矩陣教學(xué)中觀察能力培養(yǎng)探析

陳思彤

摘要：矩陣?yán)碚摰慕虒W(xué)是線性代數(shù)教學(xué)中重要的組成部分，它幾乎貫穿線性代數(shù)教學(xué)的始終.矩陣概念、性質(zhì)、法則、公式、定理等內(nèi)容的學(xué)習(xí)離不開(kāi)一種心理現(xiàn)象，即對(duì)矩陣知識(shí)的觀察與理解.觀察是認(rèn)識(shí)矩陣的基礎(chǔ)，亦是矩陣學(xué)習(xí)過(guò)程中邏輯思維形成的觸角.在矩陣教學(xué)中，強(qiáng)調(diào)觀察矩陣和行列式的區(qū)別與聯(lián)系及二者不同的應(yīng)用領(lǐng)域、觀察矩陣秩和逆的常見(jiàn)求法、觀察考研矩陣證明題的常見(jiàn)題型等意義重大.為此，矩陣教學(xué)中觀察能力的培養(yǎng)秉承五性，即秉承觀察的習(xí)慣性、目的性、方法性、全面性、深刻性尤為重要.

關(guān)鍵詞：矩陣；教學(xué)；大學(xué)數(shù)學(xué)

矩陣知識(shí)在線性代數(shù)中占有十分重要的地位，矩陣的概念、運(yùn)算、逆矩陣、分塊矩陣、初等變換、矩陣秩及矩陣在實(shí)際中的應(yīng)用等尤為重要.高校數(shù)學(xué)教師在傳授上述知識(shí)時(shí)，一方面要做到全面準(zhǔn)確掌握這些知識(shí)，另一方面要運(yùn)用高等教育學(xué)、心理學(xué)知識(shí)去發(fā)掘?qū)W生的潛能，開(kāi)發(fā)智力與非智力因素.憑著筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，矩陣知識(shí)的學(xué)習(xí)離不開(kāi)一種重要的心理現(xiàn)象，即對(duì)矩陣特征的觀察.觀察是認(rèn)識(shí)矩陣的基礎(chǔ)，只有充分觀察矩陣，才能更好地解答各類矩陣問(wèn)題，下面從六個(gè)方面進(jìn)行探討.

1觀察矩陣和行列式的區(qū)別與聯(lián)系

線性代數(shù)的第一章一般是行列式，第二章為矩陣.學(xué)生學(xué)完矩陣一章后一定要觀察歸納出矩陣與行列式的區(qū)別與聯(lián)系，只有這樣才能更好地學(xué)習(xí)后幾章知識(shí).

1.1矩陣與行列式的區(qū)別

矩陣是一個(gè)數(shù)表，行列式是一個(gè)由數(shù)表給出的代數(shù)和式.矩陣的行數(shù)和列數(shù)可以不同，行列式的行數(shù)與列數(shù)必須相同，在教學(xué)過(guò)程中必須使學(xué)生理解以下幾個(gè)不同.

① 運(yùn)算結(jié)果不同.矩陣是一個(gè)數(shù)表，只有方陣才可以定義它的行列式，而對(duì)于長(zhǎng)方形矩陣不能定義它的行列式.兩個(gè)矩陣相等是指對(duì)應(yīng)元素都相等；兩個(gè)行列式相等，不要求對(duì)應(yīng)元素都相等，甚至階數(shù)也可以不一樣，只要運(yùn)算的結(jié)果（代數(shù)和）一樣就行了.

② 運(yùn)算性質(zhì)不同.兩矩陣相加是將對(duì)應(yīng)元素相加；兩行列式相加，是將運(yùn)算結(jié)果相加.數(shù)乘矩陣是指某數(shù)乘以矩陣的每一個(gè)元素；而數(shù)乘行列式的某一行或列相當(dāng)于此數(shù)乘以原行列式.

③ 變換后的結(jié)果不同.矩陣經(jīng)初等變換，其秩不變；行列式經(jīng)初等變換，其值可能會(huì)改變，它的改變可歸納為：換法變換要變號(hào)，倍法變換差倍數(shù)，消法變換不改變.

1.2矩陣與行列式的聯(lián)系行列式可看作一個(gè)行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣（即方陣）的行列式，行列式是方陣的一種屬性.

2觀察矩陣與行列式不同的應(yīng)用領(lǐng)域

矩陣是線性代數(shù)中最核心的理論，它常見(jiàn)于統(tǒng)計(jì)分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科中.例如：企業(yè)投入產(chǎn)出分析模型，人口遷移的動(dòng)態(tài)分析，編制希爾密碼等.物理學(xué)中，矩陣在電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)和量子物理中都有很好的應(yīng)用；計(jì)算機(jī)科學(xué)中，三維動(dòng)畫制作也需要用到矩陣?yán)碚?行列式可以看作是有向面積或體積的概念在歐幾里得空間中的推廣，或者說(shuō)，在歐幾里得空間中，行列式描述的是一個(gè)線性變換對(duì)“體積”所造成的影響［1］.

3觀察矩陣求秩常見(jiàn)的兩種方法

3.1找非零子式的最高階數(shù)

3.2初等變換化為行階梯形矩陣

4觀察理解求矩陣逆常見(jiàn)的三種方法

4.1待定系數(shù)法

4.2伴隨矩陣法

4.3初等變換法

5觀察考研矩陣證明題中常現(xiàn)的題型例

6矩陣教學(xué)中觀察能力的培養(yǎng)秉承五性

6.1激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)觀察的習(xí)慣性

興趣是最活躍、最現(xiàn)實(shí)的心理成分，是一種帶趨向性的心理特征.托爾斯泰說(shuō)過(guò)：“成功的教學(xué)所需要的不是強(qiáng)制，而是激發(fā)學(xué)生的興趣.當(dāng)學(xué)生的某種事物發(fā)生興趣時(shí)，他們就會(huì)主動(dòng)地、積極地去觀察、去探究.”［4］矩陣教學(xué)中，針對(duì)概念、性質(zhì)、定理、公式、法則應(yīng)用等均可精心備課，激發(fā)學(xué)生的興趣，促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量的提升.矩陣教學(xué)中，偶然做到激發(fā)學(xué)生觀察的興趣不難，但要長(zhǎng)期形成興趣與觀察習(xí)慣確實(shí)很不容易.貝費(fèi)里奇說(shuō)：“培養(yǎng)那種以積極的探究態(tài)度關(guān)注事物的習(xí)慣，有助于觀察力的發(fā)展.在研究工作中養(yǎng)成良好的觀察習(xí)慣比擁有大量的學(xué)術(shù)知識(shí)要重要，這樣說(shuō)法并不過(guò)分.”［5］一個(gè)學(xué)生或教師有了持久的觀察興趣并養(yǎng)成習(xí)慣，他能觀察過(guò)程中所遇到的各種障礙和困難，把觀察進(jìn)行到底.

6.2引導(dǎo)學(xué)生感知，培養(yǎng)觀察的目的性

觀察的效果取決于觀察目標(biāo)的任務(wù)的明確程度.在矩陣教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察必須要確立明確的目標(biāo)，使感知圍繞著目的任務(wù).例如，在分塊矩陣學(xué)習(xí)中，首先要明確將矩陣分塊，然后運(yùn)用性質(zhì)求出結(jié)果.

6.3注重學(xué)習(xí)策略，培養(yǎng)觀察的方法性

矩陣教學(xué)前，首先要教育學(xué)生做好必要的知識(shí)準(zhǔn)備.例如，矩陣與前面所學(xué)行列式有何區(qū)別與聯(lián)系.其次要指導(dǎo)學(xué)生有計(jì)劃、有步驟地進(jìn)行觀察，在指導(dǎo)求逆矩陣和求矩陣的秩的各種方法步驟時(shí)，注重引導(dǎo)學(xué)生在觀察時(shí)善辨多思；在探究考研矩陣證明題的題型時(shí)，一定要注意搜索每一個(gè)細(xì)節(jié)，多角度剖析題目.最后還要指導(dǎo)學(xué)生做好觀察總結(jié).

6.4講究觀察程序，培養(yǎng)觀察的全面性

矩陣教學(xué)中，針對(duì)某種問(wèn)題，如能根據(jù)觀察的目標(biāo)抓住對(duì)象的組成特點(diǎn)，遵循對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律來(lái)確定某種觀察程序，就能幫助我們?nèi)娼沂締?wèn)題的本質(zhì).例如，伴隨矩陣法就要求有明確的觀察程序.

6.5發(fā)掘隱含條件，培養(yǎng)觀察的深刻性

在矩陣教學(xué)中，概念理解題、定理、公式、法則及應(yīng)用題、矩陣的各種解答或證明題的題目本身存在隱含條件，教學(xué)中要不斷培養(yǎng)學(xué)生由表及里，綜合分析題目已知與未知的關(guān)聯(lián)，發(fā)掘問(wèn)題本質(zhì)等的能力.要做到這一點(diǎn)，最重要的是通過(guò)精選例題，認(rèn)真講解，讓學(xué)生觀察總結(jié)，形成一種學(xué)習(xí)習(xí)慣和方法，經(jīng)過(guò)有效訓(xùn)練，學(xué)生解決問(wèn)題定會(huì)變得更精準(zhǔn)、更深刻.

綜上所述，培養(yǎng)學(xué)生良好的觀察品質(zhì)應(yīng)從上述五個(gè)方面入手，這五個(gè)方面是一個(gè)統(tǒng)一的整體，它們相互依存、相互促進(jìn)、相互補(bǔ)充，在矩陣教學(xué)中要全面安排，統(tǒng)籌兼顧，全面培養(yǎng).參考文獻(xiàn)：

［1］ （美）Lay D. C.著.劉深泉，等，譯.線性代數(shù)及其應(yīng)用［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2016.

［2］ 湖南工商大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室主編.線性代數(shù)［M］.武漢：華中師范大學(xué)出版社，2019.

［3］ 湯家鳳.2023考研數(shù)學(xué)接力題典1800［M］.北京：中國(guó)政法大學(xué)出版社，2021.

［4］ 黃超文.教育心理學(xué)［M］.北京：北京教育出版社，2019.

［5］ 曾軍良.高效學(xué)習(xí)方略［M］.北京：人民出版社，2014.