利用幾何畫板可視化工具突破“圓周角”教學(xué)難點

摘 要：幾何畫板是一款繪圖和制作動畫的輔助教學(xué)軟件，根據(jù)教學(xué)需要教師可以編制出相關(guān)的圖像和動畫過程.幾何畫板尤其適合數(shù)學(xué)教學(xué)中平面幾何與函數(shù)動態(tài)作圖，除了作圖功能還有計算、度量等工具，使教師們可以快速、準(zhǔn)確度量圖形的角度、長度、面積、坐標(biāo)等，使用幾何畫板教學(xué)不僅可以突破教學(xué)難點，還可以讓學(xué)生對所學(xué)的知識感興趣，集中注意力，積極思考，主動去發(fā)現(xiàn)探索知識，從而提高課堂教學(xué)質(zhì)量和效率，幾何畫板這一軟件為我們提供了很好的探究實踐平臺.

關(guān)鍵詞：幾何畫板；圓心角；圓周角

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）23-0027-03

收稿日期：2023-05-15

作者簡介：劉菁華（1985.12-），女，福建省建甌人，本科，中學(xué)一級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項目：本文系福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度課題“初中數(shù)學(xué)運用知識可視化工具化教學(xué)促進(jìn)學(xué)習(xí)效果的案例研究”（立項編號：FJJKZX21-480）

在初中數(shù)學(xué)幾何課堂上遇到幾何知識中的動點問題時，要求初中學(xué)生具有較高的空間想象能力和思維能力.傳統(tǒng)的授課模式是由教師“手工”在黑板上畫出靜態(tài)的圖形進(jìn)行講解，對于那些缺乏空間想象力的同學(xué)就容易產(chǎn)生畏難情緒進(jìn)而失去學(xué)習(xí)興趣.如果在幾何課堂上運用幾何畫板進(jìn)行教學(xué)，課堂情況就和傳統(tǒng)課堂完全不一樣了，它能夠準(zhǔn)確、動態(tài)地表現(xiàn)幾何問題，讓學(xué)生在直觀演示中發(fā)現(xiàn)問題并探索幾何的本質(zhì).

以“圓周角”為例，談?wù)勅绾卫脦缀萎嫲蹇梢暬虒W(xué)突破“圓周角”教學(xué)難點^［1］.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中“圓周角”的課標(biāo)要求：探索圓周角與圓心角及其所對弧的關(guān)系，知道同弧（或等?。?所對的圓周角相等.了解并證明圓周角定理及其推論：圓周角等于同弧所對圓心角的一半.本課時的教學(xué)難點如下：（1）發(fā)現(xiàn)同弧所對的圓心角與圓周角之間的數(shù)量關(guān)系；（2）同弧所對的圓心角只有一個，而所對的圓周角有無數(shù)多個，一條弧所對的無限多個圓周角應(yīng)該按什么特征進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸惒⑦M(jìn)行圓周角定理的證明.

1 利用幾何畫板發(fā)現(xiàn)和驗證同弧所對的圓心角與圓周角之間的數(shù)量關(guān)系

這節(jié)課先通過復(fù)習(xí)引入，讓學(xué)生體會圓周角概念的生成過程，根據(jù)已有知識類比得到新知，同時通過呈現(xiàn)有關(guān)圓周角的正例和反例，讓學(xué)生對于圓周角概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性進(jìn)行比較，加深對于概念的理解.學(xué)生通過找圓周角與圓心角所對的弧，發(fā)現(xiàn)它們之間對的是同一條弧，引發(fā)學(xué)生思考同弧所對的圓周角與圓心角之間是否還存在其它關(guān)系，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生小組合作，經(jīng)歷度量、觀察、猜想、探索圓周角與圓心角之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.

學(xué)生通過用量角器分別測量學(xué)案中幾組同弧所對的圓周角和圓心角的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)并提出猜想：同弧所對的圓周角的度數(shù)等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)的一半.

用幾何畫板繪制圖形：畫出⊙O中弧AB所對的圓周角∠ACB和圓心角∠AOB，并標(biāo)記要度量的圓周角∠ACB和圓心角∠AOB以及它們的比值.

（1）固定弧AB的位置，拉動點C，使點C的位置發(fā)生變化，讓學(xué)生觀察圖像動態(tài)的變化

學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)弧AB的位置不變時，即使點C的位置在變化，弧AB所對的圓周角∠ACB和圓心角∠AOB的數(shù)值以及它們的比值始終沒有變化.

（2）固定點B、C，拉動點A，使點A的位置發(fā)生變化，讓學(xué)生們觀察圖像動態(tài)的變化

學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)固定點B、C，拉動點A時，弧AB發(fā)生了變化，弧AB所對的圓周角∠ACB和圓心角∠AOB的數(shù)值明顯發(fā)生了改變，但是它們的比值始終為0.5，并沒有變化.

（3）固定點A、C，拉動點B，使點B的位置發(fā)生變化，讓學(xué)生觀察圖像動態(tài)的變化.

學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)固定點A、C，拉動點B時，弧AB發(fā)生了變化，弧AB所對的圓周角∠ACB和圓心角∠AOB的數(shù)值明顯發(fā)生了改變，但是它們比值始終始終為0.5，并沒有變化.

通過以上幾何畫板動畫演示，讓學(xué)生在動態(tài)變化過程中觀察變化的是圓周角∠ACB和圓心角∠AOB的位置關(guān)系以及不變的是它們比值始終為0.5的數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生通過觀察進(jìn)一步體會猜想的正確性^［2］.

2 利用幾何畫板進(jìn)行演示，發(fā)現(xiàn)分類的依據(jù)以及驗證分類的正確性

雖然幾何畫板已經(jīng)驗證過猜想的正確性，但是此時猜想還不能當(dāng)作定理來使用，還需要利用所學(xué)知識進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯證明.弧AB所對的圓心角只有1個，弧AB所對的圓周角有無數(shù)個，因此證明圓周角定理時，不能逐一驗證無數(shù)個圓周角，學(xué)生容易理解需要對圓周角進(jìn)行分類，此時教學(xué)的難點為：弧AB所對的無限多個圓周角應(yīng)該按什么特征進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸惸?？可以分成幾類呢？為了突破這一難點，筆者先讓學(xué)生分組探究合作，討論出按某一特征進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸?，組長將討論結(jié)果記錄下來，派代表，分享小組的成果.然后筆者再采用幾何畫板進(jìn)行幾何動畫演示，讓學(xué)生在動態(tài)變化演示過程中得出分類的依據(jù)以及驗證分類的正確性^［3］.

用幾何畫板繪制圖形：畫出⊙O中弧AB所對的圓周角∠ACB和圓心角∠AOB，制作“動畫點C”.當(dāng)鼠標(biāo)點擊“動畫點”時，點C的位置就在弦AB所對的優(yōu)弧上運動，讓學(xué)生觀察圖像動態(tài)的變化，找出分類的依據(jù).

學(xué)生發(fā)現(xiàn)隨著點C的變化，圓心O與圓周角∠AOB的位置發(fā)生了變化，又因為圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，所以圓心O與圓周角∠ACB的位置大體分為三類：

幾何畫板的動態(tài)演示，使學(xué)生更容易發(fā)現(xiàn)和理解弧AB所對的無限多個圓周角應(yīng)該按以圓心O與圓周角∠ACB的位置特征進(jìn)行分類，為后續(xù)的證明提供了正確的方向.

3 利用幾何畫板極大地吸引了學(xué)生上課的注意力，并激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

使用幾何畫板動畫演示，改變了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂枯燥乏味的教學(xué)氛圍，解決了靜態(tài)圖片不連續(xù)、不直觀的局限性，幾何畫板給學(xué)生帶來了非常直觀的效果和視覺的沖擊，極大地吸引了學(xué)生上課的注意力并激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，以上兩個環(huán)節(jié)通過使用幾何畫板，使學(xué)生的專注度特別高，而且都參與到課堂的各個環(huán)節(jié)，積極討論探索新知，特別是能感到學(xué)生對后續(xù)的證明都躍躍欲試.分組討論后，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)了情況①比較特殊，于是先從情況1開始證明：

而情況②③，小組內(nèi)進(jìn)行分析探究后也發(fā)現(xiàn)了可以通過添加輔助線連CO并延長交⊙O于點D（作直徑CD），構(gòu)造類似模型，類比情況①的證明方法，實現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化.通過三種情況的證明，學(xué)生們終于驗證了猜想的正確性，在⊙O中，始終有∠ACB=1/2∠AOB.（或∠AOB =2∠ACB）進(jìn)而得到了圓周角定理：同弧所對的圓周角的度數(shù)等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)的一半.在證明的過程中學(xué)生養(yǎng)成了獨立思考、團(tuán)結(jié)合作的習(xí)慣，體會了化歸的數(shù)學(xué)思想，感受分類討論的必要性，同時提高了學(xué)生的邏輯推理能力，體驗了成功帶來的喜悅.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 邵新虎.利用幾何畫板探究數(shù)學(xué)問題［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社， 2016.

［2］ 包五玲.幾何畫板在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［J］. 學(xué)周刊，2018（24）：158-159.

［3］ 江玉軍.幾何畫板5.0從入門到精通［M］.中山：中山大學(xué)出版社，2011.

［責(zé)任編輯：李 璟］