基于貝葉斯概率評估的設(shè)備可靠性分析方法研究

楊 茁，李 博，姜本正，張樂威

（91550 部隊(duì)，遼寧 大連 116023）

0 引言

控制臺是人機(jī)交互的重要設(shè)備，其設(shè)計(jì)和性能直接影響操作員的作業(yè)效率和效果[1]?，F(xiàn)代設(shè)備趨于高科技化和復(fù)雜化。若用人工對武器系統(tǒng)的可靠性進(jìn)行分析研究不僅工作量巨大，而且容易出現(xiàn)錯誤[2]。因此可靠性分析軟件應(yīng)運(yùn)而生，借助計(jì)算機(jī)技術(shù)，構(gòu)建可靠性模型，并對海量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和分析，可以極大程度上的壓縮設(shè)備進(jìn)行可靠性分析周期，提升試驗(yàn)鑒定質(zhì)效[3]。OpenBUGS 軟件是在WinBUGS 軟件的基礎(chǔ)上研制的一款實(shí)現(xiàn)貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷的工具軟件。擅長于對隨機(jī)變量概率模型進(jìn)行隨機(jī)求解，可為可靠性分析工作提供技術(shù)支撐。

鑒于此，從設(shè)備故障樣本有限故障模型難以確定的問題出發(fā)，利用蒙特卡羅抽樣，以及概率分布表達(dá)不確定性的貝葉斯推斷框架的優(yōu)勢，構(gòu)建了隨機(jī)模型校驗(yàn)方法，實(shí)現(xiàn)對可靠性模型的尋優(yōu)。

1 可靠性特征量

1.1 可靠度函數(shù)

設(shè)備的可靠度的定義為：在規(guī)定的條件和時間內(nèi)，設(shè)備能夠完成規(guī)定的功能的概率[4]。其隨時間的變化可由可靠度函數(shù)R（t）描述，即：

式中：T為設(shè)備壽命；t為規(guī)定的時間。

故障分布函數(shù)F（t），亦稱故障累計(jì)概率，可描述為：

由定義易知：

1.2 故障密度函數(shù)

設(shè)備的故障密度隨時間變化的關(guān)系稱為故障密度函數(shù)，體現(xiàn)為設(shè)備發(fā)生故障隨時間變化的速率，即：

假設(shè)設(shè)備的壽命分布服從對數(shù)正態(tài)分布，則：

1.3 故障率

已工作到時刻的設(shè)備，在t時刻之后的瞬時平均單位時間內(nèi)發(fā)生故障的設(shè)備數(shù)成為瞬時故障率。，則故障率為：

式中：f（t）為故障密度函數(shù)；F（t）為故障分布函數(shù)。

2 理論分析方法

2.1 貝葉斯定理

貝葉斯定理通過融合信息和數(shù)據(jù)來更新先驗(yàn)知識，利用先驗(yàn)分布、故障模型和觀察數(shù)據(jù)，得到參數(shù)的后驗(yàn)分布：

式中，P（H｜D），后驗(yàn)分布，其與假設(shè)H相關(guān)的，以數(shù)據(jù)D為條件；P（H），先驗(yàn)分布；P（D｜H），隨機(jī)模型，刻畫產(chǎn)生數(shù)據(jù)D的機(jī)理；P（D），歸一化常數(shù)。先驗(yàn)分布代表與數(shù)據(jù)無關(guān)參數(shù)的已知信息。

先驗(yàn)信息的真實(shí)性對于評估精度來說尤為關(guān)鍵[5]。廣義上，先驗(yàn)分布分為有信息和無信息，有信息先驗(yàn)包含H可能取值的真實(shí)信息，而無信息先驗(yàn)使數(shù)據(jù)在后驗(yàn)分布中占支配地位。在貝葉斯推斷的數(shù)學(xué)角度，共軛先驗(yàn)分布為最簡單的先驗(yàn)分布，它與后驗(yàn)分布有相同的函數(shù)形式。

隨計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展與應(yīng)用，利用OpenBUGS 等工具軟件可實(shí)現(xiàn)非共軛先驗(yàn)貝葉斯推斷，彌補(bǔ)了數(shù)值積分的計(jì)算瓶頸，使計(jì)算結(jié)果更準(zhǔn)確。

2.2 OpenBUGS 軟件

OpenBUGS 采用菜單驅(qū)動的腳本語言，是一款易用、強(qiáng)大且開源的軟件。這種腳本語言包括三部分：模型描述、數(shù)據(jù)和初值[6]。其基本原理為通過Gibbs 抽樣和算法，從任意復(fù)雜模型的后驗(yàn)分布中產(chǎn)生樣本[7]。采用MCMC 法來對后驗(yàn)分布進(jìn)行求解，通過計(jì)算機(jī)仿真轉(zhuǎn)換成隨機(jī)數(shù)來求解未知參數(shù)[8]提供了一個有效的方法估計(jì)貝葉斯統(tǒng)計(jì)模型，極大地推進(jìn)了貝葉斯的應(yīng)用。

3 應(yīng)用示例

以某設(shè)備電氣系統(tǒng)的發(fā)生故障時間觀察數(shù)據(jù)為例，進(jìn)行模型構(gòu)建、校驗(yàn)和應(yīng)用的方法介紹。并根據(jù)某設(shè)備1 號至4 控制操作臺實(shí)測故障數(shù)據(jù)（表1），進(jìn)行該設(shè)備隨機(jī)模型的校驗(yàn)尋優(yōu)，以及模型預(yù)測。

表1 試驗(yàn)觀察數(shù)據(jù)

3.1 隨機(jī)模型的校驗(yàn)與求解

利用某設(shè)備電氣系統(tǒng)的發(fā)生故障時間數(shù)據(jù)，進(jìn)行基于貝葉斯概率評估方法的可靠性分析。首先，利用后驗(yàn)預(yù)計(jì)分布的復(fù)現(xiàn)抽樣，采用Cramer-von Mises 統(tǒng)計(jì)量比較排序后的觀察數(shù)據(jù)和復(fù)現(xiàn)數(shù)據(jù)的累積經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，并計(jì)算其重合概率，得到貝葉斯P值，值在0.5 左右是最為理想的模型，以此來檢驗(yàn)幾種常見的壽命分布模型是否能夠合理的復(fù)現(xiàn)觀察數(shù)據(jù)。常見的壽命分布模型有指數(shù)分布、威布爾分布、對數(shù)正態(tài)分布等。

為使結(jié)論主要受數(shù)據(jù)影響，使服從Jefferys 先驗(yàn)分布。Jefferys 先驗(yàn)分布是一個非正常先驗(yàn)分布，其初始抽樣存在困難，所以要將的初值設(shè)置為1。具體操作流程為：check model、load data、compile、load inits，點(diǎn)擊菜單中“Sample Monitor Tool”對話框，在beg 處輸入1001，表示拋去前1000 次抽樣以消除初始值對抽樣的影響，對模型的退火，再進(jìn)行100000 次迭代，檢查模型收斂情況，得到指數(shù)模型的貝葉斯P值為0.2295。

依次對威布爾模型、對數(shù)正態(tài)模型進(jìn)行計(jì)算，兩種模型都服從獨(dú)立擴(kuò)散的Jefferys 先驗(yàn)分布。得到結(jié)果為威布爾模型的P值為0.4041，對數(shù)正態(tài)模型的P值為0.5466. 可以看出對數(shù)正態(tài)模型明顯優(yōu)于指數(shù)、威布爾模型，是最為理想的隨機(jī)模型，但稍微高估了故障時間，指數(shù)、威布爾模型則低估了故障時間。

只有貝葉斯P值評價(jià)模型的適用性是單一的，還需要檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠襁^擬合?？梢酝ㄟ^計(jì)算貝葉斯信息準(zhǔn)則（BIC）來進(jìn)一步評估。BIC 最小的模型是最優(yōu)選。依托OpenBUGS 軟件，計(jì)算三種模型的BIC 估計(jì)值，指數(shù)模型的BIC 估計(jì)值是111.7，威布爾模型的BIC估計(jì)值是261.7，對數(shù)正態(tài)模型的BIC 估計(jì)值是109.2。通過計(jì)算三個隨機(jī)模型的BIC 估計(jì)值，可以得到對數(shù)正態(tài)模型能最好的覆蓋觀察到的故障時間。表2 為三種隨機(jī)模型的檢驗(yàn)結(jié)果匯總。

表2 隨機(jī)模型的檢驗(yàn)結(jié)果

綜合分析表2 數(shù)據(jù)，其中對數(shù)正態(tài)貝葉斯P 值最接近0.5，且BIC 估計(jì)值也最小，可以判斷對數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)模型擁有更好的預(yù)測能力，且沒有過度擬合觀察數(shù)據(jù)。選擇對數(shù)正態(tài)分布隨機(jī)模型進(jìn)行設(shè)備可靠性分析。嘗試均勻分布為對數(shù)正態(tài)分布參數(shù)的先驗(yàn)分布，得到貝葉斯P值為0.5125，懲罰信息準(zhǔn)則（DIC）也可驗(yàn)證過擬合程度。從經(jīng)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，根據(jù)BIC 選擇的非層次模型也是根據(jù)DIC 選擇的模型[9]。DIC 估計(jì)值為106.5，證明其是具有更好預(yù)測能力的模型。

通過cumulative（）函數(shù)計(jì)算故障累積分布后，可得到可靠度計(jì)算結(jié)果，計(jì)算腳本為R.pred ＜-1-cumulative（time.pred，a），表示當(dāng)工作了a 小時時，該設(shè)備的平均可靠度。利用此腳本可快速求出當(dāng)設(shè)備工作50h、100h、300h 時，設(shè)備的平均可靠度，分別為0.6541、0.2902、0.03236，5%分位數(shù)分別為0.45、0.12、0.00056（表3）。腳本計(jì)算得到，即設(shè)備的均值為4.201，標(biāo)準(zhǔn)差為，則根據(jù)公式（3），得到故障分布函數(shù)為

表3 OpenBUGS 腳本進(jìn)行貝葉斯推斷的結(jié)果

采用Bayes 概率評估方法對設(shè)備的故障時間進(jìn)行模型檢驗(yàn)，利用后驗(yàn)預(yù)計(jì)分布的Cramer-von Mises統(tǒng)計(jì)量計(jì)算各模型的貝葉斯P 值，來衡量數(shù)據(jù)與模型的沖突程度。再通過計(jì)算貝葉斯信息準(zhǔn)則（BIC）或懲罰信息準(zhǔn)則（DIC）來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦^擬合現(xiàn)象，最后綜合對比得到數(shù)據(jù)的最佳隨機(jī)模型為對數(shù)正態(tài)模型，并求解模型、計(jì)算了該系統(tǒng)可靠度均值以及5%分位數(shù)。

3.2 隨機(jī)模型參數(shù)范圍估計(jì)

在對設(shè)備參數(shù)可靠性模型的建立求解過程中，同型的設(shè)備在主體結(jié)構(gòu)性能不發(fā)生質(zhì)的變化前提下，其他模塊的設(shè)計(jì)與使用上是具有延續(xù)性的。針對操作控制臺這一設(shè)備在四種型號的延續(xù)性設(shè)計(jì)中可靠性模型的檢驗(yàn)，采用了三組實(shí)測數(shù)據(jù)（1～3 號控制操作臺數(shù)據(jù)）（表1），進(jìn)行模型校驗(yàn)，歸納總結(jié)了設(shè)備的可靠性模型參數(shù)范圍的經(jīng)驗(yàn)分布，并對4 號設(shè)備操作控制臺的實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證該參數(shù)模型。經(jīng)對比分析，對數(shù)正態(tài)分布模型貝葉斯P值最接近0.5 且BIC 最小，為最優(yōu)模型。上述結(jié)果表明，三種測試型號的模型得到的參數(shù)非常接近，參數(shù)范圍在μ：7.833 ～8.057，σ：0.685 ～0.73 之間。由此可以推斷該系列設(shè)備在主體結(jié)構(gòu)不變的情況下，4 號新研產(chǎn)品的隨機(jī)模型為參數(shù)范圍在μ= 7.833 ～8.057，σ= 0.685 ～0.73 左右的對數(shù)正態(tài)分布。經(jīng)計(jì)算驗(yàn)證，4 號控制操作臺模型參數(shù)為μ= 8.105，σ= 0.7，在預(yù)測范圍內(nèi)，且貝葉斯P值為0.5216，比較接近0.5，BIC 為188，根據(jù)BIC 估計(jì)值分析，隨機(jī)模型較理想且未出現(xiàn)過度擬合情況。

構(gòu)建了三種OpenBUGS 模型校驗(yàn)?zāi)_本，檢驗(yàn)該型設(shè)備操作控制臺的最優(yōu)模型，并求出了各型號設(shè)備的最優(yōu)模型參數(shù)，歸納總結(jié)了模型參數(shù)范圍，經(jīng)測試數(shù)據(jù)驗(yàn)證，模型類型與參數(shù)值均在預(yù)測范圍內(nèi)，可為后續(xù)延續(xù)性設(shè)備的可靠性分析提供參考。

4 結(jié)論

先采用Bayes 概率評估方法對設(shè)備的故障時間進(jìn)行模型檢驗(yàn)，利用后驗(yàn)預(yù)計(jì)分布的Cramer-von Mises 統(tǒng)計(jì)量計(jì)算各模型的貝葉斯P值來衡量數(shù)據(jù)與模型的沖突程度。再通過計(jì)算貝葉斯信息準(zhǔn)則（BIC）或懲罰信息準(zhǔn)則（DIC）來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦^擬合現(xiàn)象。最后對比得到數(shù)據(jù)的最佳模型并求解模型。通過實(shí)例分析了某延續(xù)性設(shè)備的參數(shù)特性，歸類了延續(xù)性設(shè)備模型。依托OpenBUGS 軟件該方法可高效分析設(shè)備的故障數(shù)據(jù)，使其可靠性分析更快速準(zhǔn)確。