初中數(shù)學教學中關于數(shù)學建模的理解與路徑探究

王莉

［摘? 要］ 初中數(shù)學教學要高度重視數(shù)學建模的價值. 站在教學的角度來看，要讓學生經(jīng)歷數(shù)學建模的過程，要讓學生在數(shù)學建模過程中認識到模型的價值. 數(shù)學建模體現(xiàn)著數(shù)學學習過程的本質，是提升學生學習品質的重要途徑. 只有讓學生體驗到數(shù)學建模的過程，數(shù)學建模的意義才能凸顯出來. 數(shù)學建模過程中要重視學生的體驗感、獲得感和成就感. 初中數(shù)學教師的重要任務之一，就是運用數(shù)學建模思想去引導學生認識并把握模型教學的意蘊. 從教學任務、教學時間、教學策略的角度來看，數(shù)學建模對數(shù)學教師提出了更高要求.

［關鍵詞］ 初中數(shù)學；數(shù)學建模；數(shù)學建模理解；數(shù)學建模路徑

建立模型對于初中數(shù)學教師來說并不陌生，具有一定教學經(jīng)驗的教師也都知道在20世紀90年代，我國基礎教育曾經(jīng)流行過一陣“建?！憋L，后來隨著課程改革的推進，一些新的教育概念層出不窮，相比較而言，“建?！边@一概念有一些淡化，但這并不意味著建模退居幕后. 就數(shù)學學科而言，數(shù)學建模一直受重視，《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》就明確提出了數(shù)學教學要讓學生“學會以數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”（這是義務教育數(shù)學學科核心素養(yǎng)的三個內(nèi)涵之一），這實際上就是在強調數(shù)學建模的價值與作用. 通常情況下，一線數(shù)學教師將數(shù)學建模理解為建立模型. 這樣的理解當然是正確的，但如果站在教學的角度來看，要讓學生經(jīng)歷數(shù)學建模的過程，要讓學生在數(shù)學建模過程中認識到模型的價值，那么教師就必須理解數(shù)學建模的內(nèi)在機制，以及理解學生在數(shù)學建模的過程中會有怎樣的心理歷程，只有這樣才能確定出符合學生認知規(guī)律、能夠體現(xiàn)數(shù)學建模特點的教學路徑，也才能讓學生的數(shù)學建模能力在一步步的積累中上升為數(shù)學建模素養(yǎng).

理解數(shù)學建模的含義

從一般意義的角度來看，數(shù)學建模就是指建立數(shù)學模型. 理解數(shù)學建模含義時，首先要知道什么是數(shù)學模型. 通常認為，數(shù)學模型是指針對一個特定的數(shù)學問題，根據(jù)其特有的本質規(guī)律進行一系列簡化、假設處理，并運用適當?shù)臄?shù)學工具來得到一個數(shù)學結構模型. 從這樣的理解可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學模型與人們常說的實物模型并不完全是一回事，數(shù)學模型可以包括實物模型，比如教學“長方形”時，給學生呈現(xiàn)的長方形物體就是一個實物模型；但是更多情況下，數(shù)學模型往往是結構模型，也就是借助數(shù)學工具來體現(xiàn)數(shù)學概念、規(guī)律的模型. 相應地，建立這樣模型的過程，就是數(shù)學建模的過程. 從宏觀角度來認識，數(shù)學建模就是根據(jù)實際問題建立數(shù)學模型，對數(shù)學模型進行求解，然后根據(jù)結果解決實際問題，并接受實際的檢驗. 數(shù)學建模強調的是讓學生參與思考過程，致力于學生思維能力與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，促進學生全面發(fā)展［1］.

由此可見，面向初中生的數(shù)學建模，要將其理解為促進學生進行數(shù)學抽象、優(yōu)化學生建構知識的有效手段. 數(shù)學模型是客觀的，數(shù)學建模的過程卻充滿著主觀特征. 數(shù)學知識體系中的相關概念與規(guī)律可以稱為數(shù)學模型，在解決典型問題時形成的一般性思路也可以歸納為數(shù)學模型，因此建構重要的數(shù)學概念和規(guī)律，總結問題解決思路的過程，又可以理解為數(shù)學建模過程. 但是這樣宏觀的理解，去思考數(shù)學建模對于日常教學的意義，還需要形成如下兩點認識：

其一，數(shù)學建模體現(xiàn)著數(shù)學學習過程的本質. 傳統(tǒng)意義上對數(shù)學學習的認識，就是學生接受教師所講授的數(shù)學知識，然后將這些數(shù)學知識運用于解題和考試. 當下的學習理論認為，學習是學生自己的事情，學生所獲得的知識不是由教師傳遞的，而是由學生自主建構的. 對于數(shù)學知識而言，這樣的建構過程與數(shù)學建模的過程高度相關，可以說離開了數(shù)學建模過程，就談不上數(shù)學知識的建構. 數(shù)學建模是數(shù)學知識建構的內(nèi)核，體現(xiàn)著學生學習數(shù)學的本質，彰顯著數(shù)學學科知識形成的基本特征.

其二，數(shù)學建模是提升學生學習品質的重要途徑. 數(shù)學學習對于學生成長的意義在于幫助學生積累基本的數(shù)學知識、形成基本的數(shù)學素養(yǎng). 除此之外，在“用數(shù)學教”的理念下，數(shù)學學習還承擔著提升學生學習品質的作用. 數(shù)學建模能夠讓學生體驗數(shù)學模型建立的過程，能夠讓學生在此過程中認識到數(shù)學知識的來龍去脈，從而讓學生在體驗的過程中形成關于數(shù)學學習的規(guī)律性認識，而這正是學習品質的重要組成部分. 理解數(shù)學學科的基礎性作用，用數(shù)學建模提升學生的學習品質，也是其中的重要內(nèi)容.

基于以上兩點認識，當面向初中生進行數(shù)學建模教學時，教師就應當努力創(chuàng)設情境，讓學生在數(shù)學建模的過程中有深刻體驗，在認同數(shù)學建模價值的同時，可獲得數(shù)學知識建構與問題解決的一般性思路. 當然需要指出的是，對于初中生而言，數(shù)學建模重在過程的體驗，而不是“數(shù)學建?！备拍畹暮唵斡洃?，更不是貼標簽式的教學.

探究數(shù)學建模的路徑

站在學生的角度研究數(shù)學建模，有研究者認為學生在數(shù)學學習中經(jīng)歷的數(shù)學建?；顒涌梢苑譃閮深悾阂皇前l(fā)現(xiàn)一類事物與數(shù)量關系、空間形式有關的一般規(guī)律，并通過適當?shù)臄?shù)學語言將這些規(guī)律表示出來，形成一般模型；二是面對一個現(xiàn)實情境，通過調動相關知識分析問題. 利用已有的數(shù)學模型解決實際問題，這兩類建?；顒邮窍嗷ヂ?lián)系、相互促進的［2］. 其實這兩類建?；顒泳褪巧厦嫣峒暗姆謩e面向數(shù)學知識建構與問題解決的數(shù)學建模過程. 這個過程是面向學生的，如同上面所強調的那樣，只有讓學生體驗到數(shù)學建模過程，數(shù)學建模的意義才能凸顯出來. 根據(jù)筆者的實踐經(jīng)驗，此處必須重點突出學生的體驗感、獲得感（主要面向數(shù)學知識與問題解決方法的獲得，通常屬于認知領域）和成就感（主要面向學生的學習感受，通常屬于情感領域）. 作為初中數(shù)學教師，必須把握學生在數(shù)學建模過程中的相關體驗，其中最值得關注的就是學生經(jīng)歷數(shù)學建模時的內(nèi)在心理機制，這是數(shù)學建模路徑得以總結出來并發(fā)揮作用的關鍵.

研究表明，當遇到具體的數(shù)學問題時，學生所表現(xiàn)出來的問題解決思路并不清晰，已有經(jīng)驗與新問題之間的交互、知識建構或問題解決所需要的數(shù)學工具選擇等，都需要不斷地摸索才能最終成型. 這一點符合初中生的認知特點，也是數(shù)學建模必須重視的現(xiàn)實. 認識到這一點后再去歸納數(shù)學建模的途徑，可以概括為：面向初中生的數(shù)學建模，應當在把握初中生學習心理的基礎上，通過情境的創(chuàng)設，并讓學生走入情境中，然后充分激活已有知識和經(jīng)驗，并確定知識建構或問題解決的程序. 在此過程中應當滲透試錯與糾錯的環(huán)節(jié)，確保學生的知識建構與問題解決過程簡練化、模式化，最后通過學習總結，提煉數(shù)學建模思想，并在變式訓練中強化數(shù)學建模思路，以確保數(shù)學建模在學生的思維中落地生根.

例如，在“軸對稱”這一知識的教學中，數(shù)學模型體現(xiàn)為當學生看到軸對稱這一概念時，能夠在大腦中浮現(xiàn)出軸對稱的相關圖形（即表象），同時反映出軸對稱的基本性質；除此之外，在現(xiàn)實生活中看到軸對稱物體時，能夠迅速反映出軸對稱的概念，并且介入軸對稱的性質去演繹. 對于這樣的理解，設計本內(nèi)容的教學時應當重點在意以下兩個環(huán)節(jié).

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設情境，引導學生建立軸對稱的表象.

在生活中關于軸對稱的實例并不少見，在這個環(huán)節(jié)中，教師應當努力的是：通過列舉若干個例子，讓學生利用分析與綜合的方法，發(fā)現(xiàn)這些例子的共同特征. 這是一個數(shù)學抽象的過程，要將生活中軸對稱實例的非數(shù)學要素如顏色等去除，然后從對稱的角度去解析. 在傳統(tǒng)教學中，對這一環(huán)節(jié)通常比較重視，因此這里不再贅述. 但是需要強調的一個細節(jié)是，應當在這個教學環(huán)節(jié)中讓學生有動手做的機會. “做”的方式可以是多樣的：可以讓學生在草稿紙上畫軸對稱圖形，也可以讓學生用類似于數(shù)學實驗的方法去“做”軸對稱圖形. 這個細節(jié)的價值是不言而喻的，最重要的一點就是學生可以在動手做的過程中發(fā)現(xiàn)軸對稱圖形的內(nèi)涵是“對稱軸”（當然此時學生還不知道這一概念，學生會用生活語言如“畫一條線”來表示對對稱軸的認識），說得具體一點就是學生畫圖或折疊時，發(fā)現(xiàn)只要有了一根線，那么軸對稱圖形就是精確的軸對稱，這比學生最初嘗試通過目測的方法畫出軸對稱圖形的效果要好得多. 實際上，通過學生的這一動手做，在強化對稱軸價值的同時，使得學生大腦中的模型更加清晰.

環(huán)節(jié)二：形成軸對稱概念，當面對現(xiàn)實例子時進行解釋.

當學生大腦中的軸對稱表現(xiàn)豐富后，教師就應當引導學生用數(shù)學語言來描述，這一數(shù)學語言自然就是：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，實現(xiàn)兩邊的部分能夠互相重合，這個圖形就叫軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.

這樣一段數(shù)學語言所描述的就是軸對稱這一概念的數(shù)學本質. 為了防止學生死記硬背，教師必須強調，在記住這句話的同時，大腦中要有相應的軸對稱例子出來. 此時教師應當給學生舉出新的例子，讓學生進行判斷；或者讓學生舉出新的例子，讓學生互相判斷. 這是一個變式訓練的過程，可以鞏固軸對稱模型的認知.

值得一提的是，此處同樣有一個環(huán)節(jié)值得強調，那就是引導學生對學習過程進行反思，讓學生知道自己是怎樣建立軸對稱這一概念的. 這樣的反思通常會淡化知識而強調學習方法，因此就能有效提升學生的學習品質.

數(shù)學建模的前景思考

縱觀數(shù)學教學研究發(fā)展的歷史，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學建模在其中發(fā)揮著關鍵性作用，國家課程標準從課程層面約定了數(shù)學建模的重要性，這對于日常教學而言，是將數(shù)學建模當成了國家課程教育的意志，這意味著日常教學要將數(shù)學建模當作教學的重要線索，要在促進學生知識建構的同時，讓學生更多地體驗數(shù)學建模過程，領悟數(shù)學建模的魅力.

從當前的教學實際情況來看，初中數(shù)學教學面臨著實際評價和選拔與課程標準落實之間的矛盾，這是一個不爭事實，其根本原因在于前者只能以題目為載體，而后者則需要同時關注考試評價、選拔與核心素養(yǎng)的發(fā)展. 這意味著在可以預見的未來，初中數(shù)學教學必須堅持兩條主線，而且要將這兩條主線充分結合在一起. 在實際教學過程中，在發(fā)展學生應試能力的同時，數(shù)學建模進行得越充分，那么學生對數(shù)學知識的理解與運用水平就會越高，這是可以預期的. 在這樣的背景下，初中數(shù)學教師有一個重要的任務，那就是運用數(shù)學建模思想去認識并把握模型教學的意蘊. 這實際上是說數(shù)學建模引導下的初中數(shù)學教學，對數(shù)學教師提出了更高要求：從教學任務的角度來看，除應試能力培養(yǎng)外多了包括數(shù)學建模在內(nèi)的核心素養(yǎng)教學主線；從教學時間的角度來看，將原本用于應試的一部分時間解放出來用于培育包括數(shù)學建模在內(nèi)的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，考驗著教師的教學水平和教學理念，甚至還考驗著教師的教學魄力；從教學策略的角度來看，如何在知識理解與運用的教學基礎上，將包括數(shù)學建模在內(nèi)的核心素養(yǎng)滲透其中，考驗著教師的教學智慧……

總體而言，數(shù)學建模是數(shù)學學科核心素養(yǎng)的要素，未來的初中數(shù)學教學，要堅持以核心素養(yǎng)為導向，并努力以數(shù)學建模帶動其他要素落地.

參考文獻：

［1］閆如明，呂吉華. 對初中數(shù)學建模教學的幾點思考——以解直角三角形為例［J］. 山東教育，2021（Z2）：51-52.

［2］湯靜. 知行共驅：指向數(shù)學建模素養(yǎng)的初中路徑探研［J］. 中學數(shù)學（初中版）， 2021（22）：79-81.