滲透數(shù)學(xué)思想 發(fā)展核心素養(yǎng)

蘇國東

［摘? 要］ 文章以《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》背景下的人教版初中數(shù)學(xué)起始章節(jié)“有理數(shù)”的教學(xué)為例，深入研究相反數(shù)等教學(xué)，并在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，探索單元整體教學(xué)，對核心素養(yǎng)的發(fā)展進行實踐與思考.

［關(guān)鍵詞］ 新課程標準；有理數(shù)；數(shù)學(xué)思想；核心素養(yǎng)；單元教學(xué)

初中數(shù)學(xué)起始章節(jié)是小學(xué)數(shù)學(xué)向初中數(shù)學(xué)過渡的橋梁，起著承前啟后的重要作用. 在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下稱“新課程標準”）背景下，初中數(shù)學(xué)起始章節(jié)教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)單元整體觀念，在落實數(shù)學(xué)知識生成和能力培養(yǎng)的同時，重視數(shù)學(xué)思想方法的有機滲透，應(yīng)加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認識和理解，從整體上對數(shù)學(xué)知識進行抽象概括，將數(shù)學(xué)思想方法轉(zhuǎn)變?yōu)樽陨頂?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力，培養(yǎng)“四基”，發(fā)展“四能”，注重建立具體內(nèi)容與核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)，將核心素養(yǎng)體現(xiàn)在具體的教學(xué)要求中.

“有理數(shù)”是人教版初中數(shù)學(xué)教材的第一章，是整個初等代數(shù)的基礎(chǔ). 本章主要包括兩方面的教學(xué)內(nèi)容，一是有理數(shù)的相關(guān)概念，二是有理數(shù)的運算. 本章在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，先借助生活實例引入負數(shù)，使數(shù)的范圍得以擴充到有理數(shù)，再利用學(xué)生的日常生活經(jīng)驗、數(shù)軸的幾何直觀等，將正、負數(shù)之間的運算歸結(jié)為正數(shù)之間的運算，進而定義有理數(shù)的運算，得出運算法則，并通過有理數(shù)的運算解決簡單問題.

本文對本章教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)思想、發(fā)展核心素養(yǎng)做出幾點實踐與思考，與同行交流、研討.

深入教學(xué)問題，滲透數(shù)學(xué)思想

新課程標準指出，在有理數(shù)相關(guān)概念的教學(xué)中，學(xué)生要“能借助數(shù)軸體會相反數(shù)和絕對值的意義，初步體會數(shù)形結(jié)合的思想方法”. 數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合思想的重要產(chǎn)物，數(shù)形轉(zhuǎn)化，能幫助學(xué)生理解相反數(shù)和絕對值的概念；而相反數(shù)和絕對值的引入，能讓學(xué)生加深對相反意義的量的理解，對數(shù)軸上兩點之間的距離、利用數(shù)軸分析物體運動情況等有更直觀的認識，能為有理數(shù)運算的學(xué)習(xí)做準備.

1. 相反數(shù)的教學(xué)

在相反數(shù)的相關(guān)教學(xué)中，教師可以向?qū)W生提出如下問題：-3和-（-3）是否互為相反數(shù)？

大多數(shù)學(xué)生能回答道：負負得正，所以-（-3）=3，-3和3互為相反數(shù). 而當(dāng)教師追問負負為何得正時，學(xué)生往往停留在機械記憶層面，鮮有學(xué)生能夠講清來龍去脈.

相反數(shù)的教學(xué)不能與前一節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)軸相關(guān)知識割裂開來. 如圖1所示，A，B兩點分別表示-3和3，因為在一個數(shù)前面加上負號即得到這個數(shù)的相反數(shù)，兩者在數(shù)軸上的位置關(guān)于原點對稱，所以-（-3）表示點A關(guān)于原點對稱的點，即點B，因此-（-3）=3. 這一知識生成的過程便滲透了數(shù)形結(jié)合思想方法.

事實上，可以不對-（-3）進行化簡，而從其形式上去考慮. 也就是把-3看作一個整體a，則-（-3）表示-a，a和-a確實互為相反數(shù)，這便是整體思想的初步體現(xiàn). 當(dāng)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加、減法，還可以利用（-3）+［-（-3）］=（-3）-（-3）=0，根據(jù)兩數(shù)之和為0，得出-3和-（-3）互為相反數(shù).

在此基礎(chǔ)上，教師可以再提出如下兩個問題：（1）-（-3）的相反數(shù)是什么？（2）-（a+b）的相反數(shù)是什么？讓學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想與整體思想有進一步的體會.

2. 數(shù)軸上點的移動問題

教材第14頁習(xí)題3提出了數(shù)軸上點的移動問題，考查學(xué)生借助數(shù)軸體會點的相對位置關(guān)系. 教師可據(jù)此設(shè)計系列變式問題，助力數(shù)形結(jié)合思想方法和分類討論思想方法的滲透.

（1）0沿數(shù)軸移動3個單位長度后得到______；

（2）2沿數(shù)軸移動3個單位長度后得到______；

（3）a沿數(shù)軸移動3個單位長度后得到______；

（4）一個數(shù)沿數(shù)軸移動3個單位長度后得到2，則這個數(shù)是______.

在問題（1）中，學(xué)生能再次體會到數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值之間的密切聯(lián)系. 在問題（2）中，學(xué)生可利用數(shù)軸上左減右加的關(guān)系分別計算2-3=-1和2+3=5，得到結(jié)果. 在問題（3）中，學(xué)生通過類比可得到結(jié)果為a-3和a+3，初步體會到用字母表示數(shù)，用含有字母的式子表示結(jié)果的優(yōu)越性，這也是整體思想的體現(xiàn).

問題（4）給出了移動后的數(shù)為2，求移動前的數(shù). 學(xué)生大多會采用逆向思維，也就是將2往回移動3個單位長度，得2-3=-1，2+3=5；也有學(xué)生想到設(shè)原來的數(shù)為a，列出方程a+3=2或a-3=2，解得a=-1或a=5，這種解法體現(xiàn)了方程的思想.

教師可進一步引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系絕對值的相關(guān)知識，將問題（4）轉(zhuǎn)化為距離問題，即“a與2的距離為3個單位長度，求a的值”，由此列出方程a-2=3，分類討論求解.

通過對上述問題的思考，學(xué)生對之前常見的形如a-2=3的問題有了新的感悟. 代數(shù)角度的解法是將a-2看作一個整體，求解a-2=3和a-2=-3，而從幾何角度來看，則是將其轉(zhuǎn)化為求到2的距離為3個單位長度的數(shù)a，也是求把2沿數(shù)軸移動3個單位長度后得到的數(shù)a的值，這一過程再次體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法.

初探單元教學(xué)，發(fā)展核心素養(yǎng)

基于上述思考，本章可改變過去注重以課時為單位的教學(xué)，推進單元整體教學(xué)設(shè)計，體現(xiàn)本章知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系.

1. 初探有理數(shù)單元教學(xué)

（1）在正、負數(shù)的教學(xué)中，教師應(yīng)讓學(xué)生理解正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量，為后續(xù)點的移動和相反數(shù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

（2）在數(shù)軸的教學(xué)中，教師應(yīng)讓學(xué)生體會數(shù)軸的重要作用；用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，找出點沿數(shù)軸移動后的位置，初步掌握用字母表示數(shù)的方法.

（3）在相反數(shù)和絕對值的教學(xué)中，教師應(yīng)讓學(xué)生借助數(shù)軸這一數(shù)形結(jié)合的重要工具加深對新概念的認識，從數(shù)與形的角度體會a與-a的關(guān)聯(lián)，初步學(xué)會求數(shù)軸上兩點之間的距離.

（4）在去括號的教學(xué)中，學(xué)生已掌握“在一個數(shù)前面加正號仍得這個數(shù)，在一個數(shù)前面加負號會得到這個數(shù)的相反數(shù)”，所以有+（-3）=-3，-（+3）=-3，-（-3）=+3，-［-（-3）］=-3等，從而總結(jié)出“奇負偶正”的規(guī)律.

（5）在有理數(shù)加法的教學(xué)中，教師可嘗試引導(dǎo)學(xué)生用去括號的方式來求解，也就是把每個數(shù)前面的符號看作正、負號，省略加號. 例如3+（-9）=3-9，讀作3加-9，3-（-9）=3+9等.

（6）在有理數(shù)減法的教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生把減法理解為加法. 例如，對于小數(shù)減大數(shù)，如3-9，讀作3加-9，利用加法法則得到結(jié)果-6；而對于大數(shù)減小數(shù)，如9-3，直接得到結(jié)果6.

（7）在有理數(shù)乘法的教學(xué)中，教師同樣可以利用數(shù)軸讓學(xué)生理解數(shù)的位置變化，并可通過乘法再次理解-（-3）的含義，即-（-3）=-1×（-3）=3，進而學(xué)習(xí)后續(xù)的除法和乘方運算.

2. 核心素養(yǎng)如何落地

本章內(nèi)容以學(xué)生的已有經(jīng)驗為基礎(chǔ)，學(xué)生能通過刻畫“事物的相反意義”的相關(guān)生活經(jīng)驗和小學(xué)對“數(shù)及其運算”的認識經(jīng)驗，從現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)量的變化規(guī)律及相互關(guān)系，并能夠用數(shù)學(xué)符號予以表達；能夠根據(jù)題意畫出數(shù)軸，將代數(shù)語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，利用數(shù)軸建立起數(shù)與形的聯(lián)系，表達點與點之間的相互位置關(guān)系，并能想象和描述點的運動變化規(guī)律；學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，形成數(shù)學(xué)的方法和策略，培養(yǎng)抽象能力、幾何直觀和空間觀念素養(yǎng).

本章內(nèi)容注重具體性和形象性，又具有適當(dāng)?shù)某橄笮院透爬ㄐ裕冗m應(yīng)初中起始階段學(xué)生的能力發(fā)展水平，又能促進學(xué)生從具體形象思維向抽象邏輯思維發(fā)展. 學(xué)生能通過實際情境和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗明晰有理數(shù)運算的對象和意義，解析運算邏輯，形成運算法則，理解算法與算理之間的關(guān)系；能運用數(shù)學(xué)思想方法對含有數(shù)字、字母、代數(shù)式的一些簡單問題進行探索、推理和表達，形成數(shù)學(xué)的一般性結(jié)論；學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思想和方法來思考與處理問題，提升運算能力和推理能力素養(yǎng).

本章教學(xué)注重引導(dǎo)學(xué)生從具體生活情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、運算法則等數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)符號來建立代數(shù)式和方程，解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象與規(guī)律，表示問題中的數(shù)量和變化關(guān)系，并有意識地利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解決有理數(shù)運算、距離問題、動點問題等大量與數(shù)量和圖形相關(guān)的重難點問題，初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過程. 學(xué)生能學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界，構(gòu)建普適性的數(shù)學(xué)模型表達和解決現(xiàn)實問題，發(fā)展模型觀念和增強應(yīng)用意識.