歸納學(xué)習(xí)在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的運(yùn)用

蕪湖市第十二中學(xué) 張力勝

1 關(guān)于有效學(xué)習(xí)的思考

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》指出:“高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平劃分為三個(gè)水平,其中水平一是高中畢業(yè)應(yīng)當(dāng)達(dá)到的要求,也是高中畢業(yè)的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試的命題依據(jù);水平二是高考的要求,也是數(shù)學(xué)高考的命題依據(jù).”[1]如何在日常課堂教學(xué)中幫助高中學(xué)生快速達(dá)到水平二的要求,對(duì)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)而言就是如何幫助學(xué)生有效學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合體現(xiàn).課標(biāo)中對(duì)于六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),每一個(gè)核心素養(yǎng)的要求也劃分為三個(gè)水平,是通過(guò)“情境與問(wèn)題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思”四個(gè)方面進(jìn)行表述的[2],筆者結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)歷認(rèn)為教學(xué)效率的提高也得從這四個(gè)方面入手.

對(duì)于泛化的學(xué)習(xí)目標(biāo),通常有兩種學(xué)習(xí)方式,即指令學(xué)習(xí)與歸納學(xué)習(xí).指令學(xué)習(xí),即為傳統(tǒng)教學(xué)常用的給予學(xué)生概念、規(guī)律共性的語(yǔ)言描述,相當(dāng)于一份說(shuō)明書,對(duì)照相應(yīng)的情形對(duì)應(yīng)解決相應(yīng)的問(wèn)題.高中數(shù)學(xué)立體幾何的證明即為這種方式,根據(jù)具體的問(wèn)題,選擇相應(yīng)的定理、公理進(jìn)行證明.歸納學(xué)習(xí)則是通過(guò)研究案例,總結(jié)共性,大腦在無(wú)意識(shí)的情形下進(jìn)行總結(jié)歸納.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的例題講解即為歸納學(xué)習(xí)方式,這種方式容易受特例影響,學(xué)生總結(jié)出的規(guī)律往往不具備普適性,也容易形成思維定式.最佳的學(xué)習(xí)模式應(yīng)該是兩種學(xué)習(xí)方式的結(jié)合.高中數(shù)學(xué)的公式、概念和定義,以指令學(xué)習(xí)的方式,構(gòu)建一個(gè)大的知識(shí)體系框架,相當(dāng)于建筑的承重墻與梁柱.多個(gè)數(shù)學(xué)情境的案例、例題,以歸納學(xué)習(xí)的方式進(jìn)行,填充內(nèi)容相當(dāng)于建筑物的各種細(xì)節(jié).結(jié)合教學(xué)來(lái)看,知識(shí)與技能是大方向與框架,即形成相應(yīng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的技能,這些需要通過(guò)指令學(xué)習(xí)將公式、概念、定義傳遞給學(xué)生.而這些知識(shí)與技能的獲得又需要在一些實(shí)際生活的情境與問(wèn)題中,抽象歸納出數(shù)學(xué)模型,提煉出概念與規(guī)則.新知識(shí)的產(chǎn)生是建立在已有知識(shí)體系基礎(chǔ)上的,數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系,不同情形下數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的表述,又要通過(guò)歸納推理、類比推理和演繹推理來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化、運(yùn)算與證明,這個(gè)過(guò)程即是思維與表達(dá)的過(guò)程.交流與反思則是指學(xué)生能將抽象的數(shù)學(xué)概念、結(jié)論,通過(guò)規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行直觀的解釋和與他人交流,并能對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納總結(jié)、研究及拓展提升[3].所以這四個(gè)方面是有機(jī)統(tǒng)一的,也是四個(gè)過(guò)程,指令學(xué)習(xí)與歸納學(xué)習(xí)始終融合并貫穿整個(gè)過(guò)程.指令學(xué)習(xí),學(xué)生可以通過(guò)閱讀教材、教輔資料及教師課堂傳授,因而歸納學(xué)習(xí)就顯得尤為重要.筆者認(rèn)為,在高中掌握好歸納學(xué)習(xí)是高中生數(shù)學(xué)有效學(xué)習(xí)的關(guān)鍵,也是很多學(xué)生由初中進(jìn)入高中后數(shù)學(xué)成績(jī)發(fā)生巨大轉(zhuǎn)變的原因之一.

2 高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)

北京師范大學(xué)曹一鳴教授指出:“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)表現(xiàn)在小學(xué)階段主要是具有一定的“意識(shí)”,初中階段是形成一定的“觀念”,高中階段則要求具備一定的“關(guān)鍵能力”,這體現(xiàn)了核心素養(yǎng)的發(fā)展性和階段性.”[4]在高中階段,數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力包括:數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.因而在教學(xué)活動(dòng)中,如何布置合適的學(xué)習(xí)任務(wù)、創(chuàng)設(shè)合適的學(xué)習(xí)情境、組織高效且具有數(shù)學(xué)探究性的學(xué)習(xí)活動(dòng)等,把學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的能力養(yǎng)成滲透到日常教學(xué)中成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重心[1].

筆者根據(jù)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)高中數(shù)學(xué)必修課程與選擇性必修課程的核心素養(yǎng)要求進(jìn)行了分類統(tǒng)計(jì),具體見(jiàn)表1.

表1 高中數(shù)學(xué)必修課程與選擇性必修課程的核心素養(yǎng)要求統(tǒng)計(jì)

由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可見(jiàn),每個(gè)單元的知識(shí)點(diǎn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升不是單一的,是多維一體的,絕大多數(shù)知識(shí)點(diǎn)都對(duì)學(xué)生的邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力有要求.必修課程的預(yù)備知識(shí)主題中,集合、相等關(guān)系與不等關(guān)系、從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式章節(jié)還對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力提升做了要求;函數(shù)主題中函數(shù)概念與性質(zhì)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)及函數(shù)應(yīng)用章節(jié)還對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象能力提升做了要求[5];幾何與代數(shù)主題中的平面向量及其應(yīng)用、復(fù)數(shù)、立體幾何初步章節(jié)還對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象能力提升做了要求;概率與統(tǒng)計(jì)主題重點(diǎn)對(duì)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模能力提升做了額外要求.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要依據(jù)課標(biāo),立足教材,根據(jù)章節(jié)的側(cè)重點(diǎn)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能力培養(yǎng)有所側(cè)重.兩大核心能力,即邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算,要在課堂例題的講授及作業(yè)訓(xùn)練中讓學(xué)生不斷靈活加以運(yùn)用.其他四種核心素養(yǎng)能力,在情境與問(wèn)題的表述、知識(shí)與技能的引入中,要多通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考、歸納,并在課后的練習(xí)與作業(yè)和章節(jié)測(cè)驗(yàn)中重點(diǎn)訓(xùn)練與考查,從而讓學(xué)生有目的地訓(xùn)練與運(yùn)用.其中,必修課程中集合與函數(shù)章節(jié),對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力要求相比初中數(shù)學(xué)的“觀念”有較大差異,教師在教學(xué)時(shí)要做好銜接與過(guò)渡.

3 如何利用歸納學(xué)習(xí)提高高三復(fù)習(xí)課效率

在研究了普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中核心素養(yǎng)與高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平的三個(gè)水平要求后,筆者認(rèn)為高三復(fù)習(xí)課仍然要立足于培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,以達(dá)到學(xué)業(yè)質(zhì)量水平的水平一與水平二的要求,并根據(jù)學(xué)生的學(xué)情與興趣引導(dǎo)部分學(xué)生向水平三發(fā)展.高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平一為高中學(xué)業(yè)水平考試的命題依據(jù),即課標(biāo)中要求學(xué)生在高中畢業(yè)應(yīng)達(dá)到的數(shù)學(xué)能力水平.此水平的數(shù)學(xué)能力較為基礎(chǔ),在高二學(xué)業(yè)水平考試后,絕大多數(shù)學(xué)生能夠達(dá)到這一水平的要求.因此,水平二的要求就是高三復(fù)習(xí)課中需要重點(diǎn)關(guān)注與突破的;同時(shí),在高三有限的課堂教學(xué)時(shí)間中提高課堂效率,幫助學(xué)生高效復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)與技能,提升數(shù)學(xué)能力是核心.

在水平二的要求中提到:“能夠理解歸納、類比是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)命題的重要途徑;能夠?qū)⒁阎獢?shù)學(xué)命題推廣到更一般的情形;能夠在新的情境中選擇和運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題;能夠理解和構(gòu)建相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系,提煉出解決一類問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法,理解其中的數(shù)學(xué)思想,初步建立網(wǎng)狀的知識(shí)結(jié)構(gòu).”[1]這些要求都與歸納學(xué)習(xí)方式、歸納類比的數(shù)學(xué)思想及將知識(shí)形成網(wǎng)狀知識(shí)體系密切相關(guān).筆者認(rèn)為,可以合理利用歸納學(xué)習(xí),幫助學(xué)生提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率.

(1)督促學(xué)生整理歸納練習(xí)及測(cè)驗(yàn)中的錯(cuò)題

歸納學(xué)習(xí)方式更多的是在大腦擅長(zhǎng)的潛意識(shí)中進(jìn)行的學(xué)習(xí)行為,因此要將素材先輸入大腦.學(xué)生可以將學(xué)生易犯錯(cuò)的錯(cuò)題,因知識(shí)點(diǎn)遺忘而導(dǎo)致找不到數(shù)學(xué)條件間聯(lián)系的錯(cuò)題,以及由于目前數(shù)學(xué)能力不足導(dǎo)致找不到題目突破口的錯(cuò)題,整理記錄在錯(cuò)題本上,并且需要周期性復(fù)習(xí)并多次再次解答,對(duì)照正確解析反思不足,查漏補(bǔ)缺.通過(guò)定期復(fù)習(xí)整理歸納,提高歸納學(xué)習(xí)效率,有目的性的引導(dǎo)比盲目刷題更高效.這樣能幫助學(xué)生節(jié)省更多的時(shí)間,也讓學(xué)生的課后自主學(xué)習(xí)更具目的性和可操作性.

(2)課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)

首先,在日常數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)歸納類比知識(shí)點(diǎn),聯(lián)系已學(xué)知識(shí)對(duì)具有共性的新知識(shí)做猜想并證明.例如:高一函數(shù)章節(jié)中,指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì);三角函數(shù)章節(jié)中,正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì);平面向量與空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算;橢圓與雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率等知識(shí)點(diǎn).這些都可以通過(guò)類比,由已學(xué)的知識(shí)點(diǎn)歸納類比得到新的知識(shí)點(diǎn),既鍛煉了學(xué)生的邏輯推理能力又能讓他們更好地掌握知識(shí)點(diǎn).

另外,還可以在每節(jié)課臨近下課的五分鐘內(nèi)以提問(wèn)的形式,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想方法、解題技巧等做歸納總結(jié).課堂歸納總結(jié),能讓學(xué)生對(duì)每節(jié)課的學(xué)習(xí)成果,作出一個(gè)簡(jiǎn)單的自我評(píng)價(jià),也能幫助教師反思學(xué)生對(duì)本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)的掌握情況.提問(wèn)環(huán)節(jié)讓學(xué)生回憶整節(jié)課的主干知識(shí),方便學(xué)生課后查漏補(bǔ)缺、整理筆記,也能讓學(xué)生全程參與課堂環(huán)節(jié),提高課堂專注度.

(3)巧用一題多解歸納復(fù)習(xí),形成知識(shí)體系

高中數(shù)學(xué)很多知識(shí)點(diǎn)之間有密切的聯(lián)系,通過(guò)這些聯(lián)系,有些數(shù)學(xué)題往往可以一題多解.一題多解,不僅可以通過(guò)一道題串聯(lián)多個(gè)知識(shí)點(diǎn),幫助學(xué)生復(fù)習(xí)回顧,還可以幫助學(xué)生按知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯聯(lián)系歸納形成知識(shí)體系,以點(diǎn)帶面進(jìn)行復(fù)習(xí).特別在與三角函數(shù)有關(guān)的習(xí)題中,三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與變形一直是學(xué)生害怕的問(wèn)題,而這類問(wèn)題又是高考數(shù)學(xué)考查的一個(gè)熱點(diǎn),其中有關(guān)解三角形的解答題也會(huì)用到這一方面知識(shí).因此,在講解這一類問(wèn)題的過(guò)程中,一題多解可以幫助學(xué)生更好地理解三角函數(shù)誘導(dǎo)公式,兩角和與差的正弦、余弦和正切公式,二倍角公式,等等.類似地,在解三角形題型中,計(jì)算三角形的內(nèi)角除了正弦定理、余弦定理,還可以用向量的方法,借助向量數(shù)量積的定義,通過(guò)計(jì)算三角形兩邊的方向向量的夾角得到所求三角形內(nèi)角.