指向深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念結(jié)構(gòu)化教學(xué)
——以“二次函數(shù)”課堂教學(xué)為例

楊?？?(江蘇省泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué) 225500)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(下稱《課標(biāo)2022》)指出:要注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化[1]85.由此可見,“結(jié)構(gòu)化”是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求.那么,數(shù)學(xué)概念教學(xué)如何引導(dǎo)學(xué)生通過“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)促進(jìn)其深度學(xué)習(xí)呢?最近,在一場特級(骨干)教師“牽手農(nóng)村教育”送教活動中,筆者觀摩了一位青年教師執(zhí)教的一節(jié)“二次函數(shù)”課,引發(fā)了對指向深度學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)化概念教學(xué)的思考.

1 教學(xué)片斷

本節(jié)課內(nèi)容選自蘇科版教材九年級下冊第五章《二次函數(shù)》第一節(jié),下面呈現(xiàn)教學(xué)簡案及筆者的分析與思考.

片段1 舊知回顧

問題1 一般地,在一個變化的過程中有兩個變量x和y,如果對于變量x的值,變量y都有的值與之對應(yīng),那么我們稱y是x的,其中x是,y是.

追問1:何為一次函數(shù)(正比例函數(shù))?

追問2:何為反比例函數(shù)?

片段2 新知探究

問題2 一粒石子投入水中,激起的波紋不斷向外擴(kuò)展,擴(kuò)大的圓的面積S與半徑r之間的函數(shù)關(guān)系式是什么?

問題3 用籬笆圍成一個長方形的生物園來飼養(yǎng)兔子,已知籬笆的長是16 m,寫出兔子的活動范圍y與長方形的長x之間的函數(shù)關(guān)系式.

追問:這兩個函數(shù)關(guān)系式中自變量的次數(shù)分別是多少?

問題4 一面長與寬之比為2∶1的矩形鏡子,四周鑲有邊框．已知鏡面的價格是120元/m2,邊框的價格是30元/m,加工費(fèi)為45元．設(shè)鏡面寬為xm,求總費(fèi)用y(元)與鏡面寬x之間的函數(shù)關(guān)系式.

追問1:鏡面的費(fèi)用、邊框的費(fèi)用、總費(fèi)用怎么表示?

追問2:這三個函數(shù)關(guān)系式有什么共性?

片段3 新知鞏固

問題5 下列哪些函數(shù)是二次函數(shù)?為什么?如果是二次函數(shù),請指出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)以及常數(shù)項.

(1)y=1+x2;(4)y=2x2-3x3+1;

(3)y=t(1+t); (6)y=22-x.

問題6 如果函數(shù)y=xk2-2+kx-2是二次函數(shù),則k的值是多少?

追問:依據(jù)剛剛學(xué)習(xí)的二次方程,你能怎么變式?

問題7 用16 m長的籬笆圍成一邊靠墻(墻長6 m)的長方形的生物園飼養(yǎng)小兔,設(shè)垂直于墻的一邊長為xm,長方形的面積記為ym2．求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

追問:自變量的取值范圍是什么?

片段4 歸納建構(gòu)

問題8 這節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識?

問題9 收獲了哪些思想方法?

問題10 后續(xù)可能會研究什么內(nèi)容?

問題11 課堂上我還存在的困惑是什么?

……

2 教學(xué)分析

這節(jié)課能引導(dǎo)學(xué)生主動探索,課堂教學(xué)重點(diǎn)突出、選例經(jīng)典、講解細(xì)致,教學(xué)活動逐步深入、層層遞進(jìn),達(dá)成了知識與技能的學(xué)習(xí)目標(biāo).

一是回顧已有知識,在復(fù)習(xí)中做好鋪墊.課堂伊始,教師直接拋出函數(shù)的概念問題,先問什么是函數(shù),直接復(fù)習(xí)函數(shù)的概念,再通過追問,回顧一次函數(shù)和反比例函數(shù)的概念,為二次函數(shù)概念的學(xué)習(xí)做好方法的準(zhǔn)備.貌似開門見山,直入主題,卻會讓學(xué)生對函數(shù)的概念越發(fā)迷糊.

二是基于已有認(rèn)知,在類比中形成概念.在“片斷2”中,教師從學(xué)生已有認(rèn)知和生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā),設(shè)計了三個問題,列出函數(shù)表達(dá)式,教師追問三個函數(shù)的共性,在學(xué)生的思考與交流中得出二次函數(shù)的概念和一般形式,并類比一次函數(shù)得到二次函數(shù)的三種特殊形式,且強(qiáng)調(diào)實(shí)際問題要考慮自變量的取值范圍,基本完成了概念教學(xué)任務(wù).

三是通過問題解決,在辨析中內(nèi)化概念.“片斷3”通過具體問題的辨析內(nèi)化二次函數(shù)概念,在觀察、思考和交流中,明確了函數(shù)表達(dá)式的等號右邊是自變量的二次整式,最高次數(shù)為2;通過問題變式訓(xùn)練,強(qiáng)化了二次函數(shù)存在的條件是二次項系數(shù)不為0;通過實(shí)際問題的研究,強(qiáng)調(diào)了自變量取值范圍問題.

四是著眼知識技能,在反思中歸納建構(gòu).“片斷4”引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)知識、數(shù)學(xué)方法和方向引領(lǐng)三個方面自主建構(gòu),并借助一次函數(shù)的學(xué)習(xí),明確了二次函數(shù)后續(xù)研究的方向與路徑,啟發(fā)學(xué)生對本節(jié)課的內(nèi)容提出自己的困惑和質(zhì)疑,培養(yǎng)其提出問題的能力.但由于時間分布不太合理,該環(huán)節(jié)顯得匆忙,沒有達(dá)到預(yù)期的效果.

3 教學(xué)改進(jìn)

深度教學(xué)是在有效教學(xué)的基礎(chǔ)上,深挖教材與資源,引發(fā)學(xué)生更深層次的思考,使其能夠善于發(fā)現(xiàn)新問題、提出新觀點(diǎn)、探索新方法[2].《課標(biāo)2022》強(qiáng)調(diào)要以整體觀和聯(lián)系觀開展數(shù)學(xué)教學(xué)[1]85-86.比如,如何關(guān)注知識的內(nèi)部聯(lián)系,以聯(lián)系觀念開展概念教學(xué)?如何充分體現(xiàn)學(xué)生主體性?如何讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地?這些都是初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該思考的問題.基于此,筆者從三個方面對本節(jié)課進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計.

3.1 以結(jié)構(gòu)化的方法激發(fā)學(xué)生提出深度問題

對初中生來說,函數(shù)是比較抽象的概念.針對函數(shù)這一特點(diǎn),可先適當(dāng)?shù)瘮?shù)概念.

問題1 一粒石子投入水中,激起的波紋不斷向外擴(kuò)展,所形成的圓的周長C與半徑r之間的函數(shù)表達(dá)式為,這是函數(shù).

問題2 用籬笆圍成一個長方形的生物園來飼養(yǎng)小兔,已知長方形面積為16 m2,長為xm,寬為ym,則y與x的函數(shù)表達(dá)式為,這是函數(shù).

追問1:兩題有什么共性?

追問2:你怎樣認(rèn)識函數(shù)是解決問題的有效手段?

設(shè)計意圖根據(jù)學(xué)生已有認(rèn)知,基于結(jié)構(gòu)化、條理化的安排,從問題情境出發(fā),圍繞教材中“石子投入水中的波紋”和“籬笆飼養(yǎng)小兔”兩個問題展開追問,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到建立函數(shù)模型是解決問題的有效手段,從而感受到二次函數(shù)概念學(xué)習(xí)的必要性.

3.2 以結(jié)構(gòu)化的思維引導(dǎo)二次函數(shù)概念的生成

如何充分調(diào)動學(xué)生的思維,克服學(xué)生想得少、學(xué)得淺,知識理解不連貫的問題?筆者以為,可在前一環(huán)節(jié)基礎(chǔ)上,以問題串的形式繼續(xù)追問,結(jié)構(gòu)化地指引學(xué)生深度思考.

問題3 一粒石子投入水中,激起的波紋不斷向外擴(kuò)展,所形成的圓的面積S與半徑r之間有何關(guān)系?

追問1:當(dāng)r確定時,圓的面積S確定嗎?

追問2:S是r的函數(shù)嗎?

追問3:理由是什么?

追問4:這個函數(shù)我們學(xué)過嗎?

設(shè)計意圖在這個過程中,教師只是追問“所形成的圓的面積S與半徑r之間有何關(guān)系?”,啟發(fā)學(xué)生思考,而不直接點(diǎn)出函數(shù)關(guān)系,旨在利用賦值法,給定r一個值,S就有唯一確定的值,從而滲透“對應(yīng)聯(lián)動”的變量關(guān)系,如此復(fù)習(xí)了函數(shù)概念,并由內(nèi)向外剖析函數(shù)概念,為引入二次函數(shù)做好鋪墊.這種教學(xué)方式既充分利用了問題情境資源,又能抓住數(shù)學(xué)概念之間的內(nèi)部聯(lián)系.

問題4 用16 m長的籬笆圍成一個長方形的生物園飼養(yǎng)小兔,你將如何來研究生物園的面積?

追問1:怎么研究?小學(xué)學(xué)過什么方法嗎?

追問2:可否有更好的方法來解決問題?

追問3:請問y=-x2+8x是函數(shù)嗎?

追問4:同學(xué)們,這個函數(shù)你們學(xué)過嗎?

設(shè)計意圖問題的設(shè)問貌似很散,但學(xué)生基于上一問自然會想到賦值.通過討論、交流,發(fā)現(xiàn)賦值的局限性,進(jìn)而聯(lián)想到設(shè)出變量,尋找等量關(guān)系,列出等式(函數(shù)),再有意識地規(guī)范書寫,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步識別函數(shù),如此既內(nèi)化了函數(shù)概念,又為引入二次函數(shù)做好準(zhǔn)備.

問題5 一面長與寬之比為2∶1的矩形鏡子,四周鑲有邊框．已知鏡面的價格是120元/m2,邊框的價格是30元/m,加工費(fèi)為45元．你會如何研究總費(fèi)用?

追問1:總費(fèi)用由什么組成?怎么表示?

追問2:未知量如何表示?

追問3:這個y=240x2+180x+45是函數(shù)嗎?

追問4:理由是什么?

設(shè)計意圖學(xué)生在掌握函數(shù)概念的基礎(chǔ)上,通過自主完成問題5,自然生成二次概念.而追問1和2旨在提醒學(xué)生用變量關(guān)系來轉(zhuǎn)化問題,追問3和4旨在引導(dǎo)學(xué)生建立函數(shù)模型解決問題.經(jīng)過3個問題的追問引導(dǎo),強(qiáng)化函數(shù)與二次函數(shù)概念的關(guān)聯(lián),如此二次函數(shù)概念水到渠成,實(shí)現(xiàn)了概念的結(jié)構(gòu)化教學(xué).

3.3 以結(jié)構(gòu)化的觀念強(qiáng)化概念的深度理解應(yīng)用

問題6 二次函數(shù)有何特征?我們是如何將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的?

追問1:函數(shù)描述的是什么關(guān)系?

追問2:建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是什么?

追問3:我們運(yùn)用了哪些思想和方法?

追問4:接下來期待學(xué)習(xí)函數(shù)的什么知識來有效解決實(shí)際問題?

設(shè)計意圖課堂小結(jié)的重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生把知識、方法、思想結(jié)構(gòu)化,旨在幫助學(xué)生梳理數(shù)學(xué)知識、方法與思想,實(shí)現(xiàn)知識的銜接、方法的關(guān)聯(lián)、思維的升華.筆者的小結(jié)教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生在自主歸納、自主反思、自主質(zhì)疑的基礎(chǔ)上,設(shè)計出如 圖1所示的結(jié)構(gòu)圖,并通過問題追問,讓學(xué)生把握建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)鍵,感受數(shù)學(xué)思想和方法,同時明確后續(xù)的研究方向與路徑,提出新的質(zhì)疑.

圖1 函數(shù)知識結(jié)構(gòu)圖

4 教學(xué)思考

結(jié)構(gòu)化概念教學(xué)可以從多方面促進(jìn)學(xué)生理解概念、“生長”概念,達(dá)成深度學(xué)習(xí).在教學(xué)中,數(shù)學(xué)育人要用數(shù)學(xué)的方式[3].教師可以聯(lián)系舊知,尋求起點(diǎn)對比分析、加強(qiáng)溝通,可以逆向思維,探索知識異同,可以總結(jié)經(jīng)驗(yàn)、拓展延伸,還可以綜合實(shí)踐、創(chuàng)新應(yīng)用等,真正引導(dǎo)并幫助學(xué)生構(gòu)建理性的思維體系,使他們能夠以結(jié)構(gòu)化的眼光去看待知識的學(xué)習(xí)過程,進(jìn)而可以系統(tǒng)掌握學(xué)習(xí)的知識和技能.

4.1 確定結(jié)構(gòu)化單元學(xué)習(xí)目標(biāo)

結(jié)構(gòu)化單元的學(xué)習(xí)目標(biāo)是促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的助推劑,如何設(shè)計結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)目標(biāo)就顯得特別重要.筆者在本節(jié)課的設(shè)計中,把知識目標(biāo)設(shè)定為“函數(shù)→二次函數(shù)”的遞進(jìn)式目標(biāo),方法目標(biāo)設(shè)定為“實(shí)際問題→數(shù)學(xué)問題→學(xué)會用函數(shù)模型解決問題”的目標(biāo).通過問題串追問,指引學(xué)生深度思考,讓學(xué)生在潛移默化中獲得“知識→能力→素養(yǎng)”的發(fā)展.

4.2 構(gòu)建整體關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)體系

蘇科版初中數(shù)學(xué)教材函數(shù)內(nèi)容分為八年級上冊的一次函數(shù)、八年級下冊的反比例函數(shù)和九年級下冊的二次函數(shù)3個板塊.面對這種板塊式、間斷式設(shè)計,用傳統(tǒng)的方法進(jìn)行碎片化教學(xué)顯然效果不理想,有必要精心安排教學(xué)內(nèi)容并進(jìn)行整合、優(yōu)化和關(guān)聯(lián),通過單元主題式教學(xué)方式,實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)方法的結(jié)構(gòu)化和思維能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的最優(yōu)化.