優(yōu)化數(shù)學(xué)知識體系 提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

摘 要：中考總復(fù)習是初中數(shù)學(xué)學(xué)習的重要環(huán)節(jié)，其目的是讓學(xué)生在復(fù)習過程中，對整個初中所學(xué)數(shù)學(xué)知識進行整合，優(yōu)化數(shù)學(xué)知識體系.文章以二輪復(fù)習專題課“圓中銳角三角函數(shù)問題”為例，闡述如何在教學(xué)實踐中全面提高學(xué)生的核心素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)眼光，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維，強化用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界的能力.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；總復(fù)習；知識體系；核心素養(yǎng)

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）20-0041-03

收稿日期：2023-04-15

作者簡介：夏鳴（1981.10-），男，江蘇省常熟人，本科，中學(xué)一級教師，從事

初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

中考總復(fù)習是初中數(shù)學(xué)學(xué)習的重要環(huán)節(jié)，與新授課的學(xué)習有很大的區(qū)別.在中考復(fù)習階段，學(xué)生已基本掌握了基礎(chǔ)知識和基本技能，初步具備了一定的數(shù)學(xué)知識體系和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，總復(fù)習是學(xué)生對初中數(shù)學(xué)知識的再一次深入學(xué)習.復(fù)習的目的是讓學(xué)生在復(fù)習過程中，對所學(xué)知識進行整合，優(yōu)化數(shù)學(xué)知識體系，并且在復(fù)習過程中，發(fā)展學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實世界的能力，力求提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文以二輪復(fù)習專題課“圓中銳角三角函數(shù)問題”為例，談?wù)勗诮虒W(xué)過程中如何優(yōu)化數(shù)學(xué)知識體系，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

中考數(shù)學(xué)總復(fù)習中，一輪復(fù)習通常按教材順序?qū)Τ踔须A段的主要知識點進行縱向梳理，重點在于整合教材，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的初中數(shù)學(xué)知識體系.二輪復(fù)習通常以專題復(fù)習為主，立足課本知識，結(jié)合中考試題，注重知識結(jié)合，所以二輪復(fù)習的重點應(yīng)發(fā)展學(xué)生思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，從而達到優(yōu)化數(shù)學(xué)知識體系，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.“圓中銳角三角函數(shù)問題”是兩種知識相結(jié)合的一節(jié)專題課，以圓為載體，研究銳角三角形函數(shù)問題，本節(jié)課從三個基礎(chǔ)題引入.

1 知識激活，梳理數(shù)學(xué)知識體系問題1 如圖1，⊙O的直徑AB為10，AC為弦，且AC=8，則sin∠BAC=_______；

圖1 問題1圖圖2 問題2圖?? 圖3 問題3圖

問題2 圖2是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，點A，B，C都在格點上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點C、D，則tan∠ADC=_______；

問題3 如圖3，AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切，切點為B，BC=6，若cosA=45，則直徑AB=_______，連接BD，則BD=_______.

以三道圓中的銳角三角函數(shù)問題為例，引出本節(jié)課所研究的復(fù)習內(nèi)容，同時給出了三個基本圖形，第1題構(gòu)造直徑所對的圓周角是直角，即構(gòu)造了直角三角形；第2題不僅需要構(gòu)造直角三角形，同時還需將所求角轉(zhuǎn)換成直角三角形中與之相等的圓周角;第3題本身就是在一個直角三角形中，只是已知銳角三角函數(shù)值，求線段長度，除了已知元素和求解元素不同，其基本思想相同，同時可稍作延伸，求線段BD長度的方法不唯一.

由此可以發(fā)現(xiàn)，在本節(jié)課中學(xué)習，學(xué)生需激活并梳理圓與銳角三角函數(shù)兩個知識體系，但其實質(zhì)是在圓中找到直角三角形這一基本圖形.圓作為一種比較特殊的圖形，在圓中比較易于構(gòu)造直角三角形和轉(zhuǎn)換相等的角.在初中階段，要運用銳角三角函數(shù)解決問題，必須將銳角置于直角三角形中.基于此，本節(jié)課的基本思想是構(gòu)造和轉(zhuǎn)換，基本圖形是直角三角形.

2 知識運用，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)眼光

例1 已知，如圖4，⊙O是△ABC的外接圓，BC=6，tan∠BAC=34，求⊙O的直徑.

圖4 例1題圖

例1作為知識運用，是知識激活的延伸，是對基本思想和基本圖形的鞏固，進一步強調(diào)基本思想是構(gòu)造和轉(zhuǎn)換，即既要構(gòu)造直角三角形，又要將已知銳角∠BAC轉(zhuǎn)換到所構(gòu)造的直角三角形中，基本圖形即為構(gòu)造的直角三角形.

例1的目的是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，即培養(yǎng)學(xué)生抽象能力、幾何直觀、空間觀念和創(chuàng)新意識，從而使學(xué)生能在復(fù)雜圖形中構(gòu)造出基本圖形，進而運用所學(xué)知識解決問題.初步構(gòu)建解決問題的基本數(shù)學(xué)知識體系，整合已有知識體系，如圖5所示.

圖5 圖中銳角三角函數(shù)知識體系

3 思維拓展，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維

例2 如圖6，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，D為AB延長線上一點，過點D作⊙O的切線，切點為E，DE∥BC，連接BE，CE，AE.

（1）求證：△ACE∽△EBD；

（2）若AC=9，BD=4，求BE的長度；

（3）在（2）的條件下，若sin∠BAE=35，求⊙O的半徑.

圖6 例2題圖

例2是例1的提升，與例1相比，其綜合性更強，需要用到更多的知識，同時也不能從題設(shè)條件直接找到解決問題的方法，只能從已知題設(shè)入手，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，即培養(yǎng)學(xué)生運算能力、推理意識和推理能力，通過題設(shè)條件進行有效推理，從單個條件這一“條件點”，推理得出結(jié)論形成“結(jié)論線”.

圓DE是⊙O的切線連接OE則OE⊥DE

四邊形ABEC內(nèi)接于⊙O∠DBE=∠ACE

兩直線平行同位角相等內(nèi)錯角相等

直角三角形等積法勾股定理銳角三角函數(shù)

圖7 結(jié)論線圖

如圖7所示，例2共有4個條件：①DE是⊙O的切線；②DE∥BC；由于圓的特殊性，還有2個隱藏條件：③四邊形ABEC內(nèi)接于⊙O；④同弧或等弧所對的圓周角相等.由條件可知，解決本題主要用到三個知識：圓、平行線、直角三角形.第（1）問證三角形相似，涉及相似三角形知識，需找角相等或邊成比例，上述結(jié)論中角相等較多而沒有對應(yīng)邊成比例，因此必然找兩角對應(yīng)相等，得到兩三角形相似；第（2）問是第一問的延伸，由相似三角形得到比例關(guān)系即可，因此關(guān)鍵即找到BE與CE關(guān)系，從上面結(jié)論來看，必然由切線這一條件入手；第（3）問是例1的延伸，易于解答.

由于單個條件是孤立的，通過推理得到“結(jié)論線”，再將多個結(jié)論有效串聯(lián)起來，這種串聯(lián)不是簡單地堆砌，需要圍繞同一目標，形成解決問題的基本知識體系.學(xué)生在解決問題過程中，形成“點→線→面”的數(shù)學(xué)思維模式，構(gòu)建“知識面”，初步形成解決問題的數(shù)學(xué)知識體系，并在解決問題的過程中進一步整合數(shù)學(xué)知識體系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，提高解題能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4 綜合應(yīng)用，強化數(shù)學(xué)語言表達能力例3 如圖

8，AB為⊙O的直徑，D是弧BC的中點，BC與AD、OD分別交于點E，F(xiàn).

圖8 例3題圖

（1）求證：DO∥AC；

（2）求證：DE·DA=DC2；

（3）若tan∠CAD=12，求sin∠CDA的值.

本題是2019年蘇州中考第26題，主要涉及圓、平行線、相似三角形、銳角三角函數(shù)、勾股定理、二次根式等知識，涵蓋了初中三年所學(xué)

數(shù)學(xué)知識，其綜合性較強，限于篇幅，求解過程從略.

本題是一道以圓為基本圖形的綜合題，題目給出的題設(shè)條件也很少，只有2個，即①AB為⊙O的直徑，②AB為⊙O的直徑.學(xué)生只能從這兩個條件即兩個“點”出發(fā)，進行推理分析形成“線”，得到更多信息，前兩問難度較低，基本上由“點”到“線”即可解決問題.第（3）問已知圓中銳角三角函數(shù)值，求圓中另一個角的三角函數(shù)值，方法也較多，但實質(zhì)還是要將銳角放到直角三角形中才能解決.因此，只要緊抓本節(jié)課的主題：解決圓中銳角三角函數(shù)問題的基本思想是①構(gòu)造直角三角形，②將所求角轉(zhuǎn)換成與之相等的其他角，甚至是這兩種思想相結(jié)合.同時，在解決問題的過程中可以發(fā)現(xiàn)，直角三角形中線段長度都是未知的，不方便求解，所以需要設(shè)線段長度才能解決問題.由此可以發(fā)現(xiàn)，將“線”串聯(lián)成“面”的過程中，也需要一些基本圖形、基本思想方法甚至基本運算方法等“粘合劑”，從而更好地優(yōu)化數(shù)學(xué)知識體系，提升解題能力.

在教學(xué)過程中，教師不僅可引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納基本數(shù)學(xué)圖形、基本數(shù)學(xué)方法等，也可以將思維圖形化，利用數(shù)字和圖形的直觀性，

將數(shù)學(xué)知識直觀地展現(xiàn)在學(xué)生眼前，這樣更有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習、理解和記憶.數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)學(xué)科，是由許多單獨的知識點系統(tǒng)化整合得到的數(shù)學(xué)知識體系.在教學(xué)過程中，教師應(yīng)幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)知識體系.

數(shù)學(xué)知識體系不僅包括數(shù)學(xué)知識，還應(yīng)將基本數(shù)學(xué)思想體系、常用數(shù)學(xué)方法體系、數(shù)學(xué)基本圖形體系等納入整個數(shù)學(xué)知識體系，從而優(yōu)化數(shù)學(xué)知識體系.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)學(xué)習過程中逐漸形成和發(fā)展的，不同學(xué)段發(fā)展水平不同.教師應(yīng)在每一節(jié)數(shù)學(xué)課的教學(xué)中，逐步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界，從而達到提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標.數(shù)學(xué)知識體系的構(gòu)建和學(xué)生核心素養(yǎng)的形成都需要經(jīng)過漫長的過程，學(xué)生具備了一定的數(shù)學(xué)知識體系和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以后，還需進一步進行學(xué)科內(nèi)部的融合，甚至是跨學(xué)科的融合，因此學(xué)生還需不斷地學(xué)習，進一步優(yōu)化知識體系，提升核心素養(yǎng).

參考文獻：［1］ 孔傳輝.研磨知識體系，提升復(fù)習思維［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2019（9）：19-22.

［2］ 朱炎林.聚焦數(shù)學(xué)解題方法，創(chuàng)新專題復(fù)習課型［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2020（9）：35-36.

［3］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：5-6.

［責任編輯：李 璟］