“雙根”技巧簡(jiǎn)化運(yùn)算,等價(jià)轉(zhuǎn)化探究本質(zhì)

廣東省佛山市順德區(qū)容山中學(xué) (528303) 黃桃榮

解決軌跡問題的一般方法是設(shè)點(diǎn),通過(guò)題干發(fā)現(xiàn)點(diǎn)所滿足的關(guān)系式,化簡(jiǎn)關(guān)系式求得結(jié)論.當(dāng)題干條件復(fù)雜時(shí),如何選擇切入點(diǎn)則是解決此類問題的關(guān)鍵.筆者研究了2023屆廣州市高三調(diào)研測(cè)試第21題,通過(guò)該題的解答過(guò)程,很好地體現(xiàn)了如何設(shè)點(diǎn)以及消元的完整過(guò)程,現(xiàn)將筆者的思考展現(xiàn)如下,以饗讀者.

一、題目

已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2,圓M與y軸相切,且圓心M與拋物線C的焦點(diǎn)重合.(1)求拋物線C和圓M的方程;(2)設(shè)P(x0,y0)(x0≠2)為圓M外一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作圓M的兩條切線,分別交拋物線C于兩個(gè)不同的交點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)和Q(x3,y3)、R(x4,y4),且y1y2y3y4=16.求證:點(diǎn)P在一條定曲線上.

分析：本題的主題干對(duì)拋物線與圓的信息交代的非常清晰,且考查的方式也很直接,拋物線C的方程為y2=4x,圓M的方程為(x-1)2+y2=1,過(guò)程略.本題的難點(diǎn)主要集中在第(2)問,涉及到了圓的切線,直線與拋物線相交,四個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足某種關(guān)系式.并證明點(diǎn)P在一條定曲線上.考查的因素很多,且條件環(huán)環(huán)相扣,但所求的是一條軌跡問題.但題干沒有直接計(jì)算點(diǎn)P的軌跡(通過(guò)后文可知其軌跡為圓的一部分),該設(shè)問方式反而降低了要求(回避了分析在所求的軌跡中排除不滿足的部分).

二、解法呈現(xiàn)

綜上即可知點(diǎn)P在定曲線x2+y2=1上運(yùn)動(dòng).

評(píng)注：上述解法即是按照題干條件出現(xiàn)的順序,逐漸深入完成求解.思維過(guò)程簡(jiǎn)單,但涉及到的運(yùn)算量較大.但在本文中多次出現(xiàn)了“整體代換”的技巧,例如本文研究了k1的表達(dá)式后通過(guò)類比即可得k2的表達(dá)式,從y1y2到y(tǒng)3y4也是運(yùn)用的該思想.

提示：若以m1,m2為變量,可直接設(shè)直線AB的方程為x=m1(y-y0)+x0進(jìn)行運(yùn)算.

三、背景探究及模型推廣

根據(jù)上面的解答過(guò)程可知,解題的核心在于對(duì)y1y2y3y4=16的解析,為了有效地說(shuō)明該結(jié)論對(duì)應(yīng)的本質(zhì).我們先看如下的一個(gè)引理.

引理設(shè)點(diǎn)P(t,0),過(guò)點(diǎn)P作直線l與拋物線C:y2=2px交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn),則y1y2=-2pt.

證明:設(shè)直線l:x=my+t與拋物線的方程y2=2px聯(lián)立可得y2-2pmy-2pt=0.根據(jù)韋達(dá)定理可得y1y2=-2pt.

在原問題中,設(shè)直線AB,QR與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為t1,t2.根據(jù)引理可得y1y2=-4t1,y3y4=-4t2,即等價(jià)于t1·t2=1.那么原問題可進(jìn)行如下的改述:設(shè)P(x0,y0)(x0≠2)為圓M:(x-1)2+y2=1外一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作圓M的兩條切線,設(shè)兩條切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為t1,t2,若t1·t2=1,求證:點(diǎn)P在一條定曲線上.

該轉(zhuǎn)述完全回避了拋物線的作用,回到了問題的本質(zhì).接下來(lái),本文將嘗試直接轉(zhuǎn)述后的問題.

通過(guò)上述解答過(guò)程,可快速將上述模型進(jìn)行推廣.例如我們可以得到如下的結(jié)論:

結(jié)論1 設(shè)P(x0,y0)(x0≠2)為圓M:(x-1)2+y2=1外一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作圓M的兩條切線,設(shè)兩條切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為t1,t2,若t1·t2=s(s>0),則點(diǎn)P在x2+sy2=s上運(yùn)動(dòng)(即其軌跡為橢圓).