影響數(shù)學(xué)課改的十句名言

胡晉賓 劉洪璐

摘要：在數(shù)學(xué)教育中，有很多朗朗上口的名人名言被不斷引用和傳播，使許多重要理念逐漸凝結(jié)為共識，從而直接或間接地影響著數(shù)學(xué)課改。精選十句經(jīng)典數(shù)學(xué)教育名人名言，簡要論及它們對數(shù)學(xué)課改的深遠(yuǎn)影響。從名人名言的角度研究數(shù)學(xué)課程改革，也是數(shù)學(xué)文化的一種具體表現(xiàn)。

關(guān)鍵詞：名人名言;數(shù)學(xué)課改;數(shù)學(xué)文化

“假傳萬卷書，真?zhèn)饕痪湓??！泵嗣员粡V為引用和傳播，不僅僅是因?yàn)槊诵?yīng)，更主要的原因是名人高瞻遠(yuǎn)矚，提煉和發(fā)出普通民眾的心聲。在數(shù)學(xué)教育中，也有很多朗朗上口的名人名言被不斷引用和傳播，使許多重要理念逐漸凝結(jié)為共識，從而直接或間接地影響著數(shù)學(xué)課改。以下精選十句經(jīng)典數(shù)學(xué)教育名人名言，簡要論及它們對數(shù)學(xué)課改的深遠(yuǎn)影響。

一、課程名言

第一句是，恩格斯的“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)”。

恩格斯在《反杜林論》中的原話如下：“純數(shù)學(xué)是以現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系，也就是說，以非?，F(xiàn)實(shí)的材料為對象的。這種材料以極度抽象的形式出現(xiàn)。這只能在表面上掩蓋它起源于外部世界?！倍鞲袼故钦軐W(xué)家而不是數(shù)學(xué)家，古今數(shù)學(xué)顯然也有較大差異。從這句話來看，他強(qiáng)調(diào)的是數(shù)學(xué)來自外部世界，而且純數(shù)學(xué)研究的是“現(xiàn)實(shí)世界”中的對象。實(shí)際上，今天數(shù)學(xué)的來源不再局限于現(xiàn)實(shí)世界的范疇，而且有想象中和邏輯上的可能選項(xiàng)。但是，數(shù)量關(guān)系和空間形式還是大致反映了中小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容主旨，因此，無論是義務(wù)教育階段還是高中階段的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，都把這句名言修改為“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)”，作為數(shù)學(xué)課程和教學(xué)的邏輯起點(diǎn)放在開篇，簡明扼要地回答了“數(shù)學(xué)是什么”的哲學(xué)追問。它反映了一種數(shù)學(xué)觀，提示人們數(shù)學(xué)不是去研究物質(zhì)的其他方面，而是聚焦于抽象的空間形式和數(shù)量關(guān)系。

第二句是，齊民友的“一種沒有相當(dāng)發(fā)達(dá)的數(shù)學(xué)的文化是注定要衰落的，一個(gè)不掌握數(shù)學(xué)作為一種文化的民族也是注定要衰落的”。

在數(shù)學(xué)界和數(shù)學(xué)教育界，把數(shù)學(xué)當(dāng)作一種文化并高度重視數(shù)學(xué)文化價(jià)值的人不在少數(shù)，相關(guān)名言舉不勝舉。文化是一種素養(yǎng)，“教育無非是一切已學(xué)過的東西都忘掉時(shí)所剩下的東西”，故兩者具有內(nèi)在的一致性。這些名言強(qiáng)調(diào)的是，要跳出傳統(tǒng)觀念中對客觀知識的狹隘理解，站在數(shù)學(xué)的人文宏觀立場上重視數(shù)學(xué)乃至數(shù)學(xué)教育。雖然對數(shù)學(xué)文化的定義眾說紛紜，但是當(dāng)下的課程標(biāo)準(zhǔn)、教材和教學(xué)中，都有很多數(shù)學(xué)文化（數(shù)學(xué)人文和數(shù)學(xué)歷史等）的身影，大家對數(shù)學(xué)的人文性、觀念性和潛隱性的關(guān)切是不約而同的。相關(guān)數(shù)學(xué)文化立場的理念，反映的是對知識生硬掌握和技能機(jī)械操練的超越，指向的是思想文化和精神素養(yǎng)的應(yīng)然追求。正因如此，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：“數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分。”不僅如此，課程標(biāo)準(zhǔn)將整個(gè)數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)納入數(shù)學(xué)文化的范疇來宏觀設(shè)計(jì)，倡導(dǎo)數(shù)學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)文化的有機(jī)融合。

第三句是，蘇步青的“中小學(xué)教材可以混而不錯(cuò)”。

也就是說，知識的發(fā)展、認(rèn)知的建構(gòu)和學(xué)習(xí)的開展，不一定按部就班完全對應(yīng)。在教材編寫過程中，不必拘泥于數(shù)學(xué)知識的邏輯結(jié)構(gòu)，刻板追求內(nèi)部系統(tǒng)的形式嚴(yán)謹(jǐn)，而應(yīng)該充分認(rèn)識和尊重學(xué)與教的實(shí)際，在某些不易交代清楚的地方先含混（當(dāng)然，在含混的時(shí)候不能出現(xiàn)科學(xué)性差錯(cuò)）過去，刪繁就簡以利教學(xué)，等到時(shí)機(jī)成熟后再來反思提升，讓學(xué)生在不斷前進(jìn)和日趨發(fā)展中壯大自己，不能畢其功于一役而裹步不前。這一名言啟迪我們，絕對的、僵化的嚴(yán)謹(jǐn)是做不到的，也是不利于數(shù)學(xué)教學(xué)的。中小學(xué)數(shù)學(xué)教材組織，往往要在學(xué)科課程和經(jīng)驗(yàn)課程之間謀求一種動(dòng)態(tài)和諧的適切平衡。在教材編寫時(shí)，要汲取“新數(shù)運(yùn)動(dòng)”等的教訓(xùn)，恰當(dāng)選擇舊有認(rèn)知平臺，以減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān);妥善處理教材編寫過渡，以利“淡化形式、注重實(shí)質(zhì)”（陳重穆語）。一個(gè)典型的案例是，當(dāng)下的課程標(biāo)準(zhǔn)精選了基本事實(shí)作為公理，對傳統(tǒng)幾何進(jìn)行了有效改造，方便教師的教和學(xué)生的學(xué)。

二、教學(xué)名言

第一句是，張奠宙的“數(shù)學(xué)教師要善于將知識的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)”（簡稱“形態(tài)說”）。

張奠宙指出，知識具有原始形態(tài)、學(xué)術(shù)形態(tài)和教育形態(tài)。知識在發(fā)現(xiàn)、發(fā)明和發(fā)表后，往往是學(xué)術(shù)形態(tài)的，比如數(shù)學(xué)定理等。數(shù)學(xué)教學(xué)中，高明的教師善于將知識轉(zhuǎn)化為教學(xué)形態(tài)。與之類似的名言是張景中的“數(shù)學(xué)教育研究的就是如何砸核桃、吃核桃”（簡稱“核桃說”）。張景中指出，數(shù)學(xué)有價(jià)值但是不好掌握，就如同核桃有營養(yǎng)但是不好剝殼一樣。兩位張先生倡導(dǎo)的，都是區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)術(shù)和數(shù)學(xué)教育及其研究的差異，考慮數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際進(jìn)行教學(xué)轉(zhuǎn)化的問題。把知識進(jìn)行教學(xué)法加工，方便學(xué)生理解和建構(gòu)，這在本質(zhì)上是教師教學(xué)能力的重要指標(biāo)，是教師專業(yè)發(fā)展的重要方向，也是數(shù)學(xué)教育工作師范性、專業(yè)化和藝術(shù)化的具體體現(xiàn)。教材編寫亦是如此。因此，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，教材編寫要“處理好數(shù)學(xué)的科學(xué)形態(tài)與教育形態(tài)之間的關(guān)系”。

第二句是，弗賴登塔爾的“與其說學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不如說學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化”。

相關(guān)的觀點(diǎn)有：數(shù)學(xué)是常識的精微化，要考慮并尊重學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí);數(shù)學(xué)化有水平數(shù)學(xué)化和垂直數(shù)學(xué)化之分;數(shù)學(xué)教學(xué)要考慮“再創(chuàng)造”。弗翁的這句名言，意義類似于“教是為了不教”。教學(xué)不是灌輸結(jié)果性靜態(tài)知識，而是通過經(jīng)歷數(shù)學(xué)化，也就是抽象化、形式化和邏輯化等數(shù)學(xué)思維磨礪，把教學(xué)的結(jié)果占有和過程經(jīng)歷結(jié)合起來。具體的教學(xué)組織中，既沒有水平數(shù)學(xué)化也沒有垂直數(shù)學(xué)化的是機(jī)械主義教學(xué)，多有水平數(shù)學(xué)化而少有垂直數(shù)學(xué)化的是經(jīng)驗(yàn)主義教學(xué)，多有垂直數(shù)學(xué)化而少有水平數(shù)學(xué)化的是結(jié)構(gòu)主義教學(xué)，既有水平數(shù)學(xué)化又有垂直數(shù)學(xué)化的是現(xiàn)實(shí)主義教學(xué)（理想教學(xué)）。顯然，水平數(shù)學(xué)化和“三會”中的“數(shù)學(xué)的眼光”在思路上是一致的。弗賴登塔爾的觀點(diǎn)對中國的數(shù)學(xué)教育影響很大，今天的課程標(biāo)準(zhǔn)中有生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)之分，與此倡導(dǎo)不無關(guān)系。我們不妨從以下兩位專家的觀點(diǎn)中窺其一斑。劉堅(jiān)指出：“當(dāng)然，被稱之為影響20世紀(jì)后50年國際數(shù)學(xué)教育發(fā)展方向的荷蘭數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾的‘現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育思想對我和我們課題組有著巨大的沖擊。這些對我們開展‘大眾數(shù)學(xué)的研究產(chǎn)生了積極的影響，對世紀(jì)之交國家層面的數(shù)學(xué)課程改革產(chǎn)生了重要的推動(dòng)作用?！睂O曉天指出：“我國正在進(jìn)行的新一輪數(shù)學(xué)課程改革，也受到了弗賴登塔爾現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育思想的影響和啟發(fā)。”

第三句是，斯托利亞爾的“現(xiàn)代的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)”。

斯托利亞爾指出，數(shù)學(xué)活動(dòng)可以分為3個(gè)階段：第一，經(jīng)驗(yàn)材料的數(shù)學(xué)組織化;第二，數(shù)學(xué)材料的邏輯組織化;第三，數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用。其實(shí)，這3個(gè)階段也大致對應(yīng)當(dāng)前所說的3個(gè)數(shù)學(xué)基本思想（數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)）——數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)建模，而且，第一和第二階段就是水平數(shù)學(xué)化與垂直數(shù)學(xué)化。上述過程大致反映出唯物主義的路徑：從現(xiàn)實(shí)中去提煉，到數(shù)學(xué)中去升華，再回到現(xiàn)實(shí)中去應(yīng)用。數(shù)學(xué)教學(xué)從本質(zhì)上來說，就是通過數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)，學(xué)會（數(shù)學(xué)地）思維（思考）。數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)該以知識生成、發(fā)展為載體與線索，訓(xùn)練數(shù)學(xué)技能，“要充分暴露數(shù)學(xué)思維過程”（張乃達(dá)語），再把數(shù)學(xué)思維凝練成為數(shù)學(xué)思想。經(jīng)歷上述過程的思維積淀，當(dāng)下課程標(biāo)準(zhǔn)中倡導(dǎo)的“四基”（基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）也就都有了。

三、學(xué)習(xí)名言

第一句是，哈爾莫斯的“問題是數(shù)學(xué)的心臟”。

數(shù)學(xué)問題無論是對于數(shù)學(xué)研究，還是對于數(shù)學(xué)教學(xué)來說，都尤其重要。在數(shù)學(xué)發(fā)展方面，希爾伯特指出：“任何一門學(xué)科，只要它能提供豐富的問題，它就是有生命力的。相反，如果問題貧乏，那就預(yù)示著這一門學(xué)科的獨(dú)立發(fā)展已經(jīng)趨向消亡和終止。”而波利亞則說：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題。”實(shí)際上，課程標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)提出數(shù)學(xué)“四能”——發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。這些問題可劃分為以下多種：純粹問題，現(xiàn)實(shí)問題;封閉題，開放題;等等。這句名言提醒我們，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是簡單的淺層閱讀，而要以問題的解決為練兵場，下功夫多做題、去實(shí)踐。通過做題、實(shí)踐與反思，學(xué)會解題、應(yīng)用與思維。顯然，不能把問題局限于教輔資料上的題目。能否從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和素養(yǎng)水平高低的具體表現(xiàn)。切換到教學(xué)方面，能否以恰當(dāng)?shù)膯栴}（問題串或問題鏈）驅(qū)動(dòng)課堂，也是數(shù)學(xué)教學(xué)成敗的關(guān)鍵。

第二句是，米山國藏的如下名言：“在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識，畢業(yè)后若沒什么機(jī)會去用，不到一兩年，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法以及看問題的著眼點(diǎn)等，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終身受益?！?/p>

上述名言指出的是，相對知識而言，數(shù)學(xué)的思想方法乃至理性精神至關(guān)重要。真正的掌握，是對數(shù)學(xué)知識的融會貫通，是對數(shù)學(xué)思想的深刻領(lǐng)悟，是對數(shù)學(xué)文化的自覺繼承。正因如此，鄭毓信指出，數(shù)學(xué)教學(xué)可劃分為以下3個(gè)層級：知識技能，思想方法，文化觀念。局限于知識技能，只能算工匠型教師。超越知識技能，挖掘知識技能背后潛在和負(fù)載的數(shù)學(xué)思想方法，那就是智慧型教師。若再超越思想方法，把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)作一種文化傳承和觀念建構(gòu)，那就是大師型教師。所謂“授人以魚不如授人以漁”，理想的數(shù)學(xué)教學(xué)需要智慧型和大師型教師，理想的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)追求數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟和數(shù)學(xué)文化觀念的熏陶。

第三句是，吳文俊的“數(shù)學(xué)是笨人學(xué)的”。

顯然，吳文俊不是笨人。這里的“笨”是指，數(shù)學(xué)的發(fā)展是嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)和循序漸進(jìn)的，數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都需要專注努力，通過不懈超越，方可熟能生巧，才有推陳出新。陳省身經(jīng)常說，“我別的不會”，“比方說在廚房里頭炒木須肉，這個(gè)菜炒了幾十年以后，才了解得比較清楚，數(shù)學(xué)（研究）也這樣子，有些工作一定要重復(fù)，才能夠精，才能做新的東西”。華羅庚也說，讀書應(yīng)該“從薄到厚”再“從厚到薄”。上述名言啟迪我們，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)沒有終南捷徑與“王者之道”;基礎(chǔ)不牢，地動(dòng)山搖;首先打好基礎(chǔ)，然后才能深入發(fā)展。這也可以理解為，數(shù)學(xué)往往使人謙虛、理性，不浮泛、少感性。當(dāng)然，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，要強(qiáng)調(diào)適度的熟能生巧式演練，因?yàn)榈退降摹八㈩}”和無休止的“死揪”，是會導(dǎo)致“熟能生厭”和“熟能生笨”的（李士锜語）。反映在課程標(biāo)準(zhǔn)里，數(shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)從傳統(tǒng)的“雙基”的側(cè)重拓展到“四基”的平衡。在倡導(dǎo)自主、合作、探究學(xué)習(xí)的同時(shí)，并不排斥傳統(tǒng)的有意義接受式學(xué)習(xí)。

第四句是，歐內(nèi)斯特的“絕對主義的伊甸園，不過是傻瓜的天堂”。

該名言告誡我們，確定性、絕對性的數(shù)學(xué)觀雖然合理，但是并不吻合經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)驗(yàn)和擬經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)觀對確定性和絕對性的數(shù)學(xué)觀的取代已成必然趨勢。“任何一次深入的數(shù)學(xué)教育改革運(yùn)動(dòng)，必然具有一定的哲學(xué)思想基礎(chǔ)?！碑?dāng)下的數(shù)學(xué)課程和教學(xué)改革，較多地體現(xiàn)出上述數(shù)學(xué)觀的轉(zhuǎn)變。根據(jù)歐內(nèi)斯特的研究，絕對主義是靜態(tài)的、結(jié)果的，注重終結(jié)的或展現(xiàn)了的知識（命題等），以及知識的基礎(chǔ)和判定;把數(shù)學(xué)看作與其他知識領(lǐng)域嚴(yán)格隔離分開的單獨(dú)學(xué)科，認(rèn)為數(shù)學(xué)只依靠嚴(yán)格的證明，否認(rèn)數(shù)學(xué)與人類歷史、知識發(fā)生以及環(huán)境條件等的內(nèi)在聯(lián)系。而可誤主義是動(dòng)態(tài)的、過程的，注重知識的發(fā)生和人類對創(chuàng)造知識的貢獻(xiàn)，肯定出錯(cuò)的作用;把數(shù)學(xué)與人類整體知識結(jié)構(gòu)相聯(lián)系，認(rèn)為數(shù)學(xué)不能與物理學(xué)以及其他科學(xué)相分離，數(shù)學(xué)是人類歷史以及實(shí)踐乃至文化的不可分割的組成部分。類似的觀點(diǎn)不少。比如，波利亞認(rèn)為：“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面。一方面，是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這方面看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)。但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來像是一門試驗(yàn)性的歸納科學(xué)。”波利亞與歐內(nèi)斯特在有關(guān)數(shù)學(xué)知識理解方面的許多觀點(diǎn)不謀而合。上述名言的啟示是：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該強(qiáng)調(diào)過程，關(guān)注文化，寬容差錯(cuò)，聯(lián)系實(shí)際，兼顧合情推理和演繹推理;不能簡單復(fù)制與全盤接受，而應(yīng)大膽質(zhì)疑和批判超越，等等。這在課標(biāo)和教材中，都有大量體現(xiàn)。

四、結(jié)語

上述名言已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育專業(yè)的共有學(xué)術(shù)話語，表現(xiàn)出了經(jīng)久的生命力和強(qiáng)大的影響力。經(jīng)常反思這些名人名言，有利于了解教育理念的來龍去脈，加深對數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的理解，促進(jìn)對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的引導(dǎo)，方便教師教學(xué)工作的開展。而從名人名言的角度研究數(shù)學(xué)課程改革，顯然也是數(shù)學(xué)文化的一種具體表現(xiàn)。

以上名言的選擇局限于數(shù)學(xué)教育方面，沒有涉及一般教育領(lǐng)域。實(shí)際上，一般教育名言對數(shù)學(xué)教育的影響也不可低估。比如，奧蘇貝爾指出：“假如讓我把全部教育心理學(xué)僅僅歸結(jié)為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之曰：影響學(xué)習(xí)唯一最重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么。要探明這一點(diǎn)，并應(yīng)據(jù)此進(jìn)行教學(xué)?！贝送?，還有一些數(shù)學(xué)教育名言對數(shù)學(xué)教育具有很大的啟發(fā)性，如李秉彝的“標(biāo)準(zhǔn)是家，不是牢房”，章建躍的“理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)”，單墫的“數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)”，華羅庚的“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)”等。本文不一而足，掛一漏萬。

最后值得一提的是，以上將名言分為課程、教學(xué)和學(xué)習(xí)三類是粗略的。事實(shí)上，它們是很難嚴(yán)格分類的，尤其是教學(xué)名言與學(xué)習(xí)名言，因?yàn)榻虒W(xué)的本質(zhì)就是促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)，而我們又是從教學(xué)的角度看待學(xué)習(xí)問題的。

參考文獻(xiàn)：

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