職教高考數(shù)列綜合應(yīng)用題解題策略探究

摘 要：數(shù)列的綜合應(yīng)用是職教數(shù)學(xué)高考中的重點(diǎn)內(nèi)容，主要考查考生對(duì)數(shù)列基本概念的掌握和運(yùn)用情況.本文結(jié)合實(shí)際例題對(duì)職教高考數(shù)學(xué)中數(shù)列綜合應(yīng)用問題解題的思路進(jìn)行分析和探究，旨在指導(dǎo)數(shù)學(xué)教師開展教學(xué)，為學(xué)生優(yōu)化解題思路提供借鑒.

關(guān)鍵詞：職教高考；數(shù)列；解題思路

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2023）21-0014-03

收稿日期：2023-04-25

作者簡(jiǎn)介：邱婷婷（1987.7-），女，江蘇省鹽城人，研究生，講師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

職教高考是國(guó)家為中專專門設(shè)計(jì)的一條升學(xué)路徑，數(shù)學(xué)學(xué)科是其中一門重要的考試科目，而數(shù)列綜合應(yīng)用問題則是數(shù)學(xué)職教高考中的重點(diǎn)，同時(shí)也是難點(diǎn)之一.由于數(shù)列綜合應(yīng)用問題的解題過程較為繁瑣，對(duì)解題步驟要求也較為嚴(yán)格，所以一旦出現(xiàn)誤差將會(huì)影響整體答案的準(zhǔn)確性.為了職校生能夠取得良好成績(jī)，相關(guān)教師應(yīng)當(dāng)傳授職校生科學(xué)的解題思路和方法，強(qiáng)調(diào)全面掌握基礎(chǔ)知識(shí)和概念，并整理同類題型，多加練習(xí)，總結(jié)做題技巧，深入分析題目，確定解題關(guān)鍵信息，再對(duì)解題步驟進(jìn)行精簡(jiǎn)，從而提高答題效率.

1 靈活運(yùn)用數(shù)列知識(shí)基礎(chǔ)概念

基于以往的職教高考實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，多數(shù)職校生將數(shù)列綜合應(yīng)用問題視為難點(diǎn)，主要原因是學(xué)生對(duì)于數(shù)列概念的理解不深刻，即在學(xué)習(xí)過程中不注重理解，采用死記硬背的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，導(dǎo)致在考試時(shí)難以進(jìn)行準(zhǔn)確解答［1］.所以數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行數(shù)列綜合應(yīng)用問題教學(xué)時(shí)，應(yīng)當(dāng)注重引導(dǎo)學(xué)生正確理解知識(shí)概念，再指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)解題應(yīng)用.比如教師可從相對(duì)簡(jiǎn)單的題目入手，遵從循序漸進(jìn)的原則，促使學(xué)生深入理解基礎(chǔ)知識(shí)概念，學(xué)會(huì)使用定義法解題［2］.比如給定an+1=an+d或an+1=qann∈N+條件，則滿足等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義，再根據(jù)定義得到公差或公比，然后尋找首項(xiàng).教師應(yīng)當(dāng)注重引導(dǎo)學(xué)生完善自身的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)和體系，可通過思維導(dǎo)圖的方式對(duì)數(shù)列綜合應(yīng)用問題的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整理，加強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，便于學(xué)生在閱讀題目后，能夠快速判斷所需使用的知識(shí)點(diǎn)，通過概念理解獲得解題思路.例題如下：

例1 已知數(shù)列an滿足，an+1=an+2n∈N+，且a1=1.

（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；

（2）假設(shè)bn=2an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.

通讀題目，可運(yùn)用定義法進(jìn)行解題，即使利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式等，再確定首項(xiàng)，解題步驟如下：

解 （1）因an+1=an+2，則an+1-an=2，

所以數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，

可得an=2n-1，Sn=n（1+2n-1）2=n2.（2）因bn=2an=22n-1=2×4n-1，

又因數(shù)列bn是以2為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，

所以：Tn=234n-1.

在解題時(shí)，教師要先引導(dǎo)學(xué)生熟悉教材中的基本知識(shí)概念，從定義入手.如在教學(xué)中，根據(jù)教材內(nèi)容，解決較為簡(jiǎn)單的數(shù)列問題，內(nèi)化總結(jié)數(shù)列的定義，再列舉相同的數(shù)字組，了解和掌握有窮數(shù)列、無窮數(shù)列等.然后通過列舉掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列，深刻理解其含義［3］.

2 整理同類型題掌握解題思路

在數(shù)學(xué)職教高考中，很多同類型題的解題思路是相同的，尤其是數(shù)列綜合應(yīng)用問題.所以教師要引導(dǎo)學(xué)生在日常學(xué)習(xí)過程中，對(duì)同類型題進(jìn)行整理和歸納，有助于總結(jié)解題思路，從而能夠快速運(yùn)用到同類型題解答中［4］.在整理時(shí)，應(yīng)當(dāng)注重對(duì)比歸納同類型題的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，便于在后續(xù)解題過程中靈活運(yùn)用，養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)整理歸納等習(xí)慣.比如可指導(dǎo)學(xué)生建立錯(cuò)題集，將容易出錯(cuò)的同類型題歸集在一塊，對(duì)比分析解答思路，有助于提升答題效率.

因此，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生按照教材知識(shí)內(nèi)容并結(jié)合近年來數(shù)學(xué)職教高考常見題型等進(jìn)行相同題型整理，適當(dāng)對(duì)現(xiàn)有例題進(jìn)行拓展，以便學(xué)生掌握更完善的解題思路.比如在學(xué)習(xí)等差數(shù)列時(shí)，在做題過程中強(qiáng)調(diào)歸納相同類型的題目，如等差數(shù)列求和或求等差數(shù)列某一項(xiàng)等，探索問題規(guī)律和解題思路，運(yùn)用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行計(jì)算.

例2 已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=a（a為常數(shù)），an=2an-1+n2-4n+2n∈N且n≥2.

（1）數(shù)列an是否可能是等差數(shù)列？若可能，求出an的通項(xiàng)公式，若不可能，說明理由.

（2）設(shè)在數(shù)列bn中，有b1=b，bn=an+n2n∈N且n≥2，Sn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，且Sn是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a，b滿足的條件.

解 （1）因a1=a（a為常數(shù)），an=2an-1+n2-4n+2n∈N且n≥2，得a2=2a-2，a3=4a-5，a4=8a-8.若an是等差數(shù)列，則a3-a2=a2-a1，得a=1，但由a3-a2=a4-a3，得a=0，矛盾．

所以an不可能是等差數(shù)列．

（2）因?yàn)閎n=an+n2，所以bn+1=2bnn∈N且n≥2．

所以bn=a+12n-1n∈N且n≥2．當(dāng)a≠-1時(shí)，bn≠0，因此bn從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列．

所以Sn=b1+2a+22n-1-12-1=a+12n+b-2a-2，

當(dāng)n≥2時(shí)，SnSn-1=2-b-2a-2（a+1）2n-1+b-2a-2，Sn是等比數(shù)列，因?yàn)閍≠-1，所以b-2a-2=0.

當(dāng)a=-1時(shí)，b2=0，由bn=2bn-1（n≥3），得bn=0（n≥2），

又因?yàn)镾n是等比數(shù)列，所以b≠0，

綜上，數(shù)列Sn是等比數(shù)列，實(shí)數(shù)a，b所滿足的條件為或a≠-1b=2a+2或a=-1b≠0.

在解題中，為證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列，則需要證明任意的連續(xù)的三項(xiàng)中，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差或比值相等即可.一方面，將類似題目進(jìn)行整理歸納，能夠加深學(xué)生對(duì)等差數(shù)列以及等比數(shù)列的理解，有利于提高解題效率和準(zhǔn)確性；另外一方面，通過對(duì)相同類型試題進(jìn)行歸納總結(jié)，有助于有效應(yīng)對(duì)職教高考中出現(xiàn)的各種數(shù)列綜合應(yīng)用問題，在閱讀試題后能夠快速明確解答思路，進(jìn)而書寫正確的解題步驟［5］.

3 明確題目重點(diǎn)尋找解題線索

在對(duì)數(shù)列綜合應(yīng)用問題進(jìn)行解答時(shí)，應(yīng)當(dāng)注重勾畫題目重點(diǎn)內(nèi)容，根據(jù)題意中所給出的條件，尋找解題線索［6］.很多時(shí)候?qū)W生在解題時(shí)會(huì)忽視一些線索，導(dǎo)致解題較為困難，影響解題效率.所以教師應(yīng)當(dāng)傳授學(xué)生正確讀題的方法，在理解概念的前提下，快速提取題干中的關(guān)鍵線索，對(duì)試題進(jìn)行合理解答.

例3 設(shè)一個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，其奇數(shù)和為24，偶數(shù)項(xiàng)和為30，且最后一項(xiàng)比第一項(xiàng)大10.5，則最后一項(xiàng)是_______.

先對(duì)題目進(jìn)行閱讀和理解，先確定該數(shù)列為等差數(shù)列，再根據(jù)題目所給信息得到S奇=24，S偶=30，設(shè)這個(gè)數(shù)列一共2n項(xiàng)，那么a2n-a1=10.5，將所有條件列出后，再進(jìn)行解答，假設(shè)公差為d，項(xiàng)數(shù)為2n，則S偶-S奇=30-24=6=nd，首尾項(xiàng)之差為10.5=2n-1d，聯(lián)立兩個(gè)方程，可得到項(xiàng)數(shù)為8.通過對(duì)題目條件的總結(jié)，能夠更為清晰的確定使用哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)，確定解題思路，有利于提升解題效率.

除此之外，部分職教高考數(shù)學(xué)試題中，題目中并沒有直接明確數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，因此，學(xué)生應(yīng)當(dāng)合理運(yùn)用自身所學(xué)的知識(shí)，正確判斷題目信息，并清明確該種的數(shù)列的性質(zhì)，然后總結(jié)題目條件，這不僅有利于形成正確的解題思路，而且還會(huì)有效降低錯(cuò)題概率［7］.

4 圍繞題目?jī)?nèi)容精簡(jiǎn)解題步驟

解答數(shù)列知識(shí)背景的綜合應(yīng)用試題時(shí)，往往伴隨著較為復(fù)雜的解題步驟，很多時(shí)候會(huì)導(dǎo)致卷面不夠整潔，再檢查時(shí)也會(huì)出現(xiàn)一定困難，影響卷面美觀.所以為保證職教高考卷面整潔，答案清晰，應(yīng)當(dāng)注重圍繞題目?jī)?nèi)容，對(duì)解題步驟盡可能精簡(jiǎn)，省略不必要的步驟，呈現(xiàn)關(guān)鍵步驟和正確答案，這有利于梳理解題步驟，便于開展檢查［8］.如果學(xué)生沒有緊扣題目，盲目按照題目順序進(jìn)行運(yùn)算，則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤幾率增加.

例4 設(shè)數(shù)列an，滿足a1，a2，a3為等比數(shù)列且a1+a2+a3=19，a2，a3，a4為等差數(shù)列，a2+a3+a4=12，求此4個(gè)數(shù).

針對(duì)這一題目，學(xué)生可按照已知條件，列出a2a1=a3a2，且a1+a2+a3=19，a3-a2=a4-a3，a2+a3+a4=12從中可得到a3=4，然后代入到兩個(gè)式子中，可得a2=6，再進(jìn)行計(jì)算，得到a1=9，a4=2.從該解題步驟中，呈現(xiàn)了邏輯清晰合理的運(yùn)算步驟.如單純按照題目順序開展運(yùn)算，則無法獲得a2值，影響后續(xù)運(yùn)算結(jié)算.所以在解題過程中，通過精簡(jiǎn)答題步驟、省略不必要的運(yùn)算過程和思考，能夠快速獲得答案，有利于開展檢查，確保答題正確率［9］.同時(shí)在一個(gè)題目下，運(yùn)用前面獲得的答案，解答后續(xù)問題，即可省略一部分運(yùn)算過程，保證解題步驟簡(jiǎn)略、清晰.特別是針對(duì)選擇題、填空題等題型，通過精簡(jiǎn)運(yùn)算過程能夠快速獲取答案，以此節(jié)省答題時(shí)間.對(duì)于應(yīng)用題型，則是盡可能呈現(xiàn)重要步驟，避免解題過程繁冗，保證解題過程順暢、邏輯明確，便于閱卷教師能夠直接看到正確答案［10］.

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［責(zé)任編輯：李 璟］