撓率對自旋粒子的作用

惠 鵬 ,薛 迅

（1.新疆大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,烏魯木齊 830046;2.新疆大學(xué) 理論物理中心,烏魯木齊 830046;3.華東師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院,上海 200241;4.華東師范大學(xué)重慶研究院,重慶 401120）

0 引言

有撓的引力理論自廣義相對論誕生后就從沒停止過探索.在引力的Platini 形式中,宏觀物質(zhì)源產(chǎn)生的引力場是無撓的.用廣義相對論描述,撓率僅可能存在于旋量物質(zhì)源處,撓率沒有動力學(xué),不能傳播,離開旋量物質(zhì)源,撓率為0.很多修改的引力理論模型將聯(lián)絡(luò)也作為動力學(xué)自由度來考慮,賦予其聯(lián)絡(luò)動力學(xué).這種動力學(xué)一般認(rèn)為來自高能引力理論,如有研究將聯(lián)絡(luò)場類比量子色動力學(xué)的膠子場[1-3],在低能時會囚禁或者凝聚到Levi-Civita 聯(lián)絡(luò)上;高能時的聯(lián)絡(luò)場具有動力學(xué)激發(fā),偏離Levi-Civita 聯(lián)絡(luò),具有非平庸的contortion(扭率) 和撓率分布.量子引力理論一般都明顯假設(shè)或者隱含了一個不變的普朗克(Planck)能標(biāo)(EP),在接近該能標(biāo)時理論具有尺度不變性,由此導(dǎo)致洛倫茲(Lorentz)破缺[4-6].量子引力的Lorentz 破缺效應(yīng)經(jīng)過暴漲會被凍結(jié)在超視界的大尺度上,導(dǎo)致在宇宙學(xué)尺度存在凍結(jié)的大尺度Lorentz 破缺效應(yīng).相應(yīng)的大尺度Lorentz 破缺宇宙學(xué)模型預(yù)言了宇宙學(xué)尺度上非平庸的撓率和扭率分布作為暗能量的候選者[7-15].測量撓率對尺度的依賴關(guān)系可以確定在多大尺度上時空對稱性開始偏離Lorentz 對稱性,同時也可以為一些量子引力理論提供證據(jù).

自旋自由度作為一種粒子的Lorentz 變換量子性質(zhì)在廣義相對論誕生之初并沒有被發(fā)現(xiàn)和考慮過,但是采用局域坐標(biāo)的標(biāo)架場語言描述可以很自然地將自旋納入廣義相對論框架中,在局域標(biāo)架的Lorentz 不變規(guī)范理論框架中,可以一般地給出撓率與物質(zhì)場的作用形式.以Dirac 費米子為例,在平直時空中,Dirac 費米子滿足Dirac 方程;在彎曲時空中,通過引進(jìn)Lorentz 規(guī)范場,也就是Lorentz 聯(lián)絡(luò)來保持局域Lorentz 變換不變性,將平直時空Dirac 作用量中的普通導(dǎo)數(shù)替換為Fock-Ivanenko 協(xié)變導(dǎo)數(shù),即得到彎曲時空中局域Lorentz 不變的Dirac 作用量,相應(yīng)地可得到彎曲時空中最小耦合的Dirac 方程.撓率張量本身在Lorentz 變換下可以分為3 個不可約部分: 矢量、軸矢量和純張量.在最小耦合的Dirac 方程中,可以證明撓率的矢量部分和純張量部分的貢獻(xiàn)為0,只有軸矢量部分起作用.考慮到與撓率耦合的物質(zhì)場的重整化效應(yīng),重整化抵消項會產(chǎn)生有效的撓率非最小耦合項,即使撓率與旋量物質(zhì)場的裸耦合只有軸矢量與旋量場耦合,重整化抵消項也會誘導(dǎo)撓率與旋量場的非最小耦合.非最小耦合項是普適的,在非最小耦合情形,矢量撓率和軸矢量撓率都會與旋量場耦合[16-17].

撓率與旋量場的耦合導(dǎo)致?lián)下蕦ψ孕淖饔?在經(jīng)典極限下,這種作用體現(xiàn)為撓率–自旋作用力.從帶撓率耦合的Dirac 方程得到撓率對自旋粒子的作用力,以及自旋在撓率作用下的演化問題,早在20 多年前Shapiro[16]就研究過,即可以通過對Dirac 方程的海森堡(Heisenberg)形式取經(jīng)典極限來得到經(jīng)典正則運動方程.這種得到經(jīng)典自旋–撓率作用力的方法的缺點是,自旋算符沒有經(jīng)典對應(yīng),取經(jīng)典極限時,自旋算符的意義不明確.有研究通過將帶撓率耦合的量子力學(xué)問題拓展為超對稱量子力學(xué)問題,再得到旋量粒子的經(jīng)典運動方程.該方案的缺點是在模型的超對稱擴展中,需要引入超對稱坐標(biāo),但其在自旋粒子的經(jīng)典運動方程問題中沒有明確的物理意義.近年來,Trukhanova 等[18-20]利用幾何–流體動力學(xué)框架研究了具有閔氏度規(guī)黎曼(Riemann)平直的黎曼-嘉當(dāng)(Riemann-Cartan)時空中撓率對自旋和自旋粒子的作用,將撓率對自旋的作用處理為撓率對自旋算符的自旋波函數(shù)平均值,這樣一個經(jīng)典極限下有明確物理意義的三維矢量的作用,并將這種處理應(yīng)用到了自旋粒子構(gòu)成的多粒子體系[21].在宇宙學(xué)Robertson-Walker 度規(guī)背景下,時空不是Riemann 平直的,對于基于有撓引力模型的宇宙學(xué)模型,有給定撓率的時空背景,現(xiàn)有的幾何–流體動力學(xué)方案對撓率的處理并不適用于非Riemann 平直[18-19].本文工作致力于將幾何–流體動力學(xué)方案對撓率–自旋作用,從Riemann 平直閔氏度規(guī)背景推廣到研究宇宙學(xué)的非Riemann 平直給定撓率的時空背景中撓率對自旋1/2 粒子的作用;從非最小耦合Dirac 作用量出發(fā)得出描述自旋狀態(tài)變化的旋量方程;經(jīng)過非相對論近似得出類Pauli 方程;用幾何–流體動力學(xué)方法將自旋平均值對應(yīng)到經(jīng)典矢量,進(jìn)而得出非相對論近似下的流守恒方程、動力學(xué)方程和自旋演化方程的一般形式,并將動力學(xué)方程視為自旋粒子的單粒子自旋平均后的半經(jīng)典運動方程;最終考慮滿足宇宙學(xué)撓率的情況,給出粒子速度和自旋平均值等物理量的具體解的形式.

1 彎曲時空的Dirac 方程

1.1 基本符號說明

本文采用希臘字母μ,ν,ρ,···表示時空指標(biāo),每個時空指標(biāo)取 0,1,2,3 分別表示四維時空的四個維度;上下標(biāo)用度規(guī)gμν,gμν升降;用拉丁字母i,j,k表示時空的三維空間指標(biāo),取 1,2,3 分別表示空間的三個維度;用拉丁字母a,b,c,d,e表示切空間指標(biāo),取 0,1,2,3 表示切空間時空的四維指標(biāo);閔氏時空度規(guī)ηab,ηab對角元取(-1,1,1,1) 升降;用拉丁字母l,m,n,o,p表示切空間的三維空間指標(biāo) 1,2,3 ;時空指標(biāo)和切空間指標(biāo)用四標(biāo)架聯(lián)系,其與度規(guī)滿足關(guān)系式

Dirac 矩陣采取的形式為

式(2)中:I是二階單位矩陣;σi是泡利(Pauli)矩陣,為

克羅內(nèi)克(Kronecker) δ 符號 為

Levi-Civita 符號采用定義

其中xμ是四維時空坐標(biāo).

本文采取自然單位制,普朗克常量(?) 和光速(c) 都取1,即 ?=1 ,c=1 .

1.2 非最小耦合Dirac 作用量

彎曲時空中非最小耦合撓率的作用量參考[16]

η1,η2分別是矢量撓率和軸矢撓率的耦合系數(shù),區(qū)別于[19]用最小耦合作用量來考慮自旋撓率作用,非最小耦合同時考慮撓率的矢量和軸矢部分,但純張量撓率對Dirac 作用量沒有動力學(xué)項,最小耦合對應(yīng)的耦合系數(shù)為η1=0 和η2=1 .

1.3 Dirac 方程

由非最小耦合作用量式(7)出發(fā)得到Dirac 方程

選取滿足宇宙學(xué)原理的Robertson-Walker 度規(guī)(R-W 度規(guī))

其中a(t) 是宇宙演化的尺度因子.本文詳細(xì)討論的是空間平直k=0 的情況.

把Levi-Civita 聯(lián)絡(luò)在代數(shù)上也做類似式(8)和式(9)的分解,可以將Dirac 方程化為

為了討論方便,下面不做說明使用新的定義符號,具體為

彎曲時空的Dirac 方程有四維流守恒方程

在有撓情況下,只要把自旋聯(lián)絡(luò)換成相應(yīng)的有撓聯(lián)絡(luò),就可以得到式(11)的流守恒方程

2 描述自旋1/2 粒子的半經(jīng)典方程

2.1 Pauli 方程

Dirac 方程經(jīng)過非相對論近似后可以得到Pauli 方程,以便進(jìn)一步求出粒子的經(jīng)典物理量的演化.先將四分量旋量波函數(shù)分為上下兩個部分

將此結(jié)果帶入式(13)可以得到2 個方程,具體是

對式(20)中第二式進(jìn)行非相對論近似,保留零階可得下分量χ,具體為

質(zhì)量較大時,下分量遠(yuǎn)小于上分量.將此下分量帶回式(20)中第一式,可得上分量φ的類Pauli 方程

Shapiro[16]直接從Pauli 方程出發(fā)得到算符演化Heisenberg 方程,并做經(jīng)典極限 ?→0 得到經(jīng)典運動方程.但自旋無經(jīng)典對應(yīng)量,所以要先解決自旋經(jīng)典對應(yīng)問題.Trukhanova[19]用幾何–流體動力學(xué)方法對自旋先求平均,對應(yīng)到一個經(jīng)典三維矢量,這樣就避開了這個難題.結(jié)合經(jīng)典極限對應(yīng)以及幾何–流體動力學(xué)方法,本文從式(22)得到的非最小耦合撓率的Pauli 方程出發(fā),先通過幾何–流體動力學(xué)方法將自旋求平均,對應(yīng)到一個經(jīng)典矢量,然后求出經(jīng)典運動方程.

2.2 自旋經(jīng)典對應(yīng)

先將二分量波函數(shù)進(jìn)行分解,得到

式(24)中:A和B是四維時空坐標(biāo)的實函數(shù);φ是單位自旋波函數(shù),可用兩個實函數(shù)β和χ來表示,具體為

此旋量作為自旋態(tài)的一個基;再定義φr為

即可到一組描述自旋狀態(tài)的正交歸一的基,具體為

對Pauli 矩陣求自旋平均可得

這是三維空間的單位矢量,其物理意義是自旋角動量平均值在空間的方向.可以定義自旋本征態(tài)對應(yīng)的自旋方向算符為.不難得出,此算符對應(yīng)的本征態(tài)就是式(25)和式(26)中定義的2 個自旋態(tài)基底,其本征值分別為1 和-1,本征方程為

利用自旋態(tài)2 個基底,可以構(gòu)造2 個態(tài)

利用它們對Pauli 矩陣平均,可以得到另外2 個單位矢量.若取自旋方向為z方向,則它們分別指向“x”方向和“y”方向(與自旋方向垂直且互相垂直的方向),即

它們與自旋方向構(gòu)成正交歸一的一組矢量,即

后面就以自旋方向nm為粒子自旋性質(zhì)的經(jīng)典對應(yīng)來研究粒子自旋與撓率的作用,對其他物理量的影響也可以利用這種經(jīng)典描述合理地給出經(jīng)典結(jié)果.

2.3 流守恒方程與速度

通過Pauli 方程可以得到描述粒子經(jīng)典物理量演化的方程.首先利用式(24)的分解方法代入式(22),然后求自旋平均,即左乘φ?,得到復(fù)方程

定義aμ是坐標(biāo)表象下動量算符pi=i?i與能量算符 i?t對自旋求平均的部分,即

從式(18)直接做非相對論近似,式(21)得到的密度和三維流形式為

所以,由協(xié)變的流守恒方程直接非相對論近似得到的流與先做非相對論近似得到Pauli 方程求得的流一致.

通過流可以定義速度為

利用式(40)可得到三維流守恒方程

2.4 動力學(xué)方程

利用式(33)定義的速度,將式(33)的實部方程化簡可得

式(47) -(49) 中:Υ項與自旋在空間中演化相關(guān);M項為量子勢[23].為得到動力學(xué)方程,將式(47)中的B消去,以速度為基本變量可以得到描述粒子速度演化的動力學(xué)方程

式(53)這兩項類似于Lorentz 力的作用,是撓率自旋耦合的作用.

通過對式(22)左乘φr?,可得到自旋演化方程

其中,Ωq類似于磁場作用,即

廣義相對論的測地線方程為[24]

在無自轉(zhuǎn)自由降落系中,可以得到測地線方程三維形式

對比式(50)可以發(fā)現(xiàn),在撓率和自旋的作用下,粒子的運動是會偏離測地線的;除此之外,在無撓情況下,還會有量子勢的作用.此項可以看作量子漲落造成的影響,在大尺度下可以找到此項為0 的解[23].無撓情況下,若取ρ為常數(shù)作為經(jīng)典極限,剩下的項化簡可以寫為

在無撓情況下,在無自轉(zhuǎn)自由降落系對式(54)求解,可以得到自旋方向不變的解.式(50)中類洛倫茲力和Υ項在自旋不變時無作用,此條件下動力學(xué)方程與測地線方程一致.

通過式(46)、式(50)和式(54)組成的偏微分方程組以密度、速度和自旋方向作為變量,在給定撓率的條件下可以進(jìn)行求解,得到這些物理量具體演化方式.

3 宇宙學(xué)背景下?lián)下蕦ψ孕?/2 粒子的作用

3.1 宇宙學(xué)撓率

滿足宇宙學(xué)原理的撓率早有學(xué)者給出[25].結(jié)合本文使用的符號,撓率可以寫為

此情況下只有時間分量有貢獻(xiàn),且它們都是時間的函數(shù).

通過重新定義,可取撓率的2 個耦合系數(shù)都為1.將這些條件都代入式(46)、式(50)和式(54),取z軸為粒子傳播方向,可以得到方程組

此結(jié)果使得式(62)和式(63)沒有量子勢貢獻(xiàn),只需求解這2 個準(zhǔn)經(jīng)典方程就可以得到粒子運動經(jīng)典極限下的行為.

3.2 粒子傳播路徑與自旋演化

將式(62)和式(64)聯(lián)立,取z軸為粒子發(fā)射源和接收點所在的軸線,先考慮不含尺度因子a和軸矢撓率A0的情況,可以得到解

式(65)—(66)中:v0是常數(shù),軸矢撓率為0 時,粒子沿z軸運動,v0即為粒子沿z軸的運動速度;β是由初始自旋方向與z軸的夾角確定的常數(shù).

粒子位移對時間一階導(dǎo)數(shù)即為速度,即

通過對這些物理量取值,可以畫出路徑圖以及自旋方向的變化圖,詳見圖1.為展示路徑與自旋細(xì)節(jié),這里取質(zhì)量(m)=1 kg ,速度(v0)=1 km/s,β=π/6 ,a=0.3 ,ξ=0.1 .由圖1 可以看出,粒子在撓率作用下是沿螺旋線傳播,自旋方向沿傳播方向螺旋進(jìn)動.

圖1 粒子路徑和自旋方向變化Fig.1 Particle motion path and change of spin direction

從含有軸矢撓率修正的Friedmann 方程

這里,a˙≡da/dt,¨a≡d2a/dt2.主要考慮暗能量

的影響.式(81)中,Ωλ=0.688 9 ,H0=2.2×10-18s-1.取粒子質(zhì)量m=0.1 eV ,速度v0=0.1c,β=π/6,a=0.3 .

可以估測出ξ量級為 1 0-31,螺旋半徑量級 1 0-5m ,螺旋周期量級為 1 029s(比宇宙年齡高十幾個量級),所以此情況下?lián)下蕩缀鯖]有影響.

從不含時的解出發(fā),可以得到含時情況一階近似解,為

式(82)—(85)中,v0和β是常數(shù).式(83)后兩項在β=π/2 的解中為0.與不含時情況相比,主要變化是螺旋進(jìn)動的角速度和粒子傳播速度會受自旋撓率耦合作用影響而隨時間變化.從式(83)最后一項可以看出,撓率演化可以確定此項符號,粒子傳播速度隨撓率演化可能增加或降低.

式(83)對時間積分,并以式(70)做泰勒(Taylor)展開保留一階項,可得粒子在傳播過程中z軸的坐標(biāo)變化,具體為

這種情況較為復(fù)雜,不能把粒子路徑寫成簡單螺旋線的形式,在撓率隨時間變化很小時,可以與不含時變化較為接近,路徑總體接近螺旋線,自旋也做類似的進(jìn)動變化.

4 結(jié)論

本文在前人研究撓率的基礎(chǔ)上,選取合理的方法研究了撓率對自旋1/2 粒子的作用.首先,采取非最小耦合撓率,從而兼顧可能產(chǎn)生的重整化問題,合理地引入撓率.然后,由描述自旋狀態(tài)的四旋量方程,通過非相對論近似得到二旋量的類泡利方程.由于目前無撓的廣義相對論還是與觀測吻合得很好,所以撓率作用較小,對于它采取非相對論近似而忽略高階項的影響也是合理的.在得到經(jīng)典方程之前,可以通過幾何–流體動力學(xué)的方法對無經(jīng)典對應(yīng)的自旋進(jìn)行處理,以自旋平均后的自旋方向(式(28))為描述自旋變化的經(jīng)典量.最后,得到在宇宙學(xué)時空任意撓率背景下,以粒子密度、速度、自旋方向為變量的一組動力學(xué)演化方程(式(46),式(50),式(54)).

與廣義相對論自由降落無自轉(zhuǎn)系測地線方程對比,撓率會有類似Lorentz 力的作用,使粒子的運動偏離測地線,在常數(shù)撓率作用下,粒子可能會沿測地線螺旋進(jìn)動.而對自旋演化,廣義相對論沒有相應(yīng)的描述,從結(jié)果上看,自旋方向受撓率的影響發(fā)生變化,且自旋的變化也會影響到粒子動力學(xué).在撓率為0 時,自旋粒子沿測地線運動.

由于撓率對自旋粒子的作用可能在大尺度下才能觀測到與廣義相對論的明顯差別,并且一些量子引力理論最終也會導(dǎo)致大尺度下有撓率.基于這兩點,針對宇宙學(xué)時空背景下進(jìn)行具體求解.得到宇宙學(xué)矢量撓率只影響粒子密度,可以視為粒子的有效質(zhì)量受其影響發(fā)生了變化.粒子運動軌跡為螺旋線,其自旋方向沿傳播方向進(jìn)動.粒子的傳播速度會隨著撓率的演化而增加或減小.