“數(shù)學(xué)運(yùn)算”小初銜接教學(xué)探索

摘要：基于教學(xué)內(nèi)容分析，對(duì)“數(shù)學(xué)運(yùn)算”小初銜接教學(xué)提出建議：注重算理和算法的比較，溝通各種運(yùn)算之間的聯(lián)系；運(yùn)用運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)，鋪墊從“數(shù)”到“式”的變化；追溯數(shù)與運(yùn)算知識(shí)的源頭，體會(huì)運(yùn)算思維的發(fā)展性；加強(qiáng)針對(duì)性的專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練，提高運(yùn)算能力。

關(guān)鍵詞：小初銜接；數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)運(yùn)算；運(yùn)算思維

一、 教學(xué)內(nèi)容分析

運(yùn)算是數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，貫穿于各個(gè)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。從小學(xué)到初中，數(shù)學(xué)運(yùn)算的有關(guān)內(nèi)容有兩大顯著變化：一是數(shù)的范圍從自然數(shù)、正小數(shù)、正分?jǐn)?shù)擴(kuò)充到有理數(shù)、實(shí)數(shù)領(lǐng)域，數(shù)的運(yùn)算也相應(yīng)地在加、減、乘、除的基礎(chǔ)上引入了乘方、開(kāi)方，實(shí)現(xiàn)了由局部到“全局”（實(shí)際上是更大的局部）的跨越；二是運(yùn)算對(duì)象從“數(shù)”擴(kuò)充到“式”，即從算術(shù)運(yùn)算過(guò)渡到代數(shù)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)了由具體到抽象、由特殊到一般的跨越。具體的變化關(guān)系（銜接內(nèi)容）如下：

關(guān)于有理數(shù)的運(yùn)算，小學(xué)階段學(xué)習(xí)自然數(shù)、正小數(shù)、正分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算，分為加減、乘除兩級(jí)；初中階段學(xué)習(xí)有理數(shù)（包括負(fù)數(shù)）的加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方運(yùn)算，分為三級(jí)，一般包括確定符號(hào)、進(jìn)行計(jì)算兩個(gè)步驟。

關(guān)于運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，小學(xué)階段學(xué)習(xí)加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律、結(jié)合律，以及乘法對(duì)加法的分配律，還學(xué)習(xí)減法的性質(zhì)、除法的性質(zhì)等；初中階段數(shù)系擴(kuò)充后，運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)依然適用，但靈活運(yùn)用的要求更高。

關(guān)于代數(shù)式的運(yùn)算，小學(xué)階段學(xué)習(xí)用字母表示運(yùn)算律和數(shù)量關(guān)系，以及簡(jiǎn)單的代數(shù)求值；學(xué)習(xí)倍數(shù)關(guān)系和因數(shù)關(guān)系、公倍數(shù)和最小公倍數(shù)、公因數(shù)和最大公因數(shù)；還學(xué)習(xí)從長(zhǎng)方形的面積公式推導(dǎo)出正方形、平行四邊形等平面圖形的面積公式。初中階段學(xué)習(xí)合并同類(lèi)項(xiàng)和去括號(hào)的法則，簡(jiǎn)單的整式加法和減法運(yùn)算，簡(jiǎn)單的整式乘法運(yùn)算；學(xué)習(xí)因式關(guān)系、公因式、提取公因式，以及因式分解；學(xué)習(xí)分式的約分、通分，簡(jiǎn)單的分式加、減、乘、除運(yùn)算；還學(xué)習(xí)由面積公式推導(dǎo)出乘法公式。

二、 銜接教學(xué)建議

上述變化會(huì)讓剛踏入初中的大多數(shù)學(xué)生感到很不適應(yīng)，因此，教師需要做好“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的小初銜接教學(xué)?？偟膩?lái)看，從小學(xué)到初中，雖然數(shù)學(xué)運(yùn)算的內(nèi)容以及形式都有很大變化，但是本質(zhì)上的運(yùn)算思維是一脈相承的。著名數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾指出：運(yùn)算的本質(zhì)是計(jì)數(shù)，好的方法都強(qiáng)調(diào)計(jì)數(shù)。［1］運(yùn)算思維是指為了更好地計(jì)數(shù)，在理解算理、應(yīng)用算法的過(guò)程中產(chǎn)生的一系列類(lèi)比、遷移、歸納、演繹、聯(lián)想、想象等思維活動(dòng)。因此，從運(yùn)算思維出發(fā)，突破外在的表象，探索運(yùn)算的本質(zhì)，是做好“數(shù)學(xué)運(yùn)算”小初銜接教學(xué)的基本思路。具體地，需要做好以下幾點(diǎn)：

（一） 注重算理和算法的比較，溝通各種運(yùn)算之間的聯(lián)系

算理決定算法。無(wú)論小學(xué)還是初中，各種運(yùn)算的基本算理是一脈相通的。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“新課標(biāo)”）指出：數(shù)的運(yùn)算教學(xué)應(yīng)注重對(duì)整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的統(tǒng)籌，讓學(xué)生進(jìn)一步感悟運(yùn)算的一致性。［2］因此，我們?cè)诮虒W(xué)中，應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生比較算理和算法的共性和差異，溝通各種運(yùn)算之間的聯(lián)系，形成對(duì)運(yùn)算的整體認(rèn)識(shí)。

例如，在“數(shù)的運(yùn)算”的復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師出示如下題組：① 278+1436=；② 37.3+9.92＝；③ 3/4-1/6＝。對(duì)此，學(xué)生在正確計(jì)算方面應(yīng)該不存在困難。教師要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)練習(xí)分別復(fù)習(xí)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加（減）法的計(jì)算法則。這三種運(yùn)算表面上看有比較大的差異：整數(shù)加（減）法要求末位對(duì)齊；小數(shù)加（減）法要求小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊；分?jǐn)?shù)加（減）法強(qiáng)調(diào)通分（分母統(tǒng)一）。教師可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生從表面走向深入：實(shí)質(zhì)

上，三個(gè)計(jì)算法則不是相互割裂的，它們的核心都是相同計(jì)數(shù)單位方可直接相加（減）。如此，返回算理進(jìn)行解釋?zhuān)瑢⒄麛?shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加（減）法的計(jì)算法則統(tǒng)一起來(lái)，突出本質(zhì)，更有利于知識(shí)的理解和保持。

在學(xué)生認(rèn)識(shí)到“數(shù)的加減運(yùn)算就是‘基本單位相同的情況下，‘基本單位個(gè)數(shù)的加減運(yùn)算”的基礎(chǔ)上，可以順勢(shì)拓展。比如2x+6x，“基本單位”是x，就是2個(gè)x加6個(gè)x等于8個(gè)x，即8x；再如7ab-3ab，“基本單位”是ab，就是7個(gè)ab減3個(gè)ab等于4個(gè)ab，即4ab；還如3/m+2/m，“基本單位”是1/m，就是3個(gè)1/m加2個(gè)1/m等于5個(gè)1/m，即5m。如此嘗試運(yùn)用“基本單位”的方法來(lái)進(jìn)行含有字母的式子的加減運(yùn)算，學(xué)生進(jìn)入初中以后，通過(guò)類(lèi)比便能很快掌握和理解式的運(yùn)算，特別是合并同類(lèi)項(xiàng)。

此外，小學(xué)階段的計(jì)算教學(xué)，大多通過(guò)生活情境引入。如整數(shù)四則混合運(yùn)算，就是通過(guò)模擬購(gòu)物，先分步，再綜合，最后得出運(yùn)算順序。這樣的編排符合小學(xué)生的年齡特征，也利于他們通過(guò)現(xiàn)實(shí)情境理解先乘除再加減的運(yùn)算順序。進(jìn)入初中以后，引入了乘方和開(kāi)方運(yùn)算，由二級(jí)運(yùn)算拓展到三級(jí)運(yùn)算。因此教學(xué)中，可以結(jié)合情境向?qū)W生說(shuō)明：從運(yùn)算的發(fā)展來(lái)看，加減法是最基本的運(yùn)算，乘法是相同加數(shù)連加的簡(jiǎn)便運(yùn)算，除法則是相同減數(shù)遞減的簡(jiǎn)便運(yùn)算（也是乘法的逆運(yùn)算），乘除法比加減法高一級(jí)，因此“先乘除再加減”既是解決實(shí)際問(wèn)題的需要，也是基于運(yùn)算意義的規(guī)定；而乘方可以看作乘法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，開(kāi)方則是乘方的逆運(yùn)算，因此乘方、開(kāi)方是更高一級(jí)的運(yùn)算，要優(yōu)先計(jì)算，這是由運(yùn)算的意義以及運(yùn)算之間的關(guān)系決定的。這樣，就便于學(xué)生循序漸進(jìn)地理解和掌握三級(jí)運(yùn)算的意義、關(guān)系以及順序。

（二） 運(yùn)用運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)，鋪墊從“數(shù)”到“式”的變化

小學(xué)階段的運(yùn)算主要是數(shù)的運(yùn)算，通常需要從運(yùn)算的意義出發(fā)，分析算理、得到算法，程序操作、得到結(jié)果。而初中階段的運(yùn)算主要是代數(shù)式（整式、分式、有理式、根式等）的運(yùn)算，更抽象，更一般，更凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，更適合解決問(wèn)題，通常需要基于普遍成立的運(yùn)算律、運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行，是一種變形，而無(wú)具體結(jié)果。正如項(xiàng)武義先生所說(shuō)的：代數(shù)學(xué)的基本思想就是有效、有系統(tǒng)地運(yùn)用普遍成立的運(yùn)算律（運(yùn)算性質(zhì)）去解答多種多樣的代數(shù)問(wèn)題。［3］因此，要做好小初銜接教學(xué)，就要加強(qiáng)運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)及其運(yùn)用的教學(xué)，并做適當(dāng)拓展。

例如，代數(shù)式的合并同類(lèi)項(xiàng)運(yùn)算（變形）其實(shí)就是“根據(jù)乘法分配律把同類(lèi)項(xiàng)合并成一項(xiàng)”。小學(xué)高年級(jí)的教學(xué)中，可以安排這樣的練習(xí)：如圖1所示，求這個(gè)場(chǎng)地的總面積。對(duì)此，可以采取兩種方法計(jì)算，即15a+15a+15a+ab=45a+ab=（45+b）a與（15+15+15+b）a=（45+b）a，從而滲透運(yùn)用乘法分配律合并同類(lèi)項(xiàng)的基本方法。

其實(shí)，在小學(xué)低年級(jí)，學(xué)生也經(jīng)常會(huì)做這

樣的練習(xí)：6個(gè)3加4個(gè)3等于10個(gè)3，6個(gè)3減4個(gè)3等于2個(gè)3……這正是乘法分配律歸結(jié)為乘法運(yùn)算意義的具體化算理解釋。進(jìn)而，在小學(xué)階段，還可加強(qiáng)運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算的各種變式練習(xí)，如：4.44×3.3+2.22×3.4=（2.22×2）×3.3+2.22×3.4=2.22×6.6+2.22×3.4=2.22×10=22.2，333×222÷666=（3×111）×（2×111）÷（6×111）=（3×2×111）×111÷（6×111）=（6×111）×111÷（6×111）=111。由此，讓學(xué)生通過(guò)找相同的“數(shù)”（項(xiàng)），體會(huì)“合并”的數(shù)學(xué)思想；借助“數(shù)”的運(yùn)算，體會(huì)“式”的運(yùn)算，從而感悟“數(shù)式相通”的道理。

此外，新課標(biāo)雖然將“方程”的學(xué)習(xí)完全放在了初中，但是并沒(méi)有削弱小學(xué)階段代數(shù)思維的培養(yǎng)。這主要表現(xiàn)為提升了“用字母表示數(shù)”的要求，將其設(shè)置在“數(shù)量關(guān)系”主題下。［4］小初銜接教學(xué)中，教師需要注意引導(dǎo)學(xué)生用字母表示稍復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，體會(huì)其一般性，從而為初中學(xué)習(xí)代數(shù)式及其運(yùn)算（變形）打好基礎(chǔ)。一方面，對(duì)具有一般性的數(shù)量關(guān)系，如運(yùn)算律、計(jì)算公式、常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系等，要注意突出字母表示；另一方面，對(duì)一些具體情境中的數(shù)量關(guān)系，如“爸爸的年齡是兒子的4倍，媽媽比兒子大26歲”，也要讓學(xué)生嘗試用字母來(lái)表示——設(shè)兒子今年a歲，則爸爸今年4a歲，媽媽今年（a+26）歲。

（三） 追溯數(shù)與運(yùn)算知識(shí)的源頭，體會(huì)運(yùn)算思維的發(fā)展性

從自然數(shù)開(kāi)始，每擴(kuò)充一次數(shù)的集合都是為了滿(mǎn)足某種運(yùn)算的需要。［5］數(shù)與運(yùn)算關(guān)系密切，相關(guān)知識(shí)是交叉遞進(jìn)發(fā)展（螺旋上升）的。因此，在小初銜接教學(xué)中，要梳理整體觀念，注意引導(dǎo)學(xué)生回到數(shù)與運(yùn)算知識(shí)的源頭去思考問(wèn)題，主動(dòng)對(duì)接小學(xué)與初中知識(shí)體系，體會(huì)運(yùn)算思維的發(fā)展性。

例如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)《用字母表示數(shù)》單元中表示正方形的面積公式時(shí)，提到了“平方”的概念：“a×a可以寫(xiě)成a·a，也可以寫(xiě)成a2。a2讀作a的平方?！绷昙?jí)上冊(cè)《長(zhǎng)方體和正方體》單元中提到了“立方”的概念：“a·a·a也可以寫(xiě)成a3，讀作a的立方?！倍K科版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)《有理數(shù)》單元對(duì)“有理數(shù)的乘方”進(jìn)行了系統(tǒng)的教學(xué)，并指出：“特別地，一個(gè)數(shù)的二次方，也稱(chēng)為這個(gè)數(shù)的平方；一個(gè)數(shù)的三次方，也稱(chēng)為這個(gè)數(shù)的立方?！边@就溝通了前后知識(shí)的聯(lián)系，明確了“平方”和“立方”實(shí)質(zhì)都是“求相同因數(shù)的積的運(yùn)算”。

實(shí)際上，小學(xué)學(xué)習(xí)“平方”和“立方”主要是了解它們的意義、讀法和寫(xiě)法，以及作為計(jì)量單位（如m2、cm3）的表示方式和含義；初中學(xué)習(xí)“乘方”則作為一種運(yùn)算直接參與有理數(shù)的混合運(yùn)算。對(duì)此，在小初銜接教學(xué)中，我們可以加強(qiáng)以下幾個(gè)方面的指導(dǎo)：

首先，讓學(xué)生在對(duì)比中理解a2和a3的意義，如a2=a×a表示2個(gè)a相乘，與2a=a+a表示2個(gè)a相加，在“形”與“意”方面相通。

其次，適當(dāng)安排簡(jiǎn)單的乘方運(yùn)算，如32=3×3=9，43=4×4×4=64……在運(yùn)算中，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生寫(xiě)出過(guò)程，即幾個(gè)幾相乘，以加深對(duì)乘方意義的理解。除了求整數(shù)的乘方之外，還可以安排小數(shù)和分?jǐn)?shù)的乘方運(yùn)算，如0.1 2=0.1×0.1=0.01，0.23=0.2×0.2×0.2=0.008，（2/3）2=2/3×2/3=4/9……

再次，滲透含有乘方的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序。對(duì)比初中和小學(xué)的混合運(yùn)算，不同之處是初中增加了乘方運(yùn)算的優(yōu)先權(quán)。含有乘方的混合運(yùn)算雖然是七年級(jí)的全新內(nèi)容，但是在小學(xué)階段其實(shí)也有所涉及。例如，圓的面積計(jì)算公式S=πr2，圓柱的體積計(jì)算公式V=πr2h。教師可以強(qiáng)調(diào)類(lèi)似含有“平方”的式子需要優(yōu)先計(jì)算，并安排一些計(jì)算練習(xí)讓學(xué)生體會(huì)，如32-23，82-14，8+22等。需要注意的是，含有乘方的混合運(yùn)算，除了乘方運(yùn)算之外，其他運(yùn)算以一步為宜。

最后，在六年級(jí)總復(fù)習(xí)階段，復(fù)習(xí)到“平方”和“立方”的知識(shí)時(shí)，也可以適當(dāng)拓展，如：10×10寫(xiě)作102，10×10×10寫(xiě)作103，那么10×10×10×10可以寫(xiě)作怎樣的形式呢？讓學(xué)生以找規(guī)律的形式合情推理，為后續(xù)學(xué)習(xí)科學(xué)計(jì)數(shù)法（乃至其他進(jìn)制進(jìn)率的表示方法）做好鋪墊。

此外，在知識(shí)銜接的過(guò)程中，還要抓住“變與不變”的辯證關(guān)系進(jìn)行滲透，這是思維發(fā)展（學(xué)習(xí)遷移）的基本特征——無(wú)論類(lèi)比、歸納、演繹還是聯(lián)想思維，都蘊(yùn)含著變與不變的要素。比如，從正數(shù)加法到正、負(fù)數(shù)的加法（或正數(shù)的加、減法），要注意使用交換律（不變）時(shí)，不能忘記帶上符號(hào)（變），如5.2-216+2.8-56不能錯(cuò)誤地變?yōu)?.2-2.8+216-56。再如，從因數(shù)分解到因式分解，注意體會(huì)質(zhì)數(shù)、一次式的基礎(chǔ)性以及試商思想、待定系數(shù)法的普適性。

（四） 加強(qiáng)針對(duì)性的專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練，提高運(yùn)算能力

大部分學(xué)生會(huì)在七年級(jí)學(xué)習(xí)有理數(shù)的相關(guān)運(yùn)算時(shí)遇到困難，錯(cuò)誤不斷。因?yàn)檫@時(shí)的運(yùn)算相比于小學(xué)，不僅增加了負(fù)數(shù)（涉及相關(guān)的運(yùn)算法則），而且混合程度較高，步驟較多，同時(shí)會(huì)出現(xiàn)假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)。因此，在小初銜接教學(xué)中，可以適當(dāng)增加一些針對(duì)性的專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練，以積累經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)感，鞏固基本的計(jì)算方法，提高學(xué)生的運(yùn)算能力，提升計(jì)算的熟練度和準(zhǔn)確率。

首先，加強(qiáng)分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化訓(xùn)練。如，對(duì)12=0.5、14=0.25、34=0.75、15=0.2、25=0.4、35=0.6、45=0.8、18=0.125、38=0.375、58=0.625、78=0.875、110=0.1、120=0.05、140=0.025、150=0.02等常用的分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化，應(yīng)熟記過(guò)關(guān)。

其次，加強(qiáng)分?jǐn)?shù)與小數(shù)的專(zhuān)項(xiàng)運(yùn)算訓(xùn)練，如13+0.5、0.4-14、13×0.3、14÷0.2等，提高學(xué)生算法多樣化和優(yōu)化的意識(shí)。當(dāng)然，分?jǐn)?shù)和小數(shù)的混合運(yùn)算，重點(diǎn)是提高熟練度，步驟不宜過(guò)多。

再次，加強(qiáng)帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的互化訓(xùn)練，如94=214、323=113等。同時(shí)，可以進(jìn)行簡(jiǎn)單的含有帶分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算，如214+12、413-123等；還可補(bǔ)充一些簡(jiǎn)單的含有帶分?jǐn)?shù)的乘除運(yùn)算，如225×112、54÷214等。

最后，適當(dāng)增加混合運(yùn)算的步驟，提高學(xué)生計(jì)算的熟練度。如：48÷74÷12×134=48×47×112×74=4；2.25+5.1+14-418-910=2.25+5.1+0.25-4.125-0.9=2.575……

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（陸椿，江蘇省蘇州市虎丘教育集團(tuán)金閶新城實(shí)驗(yàn)小學(xué)校。蘇州市優(yōu)秀教育工作者，蘇州市教科研先進(jìn)個(gè)人，姑蘇教育青年拔尖人才。）