“圖形與幾何”小初銜接教學(xué)探索

摘要：從小學(xué)到初中，圖形與幾何領(lǐng)域內(nèi)容在相互聯(lián)系、漸進(jìn)發(fā)展的同時(shí)，又在數(shù)學(xué)表達(dá)、知識(shí)體系、研究方法等方面表現(xiàn)出一些明顯的差異。由此，做好圖形與幾何領(lǐng)域小初銜接教學(xué)，需要引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范數(shù)學(xué)表達(dá)，注意靜動(dòng)結(jié)合，學(xué)會(huì)知識(shí)梳理，聚焦尺規(guī)作圖，嘗試幾何推理。

關(guān)鍵詞：小初銜接；數(shù)學(xué)教學(xué)；圖形與幾何；實(shí)驗(yàn)幾何；論證幾何

一、 教學(xué)內(nèi)容分析

“圖形與幾何”是義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的四個(gè)領(lǐng)域之一。研究《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“新課標(biāo)”）中圖形與幾何領(lǐng)域的課程內(nèi)容，不難發(fā)現(xiàn)：初中階段“圖形的性質(zhì)”主題是小學(xué)階段“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”主題的延伸，初中階段“圖形的變化”主題和“圖形與坐標(biāo)”主題是小學(xué)階段“圖形的位置與運(yùn)動(dòng)”主題的延伸。進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)，從小學(xué)到初中，圖形與幾何領(lǐng)域內(nèi)容在相互聯(lián)系、漸進(jìn)發(fā)展的同時(shí)，又表現(xiàn)出一些明顯的差異：

一是數(shù)學(xué)表達(dá)方面。小學(xué)階段對(duì)圖形與幾何領(lǐng)域知識(shí)的表達(dá)更加直觀、具體、通俗，尤其是淡化了規(guī)范的定義，多使用描述性語(yǔ)言，注重圖形語(yǔ)言，便于學(xué)生借助經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)感悟、理解相關(guān)概念、性質(zhì)、公式等，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。初中階段對(duì)圖形與幾何領(lǐng)域知識(shí)的表達(dá)更為抽象、嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)，尤其是指向數(shù)學(xué)本質(zhì)，凸顯要素關(guān)系，注重?cái)?shù)形結(jié)合，在培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力、推理能力。例如，對(duì)于軸對(duì)稱(chēng)圖形，小學(xué)教材這樣描述：“對(duì)折后能完全重合的圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形?！背踔薪滩倪@樣定義：“把一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊，如果直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形。”相對(duì)而言，語(yǔ)言問(wèn)題在圖形與幾何領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中比在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中更突出，因?yàn)閿?shù)與代數(shù)領(lǐng)域?qū)W習(xí)的就是規(guī)范化表達(dá)數(shù)量以及數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。

二是知識(shí)體系方面。小學(xué)圖形與幾何領(lǐng)域內(nèi)容教學(xué)的重點(diǎn)在于以觀察、操作為主，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形特征（了解圖形概念），探索簡(jiǎn)單的周長(zhǎng)、面積、體積的計(jì)算方法。初中圖形與幾何領(lǐng)域內(nèi)容的教學(xué)則在重新建構(gòu)圖形定義的基礎(chǔ)上，以邏輯思維、推理論證為主，引導(dǎo)學(xué)生廣泛、深入地探索圖形的性質(zhì)，包括有關(guān)的公式、結(jié)論。

三是研究方法方面。小學(xué)圖形與幾何領(lǐng)域內(nèi)容的研究更注重直觀感知、操作體驗(yàn)的手段，更關(guān)注實(shí)物圖形和幾何圖形之間的抽象和具現(xiàn)，更接近實(shí)驗(yàn)幾何。因此，教學(xué)更多地借助實(shí)物教（學(xué)）具、多媒體軟件進(jìn)行演示，更多地讓學(xué)生觀察、操作、實(shí)踐。初中圖形與幾何領(lǐng)域內(nèi)容的研究更注重空間想象、邏輯推理，更關(guān)注幾何圖形及其性質(zhì)之間的關(guān)系，更接近論證幾何。因此，教學(xué)的方式也更抽象一些。

二、 銜接教學(xué)建議

上述差異會(huì)讓剛踏入初中的大多數(shù)學(xué)生感到難以轉(zhuǎn)變，很不適應(yīng)，因此，教師需要做好銜接教學(xué)。具體地，可以從數(shù)學(xué)表達(dá)、知識(shí)體系、研究方法等方面入手。

（一） 規(guī)范數(shù)學(xué)表達(dá)

小學(xué)階段，學(xué)生可以更多地用自己的語(yǔ)言描述性地表達(dá)圖形的概念、特征、性質(zhì)、判定等。這樣的表達(dá)常常相對(duì)含混、模糊、隨意。對(duì)此，教師要循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)語(yǔ)言做規(guī)范化處理，使之更加明確、清晰、嚴(yán)謹(jǐn)，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而與初中階段的規(guī)范表達(dá)做好銜接，也完善學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，提升學(xué)生的邏輯思維。

例如，對(duì)于三角形概念，小學(xué)教材中的定義為“由三條線(xiàn)段首尾相接圍成的圖形”，而初中教材中的定義為“由不在同一條直線(xiàn)上的三條線(xiàn)段首尾依次相接組成的圖形”，給“三條線(xiàn)段”增加了“不在同一條直線(xiàn)上”的定語(yǔ)，給“首尾相接”增加了“依次”的狀語(yǔ)。再如，對(duì)于梯形概念，小學(xué)教材中的定義是“只有一組對(duì)邊平行的四邊形”，而初中教材中的定義是“一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形”，強(qiáng)調(diào)了另一組對(duì)邊的關(guān)系。這些都是教師在教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范數(shù)學(xué)表達(dá)的地方。

（二） 注意靜動(dòng)結(jié)合

初中圖形與幾何領(lǐng)域的學(xué)習(xí)更關(guān)注圖形要素之間以及圖形之間的關(guān)系。而多個(gè)圖形（要素）之間的關(guān)系?？梢酝ㄟ^(guò)單個(gè)圖形（要素）的運(yùn)動(dòng)變化顯現(xiàn)出來(lái)。比如，點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)，線(xiàn)動(dòng)成面，面動(dòng)成體。因此，在小初銜接教學(xué)中，教師要注意動(dòng)靜結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生在靜態(tài)認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，充分發(fā)揮直觀想象，適當(dāng)開(kāi)展動(dòng)態(tài)探究，更好地認(rèn)識(shí)圖形的特征與性質(zhì)。

例如，小學(xué)學(xué)習(xí)《圓的認(rèn)識(shí)》一課，僅通過(guò)看、折、量等活動(dòng)探究發(fā)現(xiàn)圓的特征，是靜態(tài)認(rèn)識(shí)的過(guò)程，不能很好地認(rèn)識(shí)圓“一中同長(zhǎng)”的數(shù)學(xué)本質(zhì)。對(duì)此，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在圓（或圓上的點(diǎn)）繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中再認(rèn)識(shí)圓，感受到圓是與定點(diǎn)之間的距離保持定長(zhǎng)的所有點(diǎn)的集合（形成這個(gè)感受即可，不必知道“集合”這個(gè)概念），從而理解為什么同一圓內(nèi)的半徑都相等，更好地認(rèn)識(shí)圓的本質(zhì)，為初中學(xué)習(xí)圓的規(guī)范定義做好鋪墊。

（三） 學(xué)會(huì)知識(shí)梳理

初中圖形與幾何領(lǐng)域的知識(shí)更豐富，從而更關(guān)注知識(shí)的相互聯(lián)系形成的整體結(jié)構(gòu)。因此，在小初銜接教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)，整體理解圖形以及圖形關(guān)系的有關(guān)知識(shí)。為此，教師需要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生在具體圖形的研究中，體會(huì)圖形研究的基本角度與一般步驟。如從“點(diǎn)、角、邊”的角度研究平面圖形，從“點(diǎn)、棱、面”的角度研究立體圖形，借助已有圖形知識(shí)體系類(lèi)比研究新的圖形，按“定義—表示—特征—分類(lèi)—性質(zhì)—判定—應(yīng)用”的順序研究圖形。同時(shí)，要在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候，如單元復(fù)習(xí)、期末復(fù)習(xí)、總復(fù)習(xí)中，給予學(xué)生自主梳理的空間，以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的方式，引導(dǎo)學(xué)生嘗試運(yùn)用思維導(dǎo)圖、知識(shí)結(jié)構(gòu)圖等，建立所學(xué)圖形知識(shí)的結(jié)構(gòu)體系。

（四） 聚焦尺規(guī)作圖

尺規(guī)作圖一直是初中幾何的重要內(nèi)容。新課標(biāo)圖形與幾何領(lǐng)域內(nèi)容最重要的一個(gè)變化就是，在小學(xué)階段增加了尺規(guī)作圖的內(nèi)容及要求。［1］用測(cè)量工具作圖主要基于對(duì)長(zhǎng)度、角度等的測(cè)量，是實(shí)驗(yàn)性的；而尺規(guī)作圖主要基于對(duì)圖形性質(zhì)的推理，是邏輯性的。因此，尺規(guī)作圖是圖形與幾何領(lǐng)域小初銜接教學(xué)重要的聚焦點(diǎn)。教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)尺規(guī)功能，厘清作圖步驟，探明作圖道理，以建立直觀操作與抽象推理之間的聯(lián)系，理解知識(shí)關(guān)系，發(fā)展邏輯思維。

例如，教學(xué)“三角形三邊關(guān)系”時(shí)，教師可以給定的三條線(xiàn)段（如圖1所示），讓學(xué)生用尺規(guī)作三角形。學(xué)生在嘗試中，會(huì)從將第二條邊與第三條邊的端點(diǎn)“湊”到一塊的方法，進(jìn)階到畫(huà)兩條弧相交來(lái)確定第三個(gè)頂點(diǎn)的方法（如圖2所示），但是不能清晰地說(shuō)明背后的道理。對(duì)此，教師要引導(dǎo)學(xué)生溯源推理，啟發(fā)學(xué)生思考：為什么兩條弧的交點(diǎn)是三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)？再組織學(xué)生交流，使其理解：以點(diǎn)B為圓心所畫(huà)的弧上所有點(diǎn)到點(diǎn)B的距離都等于b，以點(diǎn)C為圓心所畫(huà)的弧上所有點(diǎn)到點(diǎn)C的距離都等于c，所以?xún)蓷l弧的交點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離為b、到點(diǎn)C的距離為c，是符合要求的第三個(gè)頂點(diǎn)。

（五） 嘗試幾何推理

從小學(xué)到初中，圖形與幾何領(lǐng)域內(nèi)容最大的變化是，從實(shí)驗(yàn)幾何向論證幾何的轉(zhuǎn)變。因此，在小初銜接教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生嘗試進(jìn)行幾何推理，用簡(jiǎn)單（一兩步）的推理論證幾何結(jié)論，從而不僅培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，而且培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

例如，教學(xué)“三角形內(nèi)角和”時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：除了用“拼一拼”“量一量”的方法，如何能證明三角形的內(nèi)角和是180°？對(duì)此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助密鋪原理，即任意一個(gè)三角形都能密鋪（如圖3所示），推理得出三角形的內(nèi)角和是180°；也可以引導(dǎo)學(xué)生借助平行線(xiàn)來(lái)證明……此外，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生利用三角形的內(nèi)角和是180°，推理得出任意三角形至少有兩個(gè)銳角。類(lèi)似地，教學(xué)“三角形三邊關(guān)系”時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”這一基本事實(shí)，推理得出三角形兩邊之和大于第三邊。

再如，“軸對(duì)稱(chēng)圖形”的復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正三角形有三條對(duì)稱(chēng)軸，正四邊形有四條對(duì)稱(chēng)軸，正五邊形有五條對(duì)稱(chēng)軸……正n邊形有n條對(duì)稱(chēng)軸，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)n越大，正n邊形越接近圓，直至趨向于無(wú)窮大時(shí)，就成了圓，從而說(shuō)明圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 呂世虎，顏飛.新課標(biāo)“圖形與幾何”內(nèi)容分析：從結(jié)構(gòu)到要求［J］.教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2022（10）：11.

（湯琪，江蘇省蘇州市虎丘實(shí)驗(yàn)小學(xué)校。蘇州市優(yōu)秀教育工作者，蘇州市“教科研融合建議基地”項(xiàng)目先進(jìn)個(gè)人，姑蘇教育青年拔尖人才，姑蘇區(qū)教壇精英。）