雅可比變換理論的來源初探 *

徐 快，李 威

（西北大學(xué) 科學(xué)史高等研究院，陜西 西安 710127）

0 引言

橢圓函數(shù)是19 世紀(jì)的中心學(xué)科，為復(fù)變函數(shù)、數(shù)論等其他學(xué)科提供了重要的方法和思想。歐拉（Leonhard Euler， 1707-1783）、勒讓德（Adrien - Marie Legendre， 1752 - 1833）、高斯（Carl Friedrich Gauss， 1777 - 1855）和阿貝爾（Niels Henrik Abel， 1802-1829）等許多偉大的數(shù)學(xué)家先后都嘗試在這一領(lǐng)域有所突破，而雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi， 1804-1851）無疑是最重要的人之一。他和阿貝爾各自獨(dú)立地創(chuàng)立并發(fā)展了橢圓函數(shù)，共同建立了一個(gè)新的理論。在此之后，盡管魏爾斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，1815-1897）等人將橢圓函數(shù)引入更嚴(yán)格的理論和更復(fù)雜的應(yīng)用，但雅可比的橢圓函數(shù)仍然是更一般的理論中具體例子的重要來源。［1］429

橢圓函數(shù)發(fā)展之初，橢圓積分的變換是個(gè)難題，經(jīng)過半個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，最終形成橢圓函數(shù)的變換理論。研究橢圓函數(shù)的變換實(shí)際上是研究具有不同雙周期橢圓函數(shù)間的關(guān)系。［2］雅可比就是從橢圓積分的變換來展開研究的，這在某種程度上影響了他后來絕大多數(shù)重要的理論，比如模方程、乘積理論和著名的θ函數(shù)等，都是在初步研究第一類橢圓積分的變換問題時(shí)提出的。［3］530變換理論不僅是了解雅可比橢圓函數(shù)論的關(guān)鍵，而且在之后橢圓函數(shù)的發(fā)展過程中也扮演著重要的角色，所以研究雅可比的變換理論對(duì)其整個(gè)工作和橢圓函數(shù)的發(fā)展，甚至19 世紀(jì)的數(shù)學(xué)都是極其重要的。

早 在1775 年 和1818 年，蘭 登（John Landen， 1719-1790）和高斯就已經(jīng)分別發(fā)表了二次變換的兩種形式，19 世紀(jì)初勒讓德也給出了橢圓積分的二次變換和三次變換。1827 年，雅可比將橢圓積分的二次變換推廣至任意階的情形并給出了一般變換定理及其證明，但是該變換還只是在橢圓積分之間進(jìn)行。最終，雅可比在他的著作《橢圓函數(shù)基本新理論》中將橢圓積分反演，才正式建立起橢圓函數(shù)的變換理論。目前，許多數(shù)學(xué)史著作都包含雅可比及其橢圓函數(shù)的內(nèi)容，不過大多數(shù)學(xué)者都專注于雅可比最重要的兩個(gè)成就——橢圓積分的反演與θ函數(shù)理論，［1，4-6］僅有一小部分專題史會(huì)涉及雅可比的變換理論。以上研究對(duì)于“雅可比的變換理論是如何來的，在什么樣的背景下形成的，以及為什么會(huì)產(chǎn)生橢圓函數(shù)的變換問題”涉及較少。［7-8］因此，筆者將從這些數(shù)學(xué)家的原始文獻(xiàn)出發(fā)，在“為什么數(shù)學(xué)”的研究范式下，［9］試圖提出并回答這樣一個(gè)問題：雅可比為什么會(huì)建立橢圓函數(shù)的變換理論？筆者嘗試?yán)迩逖趴杀仍?827 年的兩篇論文和1829 年的著作《橢圓函數(shù)基本新理論》中的變換思想以及它們與勒讓德之間的關(guān)系，從中尋找橢圓積分變換問題的背景和來源，能夠使人們更好地理解雅可比變換理論的起源和發(fā)展。

1 橢圓積分變換的早期形成

到18 世紀(jì)末，數(shù)學(xué)家已經(jīng)對(duì)橢圓積分進(jìn)行過很多研究并取得了一些進(jìn)展，其中加法定理和蘭登變換被看作早期橢圓積分理論中的兩大重要支柱。［10］歐拉的加法公式來源于一類重要的曲線——雙紐線。1718 年，意大利數(shù)學(xué)家法尼亞諾（Fagnano dei Toschi，Uiulio Carlo，1682-1766）發(fā)現(xiàn)了雙紐線的一些性質(zhì)，其中最重要的是在研究雙紐線弧長測量方法時(shí)給出了它的倍弧長公式［11］15：

在1751 年拿到法尼亞諾的論文后，歐拉很快就將其推廣到更一般的橢圓積分加法公式［12］：

對(duì)雙紐線積分和橢圓積分加法定理的研究極大地促進(jìn)了橢圓積分的發(fā)展，也加快了數(shù)學(xué)家對(duì)橢圓積分的理解和應(yīng)用。

與歐拉的加法定理類似，蘭登變換也來源于曲線的求弧長問題。1771 年，蘭登提到了一個(gè)一般性定理，這個(gè)定理可以用兩條橢圓弧長來求任意雙曲線的弧長。［13］蘭登于1775 年3 月23 日發(fā)表的一篇文章中詳細(xì)地闡述了該定理的內(nèi)容和方法，而這篇文章就包括橢圓積分的二次變換，也稱為蘭登變換。蘭登在該文章中對(duì)他發(fā)現(xiàn)的這個(gè)新定理作出如下評(píng)價(jià)：

“如果本文的內(nèi)容被應(yīng)用得當(dāng)，那么將表明給定（以及許多其他）的彈性曲線和等凹曲線都可以只通過橢圓的修正來構(gòu)造，并且不會(huì)在任何點(diǎn)失敗。”[14]289

蘭登變換可以概括為下面的定理：

如果有sin (2φ-θ)=ksinθ，那么

隨著橢圓積分被廣泛應(yīng)用，它的數(shù)值計(jì)算也變成了非常棘手的問題，蘭登變換為這個(gè)問題提供了一個(gè)非常好的工具，所以后來的許多數(shù)學(xué)家都用它來進(jìn)行橢圓積分的數(shù)值逼近，甚至解決其他的數(shù)學(xué)問題，比如拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736-1813）將蘭登變換用于橢圓積分的近似數(shù)值計(jì)算，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)數(shù)的算術(shù)幾何平均數(shù)。［15］18至19 世紀(jì)初期，橢圓積分已經(jīng)被應(yīng)用于很多學(xué)科，尤其是在天文學(xué)中占據(jù)了重要的地位。高斯在該領(lǐng)域作出了很多貢獻(xiàn)，特別是他在1818 年發(fā)表的一篇關(guān)于一顆行星受到另一顆行星影響的軌道位置變化的論文，其中也包含了二次變換的思想，［16］正是高斯的這篇論文促使雅可比邁出了研究橢圓函數(shù)的第一步。［3］531

更一般的橢圓積分加法定理促進(jìn)了18 世紀(jì)早期橢圓積分理論的發(fā)展，在曲線求弧長問題的催生下，蘭登在“用兩條橢圓弧長求雙曲線弧長”的幾何外衣下發(fā)現(xiàn)了橢圓積分間的二次變換，與此同時(shí)，其他分支廣泛使用橢圓積分也為數(shù)學(xué)家研究橢圓積分的變換提供了動(dòng)力。這些具體問題刺激了橢圓積分二次變換的產(chǎn)生，同時(shí)這些早期發(fā)現(xiàn)又促進(jìn)橢圓函數(shù)變換理論的進(jìn)一步發(fā)展，但是關(guān)于曲線求弧長和橢圓積分的計(jì)算問題還沒有完全解決，需要之后的數(shù)學(xué)家進(jìn)一步進(jìn)行研究?？傊?，經(jīng)過這一個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，橢圓積分變換比較簡單的情形已經(jīng)出現(xiàn)。不久之后，勒讓德將橢圓積分帶入一個(gè)更豐富的理論，橢圓積分的變換也將逐漸出現(xiàn)更高次和一般化的情況。

2 勒讓德的二次變換

18 世紀(jì)末，勒讓德開始研究橢圓積分并取得了一系列成果，他提出可以將一般橢圓積分歸為三種類型，即第一、第二、第三類橢圓積分，并在《橢圓函數(shù)論》中給出了橢圓積分表。盡管如此，勒讓德在數(shù)學(xué)領(lǐng)域最深刻的思想還是提出了一般橢圓積分的變換問題。［17］149

受到蘭登定理的啟發(fā)，勒讓德在《積分練習(xí)》中建立了一種變換，后來被稱為“二次變換”。勒讓德在該著作中這樣介紹他的二次變換：

“我們將要證明，通過一個(gè)非常簡單的定律就可以形成無窮大的第一類橢圓函數(shù)。它們之間的模和幅角不同，但它們具有非常顯著的性質(zhì)能夠保持關(guān)聯(lián)?！盵18]81

通過對(duì)這些方程的變換進(jìn)行一系列迭代，他得到了具有不同參數(shù)橢圓積分之間的關(guān)系，勒讓德非常重視這種關(guān)系，特別是它在計(jì)算方面的意義。［1］419不久，雅可比就將這個(gè)二次變換推廣為三次變換，將其發(fā)表在他1825 年的著作《橢圓函數(shù)論》中。

勒讓德是橢圓函數(shù)理論的奠基人，用了幾十年的時(shí)間將橢圓積分發(fā)展為一個(gè)成熟的理論，并把橢圓積分的變換變成了一個(gè)專門的研究主題，但是他還只停留在二次變換和三次變換，并未解決更高次的情形。除此之外，橢圓積分的變換問題要成為完整的變換理論還需要至關(guān)重要的一步，即橢圓積分的反演。

3 雅可比的變換理論

雅可比是橢圓函數(shù)的創(chuàng)立者之一，在橢圓函數(shù)的發(fā)展過程中提出并建立了很多重要的理論，特別是他的變換理論。受勒讓德工作的影響，雅可比開始研究橢圓函數(shù)，他晚年的密友狄利克雷（Dirichlet，Peter Gustav Lejeune，1805-1859）這樣回憶道：

“這位年輕的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在很多方向上嘗試過并取得了成功，但很長一段時(shí)間以來，他似乎在橢圓函數(shù)理論方面的進(jìn)展不是很順利。有一天，他的一個(gè)朋友發(fā)現(xiàn)他心情不好，這位朋友問他為什么不高興，雅可比回答說：你看我正要把這本書（勒讓德的《積分練習(xí)》）還回圖書館，但我非常不走運(yùn)。每當(dāng)我研究一項(xiàng)重要的工作時(shí)，它總會(huì)激發(fā)我的想法，并且給我?guī)硪恍〇|西。這一次我空手而歸，絲毫沒有受到啟發(fā)。”[19]7

在不清楚勒讓德的三次變換已經(jīng)出現(xiàn)的情況下，雅可比于1827 年6 月13 日在《天文報(bào)告》發(fā)表了橢圓函數(shù)方面的第一篇論文。他在論文一開始就指出給定形式的橢圓積分之間的變換不僅有已知的二次變換，還有三階變換和五階變換，甚至其數(shù)量和質(zhì)數(shù)一樣多，并給出了一般情形之間的變換［20］33：

設(shè)n為任意質(zhì)數(shù)，令我們可以得到：

再以同樣的方式將sinψ變成sinθ，最終就有：

在這篇論文中，雅可比將三階變換和五階變換作為兩個(gè)例子，驗(yàn)證他提出的一般變換定理。在這兩個(gè)例子之后，雅可比像勒讓德一樣給出了如何近似計(jì)算橢圓積分的詳細(xì)步驟，其中得到了一個(gè)表達(dá)式F(k，φ)=μF(λ，ψ)，表達(dá)式中的兩個(gè)參數(shù)λ、μ也給出了計(jì)算方法。雖然雅可比在第一篇論文中給出了一般變換定理，但是他還不能給出其嚴(yán)格證明，這也是勒讓德立刻敦促雅可比給出一個(gè)證明的原因。

在1827 年的第二篇論文中，雅可比補(bǔ)充了該定理的證明［21］：

設(shè)U、V和T都是有理積分函數(shù)，有

那么表達(dá)式

其中M為常數(shù)。在推導(dǎo)過程中，他首先利用勒讓德的積分得到(1 - sinσ)(1 - sin?) 的表達(dá)式，進(jìn)而出現(xiàn)一個(gè)等式

而在(1 -y) 的表達(dá)式中恰巧包含該等式的一部分結(jié)構(gòu)，所以經(jīng)過替換后就可以得到y(tǒng)，進(jìn)而可以確定U、V、M、λ的表達(dá)式。此外，雅可比還定義了

在上述兩篇文章中，雅可比沿用了勒讓德的模和幅角等概念，即令其中0 ≤c≤1，則勒讓德稱c為函數(shù)的模，φ 為函數(shù)的幅角。同時(shí)使用了他的積分及其他結(jié)果，并按照勒讓德的方式去計(jì)算積分值表，可以看出雅可比提出一般變換定理并給出其證明受到了勒讓德工作的直接影響。

此時(shí)，雅可比和阿貝爾兩人以驚人的速度發(fā)展橢圓積分，勒讓德知道后一直以非常欣賞和鼓勵(lì)的態(tài)度對(duì)待年輕人，他在與雅可比的通信中說：

“我已經(jīng)知道了阿貝爾在《克雷爾雜志》上的出色工作，但你讓我很高興的是用你的語言對(duì)這些結(jié)果進(jìn)行分析，這與我的語言更加接近?？吹较衲愫退@樣的兩位年輕數(shù)學(xué)家成功地培養(yǎng)了一個(gè)分析分支，這一直是我最喜歡的研究對(duì)象，但在我自己的國家沒有得到應(yīng)有的重視，我感到非常滿意?！盵22]407

兩年后，雅可比出版了《橢圓函數(shù)基本新理論》，這是他的第一部杰作，也是橢圓函數(shù)領(lǐng)域的經(jīng)典著作。該著作分為兩個(gè)部分，第一部分主要研究橢圓函數(shù)的變換理論，第二部分致力于將橢圓函數(shù)用無窮級(jí)數(shù)乘積和傅里葉級(jí)數(shù)表示的問題。［23］

如果變量x的多項(xiàng)式函數(shù)A、B、C、D、U、V以下面的方式給出，V+U=（1+x）A2，VU=（1-x）B2，V+λU=（1+kx）C2，V-λU=（1-kx）D2

在1.8 節(jié)中，雅可比引入了sinamu、△amu等新的量，將橢圓積分反演得到新的橢圓函數(shù)后，在1.9 節(jié)整理了大量的關(guān)于橢圓函數(shù)的基本公式，比如sin σ、cos σ、Δσ、sin σ + sin ? 等的表達(dá)式。得到這些新的橢圓函數(shù)后，雅可比就在后面的部分重新給出橢圓函數(shù)變換公式中的一般解析表達(dá)式和證明，并得到了橢圓函數(shù)的虛變換和補(bǔ)變換等。在雅可比之前，變換理論只是在橢圓積分之間進(jìn)行。而雅可比將橢圓積分反演后，這些變換理論就可以在橢圓函數(shù)之間使用了。從此之后，對(duì)橢圓積分的研究就正式轉(zhuǎn)變成橢圓函數(shù)理論，而橢圓積分的變換問題也演變?yōu)闄E圓函數(shù)的變換理論。

關(guān)于上述證明，雅可比是這樣評(píng)價(jià)的：

“因此，現(xiàn)在所有關(guān)于橢圓函數(shù)變換理論的一般解析表達(dá)式都得到了證明?，F(xiàn)在所提出的證明來自于我們?cè)谑骜R赫編輯的《天文報(bào)告》第127 號(hào)中的證明，其中ω代替了代替了M，而其它所有量都是相同的。”[24]48

盡管我們沒有詳細(xì)地介紹該證明，但從雅可比的這段話可以知道該著作中的證明與之前雅可比給出的證明大抵上是相同的。

在1827 年的兩篇文章中，雅可比給出了橢圓積分的一般變換定理及其證明，還有三階變換和五階變換等。1829 年，雅可比在著作《橢圓函數(shù)基本新理論》中將橢圓積分反演，進(jìn)而得到了關(guān)于橢圓函數(shù)的許多性質(zhì)和定理，然后利用其中的一些橢圓函數(shù)去解釋之前橢圓積分的結(jié)果，就可以得到橢圓函數(shù)的一般變換定理及其證明。可以看出，此時(shí)雅可比已經(jīng)給出了橢圓函數(shù)的變換理論。

4 結(jié) 語

橢圓函數(shù)變換理論的起源可以追溯至18世紀(jì)的求曲線弧長問題。在“用兩條橢圓弧長求雙曲線弧長”的定理中，蘭登運(yùn)用了二次變換，在天文學(xué)等其他領(lǐng)域使用橢圓積分時(shí)也出現(xiàn)了二次變換，這些具體問題推動(dòng)了橢圓積分變換的早期發(fā)展。但此時(shí)求曲線弧長和求解橢圓積分的問題并沒有被完全解決，勒讓德將這些具體問題中的二次變換抽離出來，并建立起一個(gè)成熟的橢圓積分理論，他的工作極大地促進(jìn)了橢圓函數(shù)變換理論的產(chǎn)生，但是他只能解決橢圓積分的二次變換和三次變換，卻無法給出更高次的橢圓積分變換。受勒讓德工作的影響，雅可比將橢圓積分的二次變換推廣至三次變換和五次變換，并給出了一般變換定理及其證明。之后，雅可比在《橢圓函數(shù)基本新理論》中將橢圓積分反演，得到了大量的變換公式，最終正式形成雅可比的橢圓函數(shù)變換理論。不重視橢圓積分的逆函數(shù)和對(duì)虛數(shù)的恐懼是勒讓德無法進(jìn)入橢圓函數(shù)的兩大重要原因，而雅可比觀察到了這些問題，并將它們應(yīng)用于自己的研究中，最終得到了這個(gè)重要的理論。