離散度量空間的強(qiáng)嵌入 *

李國(guó)強(qiáng)，余淑輝

（貴州財(cái)經(jīng)大學(xué) a. 數(shù)統(tǒng)學(xué)院，b. 大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，貴州 貴陽 550025）

0 引言

在文獻(xiàn)［1］中，Gromov 指出度量空間粗嵌入到希爾伯特空間或者一致凸巴拿赫空間可能對(duì)研究粗Novikov 猜測(cè)具有重要作用。隨后，郁國(guó)樑在文獻(xiàn)［2］中證明了能粗嵌入到希爾伯特空間且具有有界幾何的度量空間上的粗Baum-Connes 猜測(cè)成立。在文獻(xiàn)［2］中，郁國(guó)樑還給出了順從性的更一般的形式——性質(zhì)A，并證明了性質(zhì)A 蘊(yùn)含著粗嵌入。后來，大批學(xué)者開始關(guān)注性質(zhì)A 和粗嵌入并開展了廣泛的研究。［3-7］在文獻(xiàn)［8］中，作者證明了性質(zhì)A 在群擴(kuò)張下的保持性。和性質(zhì)A 不一樣，粗嵌入到希爾伯特空間在群擴(kuò)張是不穩(wěn)定的。［9］Ji，Ogle 和W.Ramsey 在文獻(xiàn)［10］中介紹了度量空間的強(qiáng)嵌入，并證明了強(qiáng)嵌入在群擴(kuò)張下具有保持性。

強(qiáng)嵌入也是一種粗幾何不變量，它強(qiáng)于粗嵌入又弱于性質(zhì)A。夏軍等人在文獻(xiàn)［11］中研究了強(qiáng)嵌入的各種保持性問題和在有限分解復(fù)雜度下的不變性；在文獻(xiàn)［12］中，作者又討論了強(qiáng)嵌入在群作用下的遺傳性。

本文將進(jìn)一步研究度量空間強(qiáng)嵌入的性質(zhì)，具體來說研究了強(qiáng)嵌入的纖維保持性質(zhì)和在度量空間的直積下的封閉性。

1 準(zhǔn)備知識(shí)

在本文中，我們假設(shè)所有的度量空間是一致離散的且具有有界幾何［2］，這類空間包含許多有趣的例子，比如：有限生成群。設(shè)B是一個(gè)巴拿赫空間，為了書寫方便，我們記

對(duì)任意R，ε＞0，稱映射ξ：X→B具有(R，ε)-變差，如果對(duì)任意x，y∈X，我們有

定義1［10］設(shè)X為度量空間，稱X是可強(qiáng)嵌入的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意R，ε＞0，存在希爾伯特值映射β：X→(l2(X))1滿足：

（1）β具有(R，ε) -變差；

對(duì)一族度量空間來說，我們還經(jīng)常用到在某種一致控制意義下的強(qiáng)嵌入。

定義2［10］設(shè)(Xi)i∈I是一族度量空間，如果對(duì)任意R，ε＞0，存在一族希爾伯特值映射βi：Xi→(l2(Xi))1滿足：

（1） 對(duì)每個(gè)i∈I，βi都具有(R，ε) -變差；

則稱(Xi)i∈I是等度可強(qiáng)嵌入的。

設(shè)X是一個(gè)集合，φi：X→[ 0，1 ] 是X上的一族連續(xù)函數(shù)，且滿足對(duì)任意，則我們稱{φi}i∈I為X上的一個(gè)單位分解。假設(shè)U={Ui}i∈I是X的一個(gè)覆蓋，X上的單位分解{φi}i∈I滿足對(duì)任意i∈I，suppφi?Ui，則我們稱{φi}i∈I為從屬于覆蓋U的單位分解。

定理1［12］設(shè)X為度量空間，如果對(duì)任意R，ε＞0，存在X上的單位分解{φi}i∈I滿足：

（1） 對(duì)任意x，y∈X，若d(x，y)≤R，則

（2） {φi}i∈I從屬于X的等度可強(qiáng)嵌入覆蓋U={Ui}i∈I。

則X是可強(qiáng)嵌入的。

設(shè)U={Ui}i∈I是度量空間X的一個(gè)覆蓋。對(duì)任意x∈X，如果x至多包含在U的k個(gè)元素中，則稱k為覆蓋U的重?cái)?shù)。設(shè)R＞0，對(duì)X中任意一個(gè)以R為半徑的球B(R)，如果B(R)至多與U中的n個(gè)元素相交，則稱n為覆蓋U的R-重?cái)?shù)。設(shè)L＞0，如果X中任意一個(gè)半徑不超過L的球都能包含在覆蓋U的某個(gè)元素中，則稱覆蓋U的勒貝格數(shù)為L(zhǎng)。如果對(duì)任意U，V∈U，U≠V，我們有d(U，V)＞L，則稱覆蓋U是L-分離的。設(shè)k≥0，L＞0，如果存在覆蓋U的一個(gè)劃分U=U0∪U1∪???∪Uk且每個(gè)Ui，i= 0，1，???，k，是L-分離的，則稱覆蓋U是(k，L)-分離的。

注意到，如果X的覆蓋U是(k，2L) -分離的，則U的L-重?cái)?shù)≤k+ 1。令

若X的覆蓋U的L-重?cái)?shù)≤k+ 1，則覆蓋UL的重?cái)?shù)≤k+ 1，勒貝格數(shù)為L(zhǎng)。

我們將用到下面重要的結(jié)果。

引理1［13］設(shè)X為度量空間，U={Ui}i∈I是X上重?cái)?shù)為k，勒貝格數(shù)為L(zhǎng)的覆蓋，則存在從屬于覆蓋U的單位分解{φi}i∈I使得對(duì)任意x，y∈X，有

2 纖維保持性

在這一部分，我們來證明強(qiáng)嵌入的一個(gè)非常重要的性質(zhì)叫作纖維保持性。和強(qiáng)嵌入的其他性質(zhì)相比，纖維保持性更加微妙。

定理2設(shè)X和Y是兩個(gè)度量空間，f：X→Y是一個(gè)擴(kuò)張映射，Y具有性質(zhì)A。如果對(duì)Y的任意覆蓋{Ui}i∈I，X的子空間族{f-1(Ui) }i∈I是等度可強(qiáng)嵌入的，則X是可強(qiáng)嵌入的。

證明：我們先給出R，ε＞0。

由于映射f：X→Y是擴(kuò)張的，則存在S＞0 使得當(dāng)x，x′ ∈X，d(x，x′)≤R時(shí)，我們有

因?yàn)閅具有性質(zhì)A，由性質(zhì)A 的一個(gè)等價(jià)定義［14］知，存在Y的一個(gè)一致有界的覆蓋U={Ui}i∈I，{φi}i∈I是從屬于覆蓋U的單位分解且滿足

其中y，y′ ∈X，d(y，y′)≤S。

對(duì)每個(gè)i∈I，我們定義φi=φi°f。顯然，{φi}i∈I是X上從屬于覆蓋{f-1(Ui) }i∈I的單位分解。當(dāng)x，x′ ∈X，d(x，x′)≤R時(shí)，d(f(x)，f(x′))≤S，所以

由定理1 知，X是可強(qiáng)嵌入的。證畢。

推論1設(shè)X和Y是兩個(gè)度量空間，f：X→Y是李普希茨映射。群G分別等距作用在X和Y上，且在Y上的作用是傳的（transitive），f是G不變的。假設(shè)Y具有性質(zhì)A，如果存在y0∈Y使得對(duì)每個(gè)n∈Ν，逆像f-1(B(y0，n))是可強(qiáng)嵌入的，則X是可強(qiáng)嵌入的。

證明：因?yàn)閅具有性質(zhì)A，則存在Y的一個(gè)一致有界的覆蓋U={Ui}i∈I。

注意到G在Y上的作用是等距和傳遞的，則存在n∈Ν 和gi∈G使得對(duì)任意i∈I，我們有g(shù)iUi?B(y0，n)。

注意到

則子空間族{f-1(Ui) }i∈I等距于f-1(B(y0，n))的一族子空間。

由于f-1(B(y0，n))是可強(qiáng)嵌入的，則{f-1(Ui) }i∈I是等度可強(qiáng)嵌入的。由定理2 知，該推論成立。證畢。

有限漸近維蘊(yùn)含著性質(zhì)A，自然有限漸近維也蘊(yùn)含著強(qiáng)嵌入。下面我們給出這個(gè)結(jié)論的一個(gè)自然的推廣。

定理3設(shè)X是一個(gè)度量空間。如果對(duì)任意σ＞0，存在X的一個(gè)(k，L)-可分離覆蓋U，且滿足k2+ 1 ≤Lσ，U是等度強(qiáng)嵌入的，則X是可強(qiáng)嵌入的。

證明：對(duì)任意R，ε＞0。假設(shè)σ＞0 滿足

則對(duì)任意整數(shù)k≥0，我們有

由命題中的條件，我們得到：存在X的一個(gè)(k，2L)-可分離覆蓋U使得U是等度可強(qiáng)嵌入的，且

注意到覆蓋UL的重?cái)?shù)≤k+ 1，勒貝格數(shù)為L(zhǎng)。

由于UL與U是粗等價(jià)的，所以UL是等度可強(qiáng)嵌入的。

由引理1 知，存在從屬于覆蓋UL的單位分解{φU(L)}U(L)∈UL使得對(duì)任意x，y∈X，有

特別地，如果d(x，y)≤R，則有

由定理1 知，X是可強(qiáng)嵌入的。證畢。

3 直接極限

在這一部分，我們將證明對(duì)于度量空間，強(qiáng)嵌入在直接極限下是封閉的。這個(gè)結(jié)果不同于文獻(xiàn)［11］中的定理4.3。

首先，我們有下面的事實(shí)。

引理2設(shè){Xi}i∈I是一族等度可強(qiáng)嵌入的度量空間，如果Yi是Xi的子空間，則子空間族{Yi}i∈I也是等度可強(qiáng)嵌入的。

證明：對(duì)每個(gè)i∈I，設(shè)di是Xi上的度量。

定義映射pi：Xi→Yi為

對(duì)任意R，ε＞0，由等度強(qiáng)嵌入的定義知，存在一族映射βi：Xi→(l2(Xi))1。

滿足：

（1） 對(duì)每個(gè)i∈I，βi都具有(R，ε) -變差；

則對(duì)每個(gè)i∈I，我們定義等距映射αi：l2(Xi) →l2(Yi×Xi)為

其中ζ∈l2(Xi)。

定義映射ξi：l2(Yi) →l2(Yi×Xi)為ξiy(t，s)=αi(βiy)(t，s)其中t∈Yi，s∈Xi。

注意到，對(duì)任意y∈Yi，

注意到，對(duì)任意y∈Yi，有

則對(duì)任意y，y′ ∈Yi，di(y，y′)≤R，有

所以，映射ηi具有(R，ε) -變差。

另外，

因此，{Yi}i∈I是等度可強(qiáng)嵌入的。證畢。

引理3設(shè)c＞0，{Xi}i∈I是一族度量空間，對(duì)每個(gè)i∈I，Yi是Xi中的c-網(wǎng)。如果{Yi}i∈I是等度可強(qiáng)嵌入的，則{Xi}i∈I也是等度可強(qiáng)嵌入的。

證明：這個(gè)命題的證明過程和文獻(xiàn)［11］中引理5.2 類似，所以我們不再詳細(xì)闡述。證畢。

定理4設(shè)X1?X2?X3????是一列有界度量空間，令X=∪n=1∞Xn，X的任何有界子集都包含在某個(gè)Xn中。如果是等度可強(qiáng)嵌入的，則X是可強(qiáng)嵌入的。

證明：令L＞0。由于每個(gè)Xn是有界的，則對(duì)任意度量空間Xnk，總能找到Xnk+1使得

這樣，我們可得到{Xn}的一個(gè)子序列{Xnk}滿足

對(duì)每個(gè)k≥1，令

那么，我們就得到X的一個(gè)覆蓋的重?cái)?shù)至多是2，勒貝格數(shù)至少是L。

由于Xnk+1/Xnk是Xnk的子空間，序列{Xnk} 是等度可強(qiáng)嵌入的，由引理2 知，{Xnk+1/Xnk} 也是等度可強(qiáng)嵌入的。注意到，對(duì)任意k≥1，Xnk+1/Xnk是Uk中的L-網(wǎng)，由引理3 知，是等度可強(qiáng)嵌入的。對(duì)任意R，ε＞0，由引理1 知，存在從屬于覆蓋U的單位分解{φi}i∈Ν使得對(duì)任意x，y∈X，有

我們可以使得L充分大，不妨假設(shè)則當(dāng)d(x，y)≤R時(shí)，我們有

由定理1 知，X是可強(qiáng)嵌入的。證畢。