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    橢圓型方程(組)可解性研究

    2023-10-02 15:09:12徐晶晶鐘金標(biāo)李小帥趙舵舵
    池州學(xué)院學(xué)報(bào) 2023年3期
    關(guān)鍵詞:橢圓型邊值問題不動(dòng)點(diǎn)

    徐晶晶,鐘金標(biāo),李小帥,趙舵舵

    (1.安慶師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,安徽 安慶 246133;2.武警特種警察學(xué)院 基礎(chǔ)部,北京 102211;3.池州學(xué)院 大數(shù)據(jù)與人工智能學(xué)院,安徽 池州 232038)

    橢圓型方程(組)邊值問題與雙調(diào)和方程邊值問題是偏微分方程研究領(lǐng)域的重要研內(nèi)

    容之一[1-4]。張亞靜等[1]利用集中緊性原理和山路定理,證明了下面橢圓型方程組正解的存在性。

    這里α,β>1 滿足h1(x),h2(x)≥0,且h1,h2≡0。

    LI H X等[2]研究了下列半線性橢圓方程組邊值問題

    這里 Ω ?RN(N≥3)是有界光滑區(qū)域,Q∈L∞(Ω)且Q(x)≥0 ,在Ω 中幾乎處處成立,α,β>1,α+β=2*,主要利用變分法方法證明了在一定條件下,該問題至少存在兩個(gè)解。

    ZHONG J B等[3]利用不動(dòng)點(diǎn)定理證明了一類半線性橢圓型方程組正解的存在性與唯一性,同時(shí)討論了存在的必要條件。楊旭[4]利用(B+)類拓?fù)涠确椒ê驮谙柌乜臻g上選擇相應(yīng)的范數(shù),給出了具有狄利克雷邊界條件的多調(diào)和方程非平凡廣義解的存在性結(jié)果。

    本文利用上、下解方法及不動(dòng)點(diǎn)定理討論了下列半線性橢圓型方程組邊值問題。

    這里Ω ?Rn是有界光滑區(qū)域,證明了該問題正解的存在性。并進(jìn)而利用上述正解的存在性結(jié)果,進(jìn)一步討論了下列帶正小參數(shù)的雙調(diào)和方程邊值問題正解的存在性。

    其中λ為正參數(shù),并給出了正解存在性定理的證明。本文研究的問題中,函數(shù)f(x,v),g(x,u)僅限制滿足較一般的條件,比文獻(xiàn)[1-4]中函數(shù)限制的條件更少,從而研究的問題適用范圍更廣,且在證明解的存在性時(shí),采用了與文獻(xiàn)[1-4]中不同的理論與方法,對(duì)這二類邊值問題,證明了正解存在的結(jié)果。

    1 一類半線性橢圓型方程組邊值問題解的研究

    考察下列半線性橢圓型方程組邊值問題

    這里 Ω ?Rn是有界光滑區(qū)域,其中f(x,s) ,g(x,s) 滿足下列條件:

    (H1)f(x,s) ,g(x,s) 在×[ 0,+∞)上 為 非 負(fù)Ho¨lder連續(xù)函數(shù)。

    (H2)f(x,s) ,g(x,s)關(guān) 于s 在[ 0 ,+∞)上單增,g(x,0)>0。

    引理[5]設(shè)T 是Banach 空間B 到自身中的緊映射,又設(shè)存在一個(gè)常數(shù)M,使得‖x‖B<M對(duì)所有滿足x=σTx,x∈B,σ∈[0,1] 的x成立,則T有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

    定理1 若條件(H1)成立,則問題(1)只能存在非負(fù)解。

    證明 由(H1)知f≥0,g≥0,所以Δu≤0,Δv≤0且u|?Ω=v|?Ω=0,由上調(diào)和極值原理[5]知,u≥0,v≥0。

    定理2 若(H1),(H2)成立,且問題(1)存在一對(duì)上、下解,則問題(1)至少存在一組解(u,v)∈[C2(Ω) ]2。

    證明 取關(guān)于上下解的截?cái)嗪瘮?shù)如下:

    考察下列邊值問題

    顯然≤Tu≤,≤Τv≤,又,從而Tu,Tv在上有界。由(H1)知f(x,Tv),g(x,Tu)在上為有界函數(shù)。

    定義算子T1:[C2(Ω) ]2→[C2(Ω) ]2如下:

    T1U=L-1F(x,U),

    因 為L(zhǎng)-1=(-Δ)-1為緊正算子,所以T1為[C2(Ω)]2到自身的緊映射。

    下證存在一個(gè)常數(shù)M>0,使得‖U‖B<M,對(duì)所有滿足U=σT1U,σ∈[0 ,1]的U成立,其中B=[C2(Ω) ]2。

    假設(shè)不然,則存在σn∈[0 ,1]和B中Un,滿足‖Un‖→+∞(n→+∞)時(shí),有

    在(4)式中兩邊令n→+∞,結(jié)合F(x,Un)有界,可得ωn→0,這與‖ωn‖=1 矛盾,從而滿足引理中條件。利用引理知,T1有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),即該不動(dòng)點(diǎn)為問題(2)的解。

    取(u,v)為問題(2)的解,記ω=u-,ω+(x)=max{0 ,ω(x)},則由上解定義及(2)中方程知-Δu=f(x,Tv),-Δ≥f(x,),所以

    在(5)式兩邊乘上ω+后,在Ω 上積分,并利用Green第一恒等式得

    記A={x∈Ω:u≤} ,B={x∈Ω:u>} ,則Ω=A?B。

    從(6)式,結(jié)合ω+(x)的定義知

    由(H2) 知f(x,Tv)-f(x,)≤0 ,而ω+(x)≥0。從(7)式可得,所以ω+=0,x∈B,從而Ω=A。即u≤,x∈Ω,同理可證v≤。

    記Z(x)=u-,Z-(x)=min{0 ,Z(x)},顯然Z-(x)≤0。則由下解定義及(2)中方程知

    上兩式相減得

    即 -ΔZ(x)≥f(x,Tv)-f(x,),

    上式兩邊乘上Z-(x)后在Ω 上積分,并利用Green第一恒等式得

    記A={x∈Ω:u<},B={x∈Ω:u≥},則Ω=A?B。從(8)式可得

    由(H2) 知,所 以∫A|DZ-(x)|2dx=0。從 而Z-(x)=0,x∈A。所 以u(píng)≥,x∈Ω。同理可證v≥,x∈Ω。從而(2)的解(u,v)滿足,此時(shí)Tv=v,Tu=u,即(u,v)為問題(1)的解。

    2 雙調(diào)和方程邊值問題的可解性

    考察雙調(diào)和方程邊值問題

    其中λ為正參數(shù)。

    令-Δu=v,則(9)化為

    顯然=0,=0 為問題(10)的下解。

    讓?duì)?x)是問題的解,則Φ ≥0,x∈。由Φ(x)在上連續(xù)知Φ()

    x在Ω 上有界。記,取,則取參數(shù)λ充分小,可得

    從而(,)為問題(10)的一組上解。由條件(H1)及λ>0,所以-Δv=λg(x,u)≥0,利用上調(diào)和函數(shù)極值原理知v≥0。從而f(x,v)=v滿足條件(H1),(H2),由定理1可得出下列定理。

    定理3 當(dāng)λ為充分小的正數(shù),且條件(H1) ,(H2)成立時(shí),問題(10)存在有界正解,從而雙調(diào)和邊值問題(9)存在正解。

    3 結(jié)論

    本文首先對(duì)半線性橢圓型方程組邊值問題(1),在假設(shè)存在上、下解的前提下,利用不動(dòng)點(diǎn)定理證明了問題(1)存在正解,進(jìn)而將該結(jié)果利用到帶小參數(shù)的雙調(diào)和方程邊值問題(9)。通過變量代換,將問題(9)轉(zhuǎn)換為半線性橢圓型方程組邊值問題(10),最后通過尋找到問題(10)的一組上、下解。再利用問題(1)所證的解的存在性定理,證明了問題(9)解的存在性。這同時(shí)也是對(duì)問題(1)所得解的存在性定理給出了應(yīng)用實(shí)例。

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