在數(shù)學(xué)教學(xué)中正確把脈“錯誤”資源

☉錢 堯

數(shù)學(xué)是理性的，數(shù)學(xué)是建立在邏輯思維基礎(chǔ)上的抽象學(xué)科。很多小學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，會出現(xiàn)錯誤。錯誤是客觀的、無法避免的。但對于錯誤的態(tài)度，教師更要認真對待。學(xué)生在解題中出現(xiàn)了錯誤，反映出學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的理解存在偏頗，教師要將這些“錯誤”看作寶貴的資源，正確、合理、有效地利用這些“錯誤”，讓學(xué)生知“錯”能改。［1］教學(xué)中，筆者著力激發(fā)學(xué)生對“錯誤”的反思意識，點燃學(xué)生數(shù)學(xué)思維的火花。

一、挖掘錯題資源，正確對待解題“錯誤”

在平時學(xué)生解答數(shù)學(xué)題時，因粗心、對知識點理解偏差、思維定勢等諸多原因，一些“錯誤”會反復(fù)出現(xiàn)。面對這些“錯誤”，教師應(yīng)該怎么做？

（一）正確對待“錯誤”，促進師生教學(xué)相長

面對“錯誤”，很多教師感到著急。對于學(xué)生不認真等出現(xiàn)的錯誤，一些教師可能會斥責(zé)學(xué)生；對于學(xué)生不理解、不懂的問題而出現(xiàn)錯誤，一些教師可能會不管不問。事實上，由于學(xué)生年齡小，在解題時出現(xiàn)“錯誤”，是難免的。教師不應(yīng)該為此而斥責(zé)或懲罰學(xué)生，而是要認真反思，為什么學(xué)生會出現(xiàn)解題“錯誤”？為什么學(xué)生一再犯“錯”？如何才能讓學(xué)生減少解題“錯誤”？在新的教育觀下，學(xué)生的錯題現(xiàn)象，反映了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握情況，更重要的是這些“錯誤”是寶貴的“資源”，教師要深入探究學(xué)生出錯的原因，給予學(xué)生理解和寬容，針對學(xué)生的不同錯誤，改進教法，促進師生教學(xué)相長。教師只有正確面對學(xué)生的“錯誤”，反思并糾正學(xué)生的不良解題習(xí)慣，學(xué)生才能獲得二次學(xué)習(xí)、成長的機會，數(shù)學(xué)課堂自然充滿活力。

（二）選擇科學(xué)方法，增進學(xué)生數(shù)學(xué)信心

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，一些教師認為，學(xué)生出現(xiàn)錯誤會對成績帶來不良的影響，于是，在整理數(shù)學(xué)知識點、探索不同數(shù)學(xué)解法時，會仔細推敲，確保無誤后再給學(xué)生授課。這種嚴于律己的教法固然不錯，但對于學(xué)生的一些解題“錯誤”，教師會感到手足無措，不敢正視學(xué)生的錯誤。事實上，教師在平時，要多留心學(xué)生錯誤的問題，多深入探究出現(xiàn)錯誤的原因?？茖W(xué)選擇教學(xué)指導(dǎo)方法，讓學(xué)生能夠從中分析原因，主動改正。

例如，在教學(xué)《兩位數(shù)與兩位數(shù)退位減》時，結(jié)合課例講解后，我們可以設(shè)計如下減法題：“51 － 13 ＝（ ）”，讓學(xué)生自己去解，并對解題結(jié)果進行交流、探討。有學(xué)生在講解自己的解題思路時，受到一些學(xué)生的嘲笑。原因是，該學(xué)生用減數(shù)個位上的“3”，去減被減數(shù)個位上的“1”，得到“2”。這時，教師如果直接糾正該學(xué)生的解法，或許課堂效率會提高，但卻有可能阻礙學(xué)生求異思維的發(fā)展。教師在面對該學(xué)生的解法時，給予鼓勵，并讓該生將解題思路完整表達出來。于是，學(xué)生講解了自己的思路。在面對被減數(shù)上的數(shù)字不夠減數(shù)減時，該生認為，用“1－3”不夠減，可以用“3－1”來減，說明被減數(shù)個位上缺“2”。為此，向被減數(shù)借“2”，被減數(shù)變?yōu)椤?9”，這時，再用“49－11”得到“38”。這一完整的解題思路，也是很有創(chuàng)意，且易于理解。教師應(yīng)該給予贊賞，鼓勵學(xué)生主動思考、樂于創(chuàng)新的精神。

（三）妙用“錯誤”引探，促進學(xué)生建構(gòu)知識

“學(xué)源于思，思源于疑”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對于“錯誤”要多反思，多引導(dǎo)學(xué)生參與錯誤原因的探究，幫助學(xué)生獲得真切的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗，最終完成數(shù)學(xué)知識的自主建構(gòu)。例如，在學(xué)習(xí)《小數(shù)除法》時，我們給出一道題“248÷16”，有學(xué)生在面對該題時，所得結(jié)果為“155”，顯然，該題是解錯了。教師并未直接指明這一解法是錯誤的，而是以“商×除數(shù)＝被除數(shù)”這一驗證法則，讓學(xué)生對自己的計算結(jié)果進行驗算。學(xué)生在驗算后發(fā)現(xiàn)，155×16 的結(jié)果不等于248。教師這時引導(dǎo)學(xué)生進行思考，為什么驗算時會出錯？通過對比分析，在248÷16 時，被除數(shù)直接添“0”，會改變被除數(shù)的大小，只有在“248”和“0”之間增加小數(shù)點，被除數(shù)的大小才能不改變。原來，該學(xué)生的錯誤是忘記增加“小數(shù)點”，導(dǎo)致計算錯誤。利用學(xué)生的“錯誤”，讓學(xué)生深刻體會到增加小數(shù)點的重要性，也讓學(xué)生能夠從中領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)知識的嚴謹性。

二、正確對待學(xué)生的“錯誤”，探析數(shù)學(xué)錯因

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，出現(xiàn)錯誤是常有的。如粗心、不認真、沒有正確理解題意等等，導(dǎo)致解題錯誤。面對學(xué)生的錯誤，一些教師會責(zé)罵學(xué)生，而不能正視學(xué)生的“錯誤”，學(xué)生會感到數(shù)學(xué)難學(xué)，甚至產(chǎn)生消極的心態(tài)。

（一）對概念理解偏差，積極反思教學(xué)不足

數(shù)學(xué)課堂上，概念是基本內(nèi)容。數(shù)學(xué)中的概念，多反映數(shù)量關(guān)系、空間形式的本質(zhì)屬性。小學(xué)生還處于形象化思維階段，面對抽象的數(shù)學(xué)概念，易混淆，搞不清其數(shù)學(xué)內(nèi)涵，導(dǎo)致出錯。舉例來講，對于“百分數(shù)”的教學(xué)，通過解釋和說明“百分數(shù)”概念，一些學(xué)生卻將“百分數(shù)”看作兩個具體的數(shù)量。在解題中，漫畫書比科學(xué)書多25%，一些學(xué)生認為漫畫書的數(shù)量，比科技書的數(shù)量多25 本。25%是個百分數(shù)，其本質(zhì)是一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾，是兩個數(shù)量之間的關(guān)系，不能將之等同于兩個具體的數(shù)量。由此，在講解“百分數(shù)”時，可以通過實例對比的方式，讓學(xué)生辨析其概念，避免理解偏差。

（二）受原有經(jīng)驗影響，導(dǎo)致思維定勢

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)知識之間具有一定的邏輯關(guān)系。一些學(xué)生在面對數(shù)學(xué)問題時，習(xí)慣于利用自我的認知經(jīng)驗來思考問題，導(dǎo)致思維定勢，反而干擾正常的數(shù)學(xué)思維。舉例來講，860÷40，觀察該題，屬于“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”，在解析該題時，需要學(xué)生關(guān)注商的變化規(guī)律。有學(xué)生將之解為860÷40 ＝21……2。顯然，學(xué)生在理解該題的余數(shù)時出現(xiàn)了錯誤。請學(xué)生思考：“860÷40”這個算式中，被除數(shù)、除數(shù)都是整十數(shù)，這時我們在求解時會怎樣？學(xué)生想到都去掉一個零再計算。很好，但請同學(xué)們思考，運用“商不變性質(zhì)”，當被除數(shù)、除數(shù)都縮小10 倍，其商不變。對該題在求余數(shù)時，與86÷4 ＝21……2 相同嗎？我們可以通過驗算來判斷結(jié)果是否正確。通過計算，除數(shù)乘以商，再加上余數(shù)，是否等于860？顯然是不等的。問題錯在哪里？原來，余數(shù)為“2”是錯誤的，應(yīng)該是“20”。

（三）缺乏數(shù)學(xué)認知力，導(dǎo)致數(shù)學(xué)解析錯誤

解數(shù)學(xué)題，需要具備一定的數(shù)學(xué)知識、方法和能力。一些學(xué)生數(shù)學(xué)認知力薄弱，缺乏數(shù)學(xué)分析、數(shù)學(xué)想象能力，對問題的解決缺乏正確思路。舉例來講，某題中，有120cm 的鐵絲，想做長方體框架，長、寬、高的比為3∶2∶1，問該長方體的長、寬、高是多少厘米？題意條件有總長度120cm，長、寬、高的比為3∶2∶1。該題考查的是對“比的意義和性質(zhì)”的認識。很多學(xué)生在解題時，解法如下：對于長，表示為120×3／（3＋2 ＋1）＝60 厘米，同理，得到寬為40 厘米、高為20 厘米。分析學(xué)生的解題思路，學(xué)生認為，既然是長、寬、高的比為3∶2∶1，則可以將棱長總和看作“3 ＋2 ＋1 ＝6”份，計算出每一份的長度為20 厘米，則可以得到長、寬、高。學(xué)生的思路看來很清晰，但如果將之進行計算棱長總和，得到的結(jié)果為（60 ＋40 ＋20）×4＝480（厘米），看來與題意中的120 厘米是不符的。問題出在哪里？通過剖析和梳理，對于長方體的長、寬、高，各個棱長總和是4 倍的“長＋寬＋高”，還需要再除以4，才能計算正確。學(xué)生對立體圖形缺乏空間想象力，導(dǎo)致解析錯誤。

三、把握學(xué)生數(shù)學(xué)“錯誤”，關(guān)注數(shù)學(xué)思維的發(fā)展

針對學(xué)生數(shù)學(xué)中的錯誤，對錯因進行分析，教師要全面地把握學(xué)生的“錯誤”，學(xué)會容錯、用錯、誘錯，立足數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思辨力。［2］

（一）學(xué)會容錯，激活學(xué)生對數(shù)學(xué)的好奇心

對待學(xué)生的錯誤，教師要學(xué)會包容。小學(xué)生心智不成熟，面對數(shù)學(xué)題目，無論是哪種錯誤，教師都要理性對待，要包容學(xué)生的錯誤。舉例來講，認識“圓柱體”，對于圓柱體，我們先準備兩張相同的長方形紙板，讓學(xué)生思考，能否將之折成圓柱體，有幾種折法？接著，鼓勵學(xué)生以分組方式開展“圓柱體”制作活動。學(xué)生在動手中，嘗試不同的折法。對折好的圓柱體，我們再延伸問題：請同學(xué)們思考，這兩個圓柱形容器，如果來裝沙子，它們所裝沙子的容量是否相等？很多學(xué)生認為，這兩個不同的圓柱體所裝沙子的量是相同的。理由是，這兩個圓柱，都是由完全相等的長方形紙板做出的。對于學(xué)生的推論，教師并不直接下結(jié)論，而是鼓勵學(xué)生自己動手操作，來驗證自己的猜測。事實上，學(xué)生在驗證結(jié)果時，卻得到不同的答案。為什么？帶著學(xué)生的疑問，我們展開話題討論，抓住了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)注意力。同樣，在學(xué)習(xí)“平行四邊形的面積”時，對于“底與高相乘”與“底與鄰邊相乘”兩種不同的計算方法，請同學(xué)思考，為什么有兩種不同的計算方法，哪種方法是錯的？請找出原因。通過探究發(fā)現(xiàn)，在“底與鄰邊相乘”條件下，平行四邊形必須是長方形時才能成立；否則，“底與鄰邊相乘”，不能作為平行四邊形的面積，必須是“底與高相乘”。從學(xué)生的常見錯誤中，讓數(shù)學(xué)思維自然發(fā)生。

（二）學(xué)會用錯，引領(lǐng)學(xué)生開啟數(shù)學(xué)智慧

對于錯誤，心理學(xué)家貝恩布里奇提出：“錯誤人人皆有，教師要善于把握學(xué)生思維過程中出現(xiàn)的錯誤，巧妙地利用這些錯誤，促進學(xué)生糾正錯誤，邁入知識的殿堂?！币簿褪钦f，對于學(xué)生的錯誤，教師要巧加利用，開啟學(xué)生的數(shù)學(xué)心智。在數(shù)學(xué)解決問題中，對于行程問題的討論，一些學(xué)生會理解為1÷（1／x ＋1／y）。從A 地到B 地，大客車走完行程需要1／2 小時，小汽車需要1／3 小時。如果兩車同時從A、B 兩地相對開出，問什么時候相遇？對于該題的求解思路，一些學(xué)生的解法為：1÷（1／2 ＋1／3）＝6／5。這一結(jié)果顯然是不當?shù)?。為什么兩車相對而行，時間比單獨走完全程還要多？由此，通過剖析學(xué)生的錯誤解法，找準錯因，讓學(xué)生正確理解行程問題，掌握解題的方法。

（三）嘗試誘錯，讓學(xué)生從錯誤中洞開心智

很多時候，教師擔(dān)心學(xué)生出現(xiàn)錯誤。很多學(xué)生在解題時，也擔(dān)心自己出錯。面對錯誤，師生不能淺層地認為“錯誤是不對的”，而是要將錯誤看作發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維、提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題力的資源。從學(xué)生的錯誤表現(xiàn)中，粗心、不認真、空間想象力不夠等原因都不是關(guān)鍵，關(guān)鍵是教師要讓學(xué)生能夠認識到自己的“錯誤”，能夠從“錯誤”中學(xué)會改正。

在教學(xué)分數(shù)乘法時，學(xué)生已經(jīng)掌握一些簡便的計算方法。如，（1／3 ＋3／8）×24，可以對題目進行變形。對于算式（8／7 ＋3／5）×7×5，有學(xué)生會這樣解題，將8／7×7 ＋3／5×5，顯然，這一解法是錯誤的，錯在因數(shù)與括號內(nèi)的數(shù)，分別相乘。重新剖析乘法分配律，讓學(xué)生認識“7×5”，可以看作是一個“數(shù)”，再進行乘法分配律計算。同樣，對于“能被3整除數(shù)的特征”探討時，當個位是“0、2、4、6、8”的數(shù)時，能被2 整除；當個位是“0、5”的數(shù)時，能被5 整除；對于個位是哪些數(shù)時，能被3 整除？很多學(xué)生張口就來“3、6、9”的數(shù)，能被3 整除。我們列出“23”“16”“29”等數(shù)，請學(xué)生驗證自己的推測。顯然，這幾個的個位符合“3、6、9”要求，但卻不能被3 整除。再觀察能夠被3 整除的數(shù)，例如“30、42、36、45”等，通過討論發(fā)現(xiàn)，各個數(shù)位上的和能夠被3整除，那么這個數(shù)也能被3整除。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，出錯是正常的。面對錯誤，教師和學(xué)生都要正確對待。教師要立足學(xué)情，反思學(xué)生的錯誤，找準錯因，有的放矢，才能讓學(xué)生從“錯誤”中獲得數(shù)學(xué)綜合能力的提升。教學(xué)中，教師要正確對待學(xué)生的錯誤，反思學(xué)生錯誤的原因，將錯誤看作資源，改進教法，促進教學(xué)相長。