“立體幾何”教學(xué)應(yīng)關(guān)注“基本套路”

安徽省樅陽中學(xué) 董留蕾

在生活中,一提到“套路”,人們總會和“圈套”“騙術(shù)”等不好的事情聯(lián)系起來,往往避之而不及.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,“套路”也比比皆是,例如,概念教學(xué)套路、公式證明套路、數(shù)學(xué)解題套路、數(shù)學(xué)建模套路等,而掌握這些“套路”卻成為了數(shù)學(xué)教學(xué)的一種訴求.人教A版主編章建躍也認為“注重‘基本套路’才是好的數(shù)學(xué)教學(xué)”.那么,究竟什么是“基本套路”?高中數(shù)學(xué)有哪些“基本套路”需要掌握?

1 對“套路”的認知

“套路”本身是中性詞,按照百度百科的解釋,它是指“精心策劃的應(yīng)對某種情況的方式方法,使用該方式方法的人,往往已經(jīng)對該方式方法熟練掌握,并且形成條件反射,邏輯上傾向于慣性使用這種應(yīng)對方法應(yīng)對復(fù)雜的情況,心理上往往已經(jīng)產(chǎn)生對此方法的依賴性,對人有較深影響,使用某種特定不變的處理事件的方式,對一些情況下的處理方式形成路數(shù)”.拋開對“套路”的成見,不難發(fā)現(xiàn),“套路”實際指向的就是人們對客觀世界的認知模式,是提出問題、分析問題、解決問題慣用的方式與方法.這顯然與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)指向一致.從某種程度上講,學(xué)習(xí)的最終目的就是為了獲得與掌握更多的套路,這是因為知識容易遺忘,而“套路”卻能根植于頭腦深處,左右人的思維習(xí)慣與行為習(xí)慣.做事情要講究“套路”,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)當(dāng)然也需要“套路”.因此,數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅要關(guān)注知識與技能,更應(yīng)該凸顯學(xué)習(xí)的“套路”,正所謂“授之以魚不如授之以漁”,掌握“套路”就意味著擁有了打開數(shù)學(xué)世界大門的鑰匙.

2 立體幾何學(xué)習(xí)中的三大“基本套路”

2.1 幾何對象的“認知套路”:整體—局部

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅是掌握知識,更要學(xué)會認識數(shù)學(xué)對象的“套路”,因為,知識往往是在變化的,而“認知套路”一般是相對固定的.基于這一認識,現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材都是以研究一個數(shù)學(xué)對象的“基本套路”為主線來組織教學(xué)內(nèi)容,通常是按照“概念—性質(zhì)—內(nèi)部邏輯關(guān)系—運算應(yīng)用”的認知邏輯加以展開,以便讓學(xué)生獲得完整的數(shù)學(xué)認知.當(dāng)然,立體幾何除了一般的認知套路,還有其特有的認知套路,那就是從“整體—局部”的認知過程.學(xué)生先認識柱體、錐體、臺體、球體,然后在具體幾何模型的基礎(chǔ)上再開展對空間位置關(guān)系的研究;在研究空間位置關(guān)系時,也是先對平行與垂直有一個總體的認知,然后再系統(tǒng)地研究“線線、線面、面面”之間的平行、垂直關(guān)系.“整體—局部”的認知套路貫穿于立體幾何學(xué)習(xí)的全過程.

2.2 公理定理的“獲得套路”:生活現(xiàn)象—數(shù)學(xué)原理

立體幾何與生活息息相關(guān).新教材稱立體幾何的“三大公理”為“三大基本事實”,它們所反映的就是生活中刻畫平面的“平”與“無限延伸”的三個事實依據(jù).基本事實1 “過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面”,它所反映的生活經(jīng)驗就是“三角形結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性”;基本事實2“如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線在這個平面內(nèi)”是對“木工用直尺檢驗桌面是否平整,如果直尺與桌面有縫隙,說明桌面不平,否則就平”經(jīng)驗的真實寫照;而基本事實3“如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線”所對應(yīng)的生活原型就是“榫卯結(jié)構(gòu)”,在拼接兩塊木板時,通常在其中一塊上開一個“凹槽”,在另一塊上造出一個“凸起”,然后兩塊木板就可以榫合在一起了.立體幾何中的平行與垂直關(guān)系的判定定理、性質(zhì)定理更是對生活經(jīng)驗的直接總結(jié),“在轉(zhuǎn)動門中發(fā)現(xiàn)直線與平面平行的判定定理與兩個平面互相垂直的判定定理”“在翻書中發(fā)現(xiàn)直線與平面平行的性質(zhì)定理”“在折紙中發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的判定定理”等.由此可見,立體幾何中的公理與空間位置關(guān)系的判定定理、性質(zhì)定理基本上都是對生活經(jīng)驗的數(shù)學(xué)化表征,其暗含“怎么學(xué)”的套路,即從“生活現(xiàn)象中獲得數(shù)學(xué)原理”.

2.3 空間位置關(guān)系的“刻畫套路”:借力新幾何對象

數(shù)學(xué)知識之間是緊密關(guān)聯(lián)的,是一個有機的整體.這就決定了不同的數(shù)學(xué)對象之間可以相互表征,可以利用一個數(shù)學(xué)對象來刻畫另一個數(shù)學(xué)對象,比如,用圖象交點的橫坐標(biāo)來表示方程的根、用向量運算來判定幾何關(guān)系、用不等式組來表示平面區(qū)域等.立體幾何中對空間位置關(guān)系的刻畫更是如此.比如,“三大基本事實”實際上就是借助“點、線、面”三個幾何對象從三個視角來刻畫平面的“平”與“無限延伸”.又比如,在判斷“線面平行”時,借助“平面內(nèi)的一條線”,通過驗證“線線平行”來證明“線面平行”;研究“線面平行”性質(zhì)時,通過“構(gòu)造過直線的平面”,“讓新的平面與已知平面相交”,最后獲得“線線平行”的結(jié)論.

3 指向“基本套路”的立體幾何教學(xué)

上述三大“基本套路”分別從宏觀、中觀、微觀三個層面系統(tǒng)地揭示了立體幾何學(xué)習(xí)的方向與路徑.那么,如何教會學(xué)生這些“基本套路”呢?“基本套路”的學(xué)習(xí)一般需要經(jīng)過“經(jīng)歷、內(nèi)化、概括、遷移”的過程,可以分兩個階段進行教學(xué).

3.1 第一個階段:通過問題鏈,“牽著”學(xué)生走

例如,在“直線與平面平行的判定”教學(xué)中,這是學(xué)生第一次“經(jīng)歷從生活現(xiàn)象中抽象出判定空間位置關(guān)系方法”的過程,因此,在沒有學(xué)習(xí)經(jīng)驗的支撐下,學(xué)生需要在教師的幫助下“牽著”走 ,教師則圍繞著“生活現(xiàn)象—數(shù)學(xué)原理”這一“基本套路”,精心設(shè)計問題鏈來實現(xiàn)對學(xué)生“牽引”.

如圖1,在矩形紙片ABCD中,E,F分別是BC,AD上的點,現(xiàn)沿直線EF翻折,觀察直線CD與平面ABEF的位置關(guān)系.

圖1

問題1在翻轉(zhuǎn)過程中,直線CD與平面ABCD平行嗎?為什么?

問題2你覺得怎樣改變折痕EF,才能使直線CD∥平面ABEF?

問題3這時,直線CD和AB共面嗎?它們有交點嗎?

問題4每一條折痕與直線CD都有交點嗎?

問題5在平面ABEF內(nèi)任給一點P,你能畫出與折痕EF平行的直線嗎?

問題6直線CD與平面ABEF有交點嗎?為什么?

問題7根據(jù)以上分析,你覺得使直線平行平面的關(guān)鍵要素有哪些?你能進行具體描述嗎?

指向“基本套路”的層層遞進的問題鏈“牽著”學(xué)生完整地經(jīng)歷獲得空間位置關(guān)系判定定理的過程,同時,教師也要明確指出“這就是研究空間位置關(guān)系的基本套路”,然后再經(jīng)過后續(xù)“直線與平面平行的性質(zhì)”“兩個平面平行的判定”等內(nèi)容的學(xué)習(xí),使得這一“基本套路”逐步得到內(nèi)化.

3.2 第二個階段:設(shè)置任務(wù),“放手”讓學(xué)生自己走

例如,在“直線與平面垂直的性質(zhì)”教學(xué)時,學(xué)生已經(jīng)具備了從“生活現(xiàn)象—數(shù)學(xué)原理”的探索與“借力新的幾何對象”刻畫空間位置關(guān)系的經(jīng)驗,教師完全可以“放手”讓學(xué)生自己去探究.首先,對“直線與平面平行性質(zhì)定理”與“兩個平面平行性質(zhì)定理”獲得的過程及定理本身的構(gòu)成進行概括,提煉共性特征,再通過類比遷移,以任務(wù)表(表1、表2)的形式驅(qū)動學(xué)生自主探究“若直線a⊥平面α,你能獲得哪些性質(zhì)?”

表1

表2

經(jīng)過探究,學(xué)生除了可以得到“垂直于同一平面的兩條直線平行”,還可以得到“a⊥α,b?α?a⊥b”“a⊥α,b⊥a,b?α?b∥α”“a⊥α,α//β?α⊥β”等8大性質(zhì).至于教材為何以“垂直于同一平面的兩條直線平行”作為直線與平面垂直的性質(zhì)定理,可能是基于兩個方面的考慮:一是性質(zhì)定理要足夠簡潔,容易記憶;二是能夠和平行關(guān)系建立橫向聯(lián)系,進一步完善立體幾何的網(wǎng)狀知識體系.當(dāng)然,對于這個問題可以組織學(xué)生進行深入的討論.因此,在“基本套路”得以明確的前提下,教師的“放手”更能夠發(fā)展學(xué)生的邏輯推理與直觀想象核心素養(yǎng).

有學(xué)者說:“教育是所有學(xué)過的東西都忘了后,仍然留下來的.”以往,我們都認為留下的就是“能力”,但現(xiàn)在看來,這種認識還是不夠全面.所有學(xué)過的東西都忘了后,留下的應(yīng)該是經(jīng)過長期積淀而形成的發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的一連串的思維模式與操作經(jīng)驗,即本文論述的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“基本套路”.