)計的變式一，是對原例題的內(nèi)容進行了變換，即∠APC既可以外凸，也可以內(nèi)凹，在利用平行線中的“三線八角”時，必須先畫出輔助線.在求解變式二時，教師要引導學生感受到一點，即兩條平行線之間有一個點時，應(yīng)該優(yōu)先考慮去畫輔助線，如果是更多的點，甚至是有n個點，也可以考慮畫輔助線，借助輔助線分析角度之間的數(shù)量關(guān)系.可以說，通過求解這三道例題，學生可以意識到輔助線的重要性，并學會正確畫輔助線，利用輔助線將沒有太多關(guān)系的角有效串聯(lián)成“三線八角”模型中的角.

（三）變換例題的應(yīng)用環(huán)境

在每一個章節(jié)或最終的整體復(fù)習時，教師應(yīng)該注重解題教學，利用不同種類的例題引導學生思考和解題，掌握更多的數(shù)學解題思想和方法.當成功掌握這些數(shù)學解題思想和方法后，學生便可以將已經(jīng)學習過的知識點融會貫通，這對提高解題效率和能力助力良多.比如在幾何題的變式訓練中，教師可以借助具體的題目幫助學生理解和掌握轉(zhuǎn)化思想.有這樣的一道例題，即“如圖4，一段樓梯每個臺階的長度是45cm，寬度和高度分別是30cm和15cm.有一只螞蟻現(xiàn)在處于樓梯的最低端A點，如何爬上B點，且路程最短？”解決這樣的題目時，關(guān)鍵之處是將立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形，學生需要有良好的轉(zhuǎn)化思維.

在成功解答例題后，教師可以進行例題變式訓練.變式一是不改變例題的條件，只是將“爬上B點”變換為“爬上C點”，繼續(xù)訓練學生的轉(zhuǎn)化思維.變式二是這樣的題目：“如圖5，已知長方體的長是15cm，寬也是15cm，高是30cm.現(xiàn)在有一只螞蟻想要沿著長方體的表面由A點爬向G點，如何爬才可以讓距離最短？”

在變式一中，學生要想成功解題，必須將立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形，需要熟練使用轉(zhuǎn)化思想.在變式二中，涉及的是變換問題的應(yīng)用場景，長方體有六個面，螞蟻在爬行時會有很多的選擇，不過在求解時依然需要將立體圖形轉(zhuǎn)換為平面圖形，在此基礎(chǔ)上進行對比，分析出哪一路徑是最短的.總而言之，在設(shè)計這樣的變式訓練題目時，教師可以變換問題情境，使題目的難度有所增加，這對提高學生的解題能力有重要意義.

結(jié) 語

初中數(shù)學教學中，解題教學和例題變式教學均應(yīng)被視為重點，以引導學生在解題過程中掌握知識點.教師在例題變式教學中需要把握要點，一是變式必須在原例題的基礎(chǔ)上進行變換，要足夠的自然和有效，避免進行牽強的變式訓練；二是例題變式訓練要有難度，應(yīng)該突出易錯點、突破點，幫助學生掌握解題時的注意要點；三是例題變式訓練的數(shù)量要有明確的“度”，不能一味地實施“題海戰(zhàn)術(shù)”，要讓學生“做一題會一類”，掌握相關(guān)的數(shù)學解題思想和方法.總之，教師要將例題變式教學視為一大重點，不斷完善例題變式教學的方式方法，幫助學生更好地學習和解題.

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