立足基點(diǎn),以小見大
——例談高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)中以點(diǎn)帶面的復(fù)習(xí)方法

廣東省深圳市翠園中學(xué) 韓 蕓

高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)是對(duì)高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行全面梳理和復(fù)習(xí),即系統(tǒng)地整理知識(shí),優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu).其指導(dǎo)思想是全面、扎實(shí)、系統(tǒng)、靈活.在復(fù)習(xí)過程中,面對(duì)眾多的知識(shí)點(diǎn)和方法,很容易面面俱到,一點(diǎn)而過,沒能將一些重點(diǎn)的知識(shí)和方法復(fù)習(xí)透徹,也不能達(dá)到預(yù)期的復(fù)習(xí)效果.因此,在高三的第一輪復(fù)習(xí)中,在課程標(biāo)準(zhǔn)的引領(lǐng)之下,每節(jié)課應(yīng)該立足主要的知識(shí)點(diǎn)和方法,以此為基點(diǎn),把問題作為載體,將有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)和方法聯(lián)系起來.通過以小見大、以點(diǎn)帶面的復(fù)習(xí)方法,輔助學(xué)生織起一張系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),為后續(xù)更深層次的復(fù)習(xí)打好基礎(chǔ).下面就以筆者在學(xué)校高三研討課活動(dòng)中執(zhí)教的“圓錐曲線綜合問題——最值與范圍問題”公開課為例,來談?wù)剛€(gè)人對(duì)以點(diǎn)帶面復(fù)習(xí)方法的淺見.

1 教學(xué)內(nèi)容分析

“圓錐曲線的綜合應(yīng)用”是解析幾何部分的最后一節(jié)內(nèi)容,它是高中階段所有解析幾何知識(shí)與方法的綜合應(yīng)用,具有較強(qiáng)的綜合性.在教輔書上對(duì)這節(jié)內(nèi)容安排的是一個(gè)課時(shí),提供了三個(gè)例題進(jìn)行復(fù)習(xí).但是從近幾年的高考、模擬考的試題中可以得知,這部分內(nèi)容主要涉及三類問題:①最值與范圍問題;②定點(diǎn)問題;③定值問題.這三類問題一直是高考的熱點(diǎn),且具有一定的難度.在高考中,對(duì)這部分內(nèi)容的要求是理解和掌握,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想及運(yùn)算求解能力.因此,筆者決定將這三個(gè)問題進(jìn)行分拆,每節(jié)課只復(fù)習(xí)一個(gè)小問題,精講精練,切實(shí)讓學(xué)生理解和掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)和方法.于是,筆者結(jié)合之前的復(fù)習(xí)情況選定了本節(jié)課的復(fù)習(xí)內(nèi)容為“圓錐曲線綜合應(yīng)用——最值與范圍問題”.整節(jié)課就以最值與范圍問題為基點(diǎn),進(jìn)行相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和方法的復(fù)習(xí).根據(jù)教學(xué)內(nèi)容以及學(xué)生的具體情況,制定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo):①掌握求最值、范圍的兩大基本方法(代數(shù)法、幾何法);②掌握數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用;③加強(qiáng)運(yùn)算求解能力.這節(jié)課雖然是立足于圓錐曲線背景下的最值與范圍問題的復(fù)習(xí),但是它從更高的層次體現(xiàn)了解析幾何的核心思想——將幾何問題代數(shù)化,用代數(shù)方法解決幾何問題.同時(shí),在這節(jié)課的復(fù)習(xí)過程中所涉及到的思想方法和解題方法也可以遷移到解決其他背景之下的最值與范圍問題的求解,這在解題的思想方法上起到了以點(diǎn)帶面的作用.

2 教學(xué)過程設(shè)計(jì)與評(píng)析

問題是數(shù)學(xué)的心臟.在本節(jié)課的教學(xué)過程中,通過問題的探究,引導(dǎo)學(xué)生站在更高的角度審視和思考數(shù)學(xué)問題,深度挖掘數(shù)學(xué)問題背后蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想[1].

2.1 問題提出,立足基點(diǎn)

授課時(shí)首先通過問題呈現(xiàn)出本節(jié)課的復(fù)習(xí)內(nèi)容,問題的設(shè)置比較基礎(chǔ)、直接,可以讓學(xué)生直接看出這節(jié)課要復(fù)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)和基本方法.

教學(xué)設(shè)計(jì)模塊一：基本方法——自主學(xué)習(xí)

學(xué)習(xí)內(nèi)容見表1.

表1 自主學(xué)習(xí)內(nèi)容

評(píng)析：表1中是兩個(gè)基礎(chǔ)題,方法單一,班級(jí)中等以上的學(xué)生可以較為輕松地解決,而基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生則通過求助他人也可以解決.在解題分享匯報(bào)中,學(xué)生準(zhǔn)確地給出了這兩個(gè)題目的解法,并在教師的引導(dǎo)下,明確了解決最值與范圍問題的兩大基本方法,同時(shí)歸納出兩個(gè)解題思路.這個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意圖是利用問題提出本節(jié)課的復(fù)習(xí)內(nèi)容是最值與范圍問題,通過學(xué)生解題的分享匯報(bào)明確解決這類問題的方法有代數(shù)法和幾何法,思路是通過數(shù)形結(jié)合直接建立不等關(guān)系,以及建立關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)解析式,然后用函數(shù)的思想來解題.由此讓學(xué)生知道,在解決后面的問題時(shí)也要用到這些思想方法.

2.2 問題驅(qū)動(dòng),以點(diǎn)帶面

教學(xué)設(shè)計(jì)模塊二：學(xué)以致用——合作學(xué)習(xí)

例1設(shè)M(x0,y0)為拋物線C:y2=8x上一點(diǎn),F為拋物線C的焦點(diǎn).若以F為圓心,|MF|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交,則x0的取值范圍是.

解題情況回顧：學(xué)生通過作圖,把握住題目中的關(guān)鍵“以F為圓心,|MF|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交”,數(shù)形結(jié)合,利用幾何直觀直接建立不等關(guān)系,從而順利求解.

解題情況回顧：學(xué)生通過作圖分析,用代數(shù)法得出本題的思路是建立某個(gè)變量的函數(shù)解析式,用函數(shù)思想來解題.學(xué)生采用的方法主要有兩種.①設(shè)直線方程,建立一個(gè)關(guān)于k的函數(shù);②設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)的坐標(biāo),建立關(guān)于y1或y2函數(shù)關(guān)系式求解.

評(píng)析：例1～3較為典型,帶有一定的綜合性,設(shè)計(jì)由淺入深,從多個(gè)角度復(fù)習(xí)了最值與范圍問題的求解方法.題目在考查本節(jié)重要思想方法的同時(shí),帶動(dòng)了對(duì)一些相關(guān)知識(shí)的回顧與鞏固,有效地建立了知識(shí)之間的相互聯(lián)系.在教學(xué)過程中,讓學(xué)生思維在多角度的認(rèn)識(shí)中不斷地深入和發(fā)散,從而有效地拓寬解題思路,優(yōu)化解題路徑[2].

3 教學(xué)反思

(1)本節(jié)課立足于圓錐曲線背景之下的最值與范圍問題,以此為基點(diǎn)展開復(fù)習(xí).在復(fù)習(xí)的過程中,以問題驅(qū)動(dòng),由淺入深,以點(diǎn)帶面,搭建起知識(shí)點(diǎn)之間、思想方法之間和題型之間的橋梁.將解決這類問題的基本方法——代數(shù)法和幾何法、基本思路——直接建立不等關(guān)系和建立關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)解析式、基本思想——數(shù)形結(jié)合和函數(shù)思想,在問題中體現(xiàn)出來,使學(xué)生通過精練精講幾個(gè)題可以掌握一類題的解法.

(2)在課堂的學(xué)習(xí)過程中,教師是學(xué)習(xí)活動(dòng)的組織者和引導(dǎo)者,學(xué)生是學(xué)習(xí)活動(dòng)的主體.因?yàn)檎?jié)課就是立足于“求最值與范圍”這一個(gè)問題,學(xué)生將所有的思維都集中在這一點(diǎn),減少了不同類問題在思維上的干擾,學(xué)生覺得這樣的學(xué)習(xí)輕松了很多.所以,在整節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生積極性很高,積極思考和發(fā)言.從學(xué)生的發(fā)言和解題效果來看,學(xué)生對(duì)“最值與范圍問題”的解法有了更進(jìn)一步的理解和認(rèn)識(shí),從而通過以點(diǎn)帶面的方法,將知識(shí)點(diǎn)和方法從橫向和縱向有機(jī)地聯(lián)系起來.

高三第一輪復(fù)習(xí)任務(wù)艱巨,我們應(yīng)該認(rèn)真研讀課程標(biāo)準(zhǔn),仔細(xì)鉆研考題,設(shè)立好復(fù)習(xí)的基點(diǎn),把問題作為載體,以小見大,以點(diǎn)帶面做好全面的復(fù)習(xí).