受激拉曼散射系統(tǒng)的時(shí)間模式特性研究

盧 晨,于志飛,焦高鋒,陳麗清,袁春華

（華東師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院,上海 200241）

0 引言

時(shí)間模式(temporal modes)是一組正交的波包模式[1],可用來(lái)表征時(shí)域多模量子光場(chǎng).時(shí)間模式作為光的一個(gè)自由度,也可作為基矢構(gòu)建一個(gè)無(wú)窮維的希爾伯特空間,使之為量子系統(tǒng)的描述提供一個(gè)可選擇的理論框架[2].此外,時(shí)間模式已被用于描述各種非線性光學(xué)過(guò)程,如受激拉曼散射[3]、自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換[4]和超熒光[5]等;而且實(shí)驗(yàn)上可以實(shí)現(xiàn)對(duì)時(shí)間模式的操縱、轉(zhuǎn)換、多分復(fù)用和探測(cè)[2].因此,時(shí)間模式在量子存儲(chǔ)[6-7]、量子信息處理[1]和量子成像等方面具有重要的研究意義及深遠(yuǎn)的應(yīng)用潛力.

1989 年,Raymer 等[8]在理論上研究了受激拉曼散射(stimulated Raman scattering,SRS)系統(tǒng)中斯托克斯(Stokes)光場(chǎng)的時(shí)間模式結(jié)構(gòu),并解釋了SRS 線性區(qū)域光脈沖強(qiáng)度的時(shí)域量子漲落特性.近幾年,針對(duì)時(shí)間模式的研究主要是圍繞非線性光學(xué)頻率轉(zhuǎn)化[9]、模式探測(cè)[10-11]、量子信息編碼[12-13]及優(yōu)化系統(tǒng)噪聲應(yīng)用[14]等方面展開.Silberhorn 和Brecht 研究小組在波導(dǎo)中利用非線性參量下轉(zhuǎn)換和量子脈沖門[15-16]技術(shù),產(chǎn)生各種光量子態(tài),控制光子對(duì)的時(shí)間模式結(jié)構(gòu),精確測(cè)量了復(fù)雜的時(shí)間波形,并實(shí)現(xiàn)了高保真度的時(shí)間模式量子層析和純化[17-19],且在一定的時(shí)/頻模式疊加范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)了遠(yuǎn)程狀態(tài)投影[20];Li Xiaoying 課題組在光纖脈沖泵浦系統(tǒng)中,對(duì)光子對(duì)的聯(lián)合頻譜函數(shù)做奇異值分解得到了獨(dú)立時(shí)間模式的形式[21],同時(shí)分析了連續(xù)變量的時(shí)間復(fù)用多維量子糾纏特性[22],并在理論上利用交叉迭代反饋方法分析了光纖非線性系統(tǒng)的時(shí)間模式,且首次在實(shí)驗(yàn)上利用此方案直接測(cè)量得到了時(shí)間模式[23-24];Michael G.Raymer 課題組在理論和實(shí)驗(yàn)上研究了非線性光學(xué)波導(dǎo)中量子頻率轉(zhuǎn)換對(duì)時(shí)間模式的選擇性[13],以及時(shí)域波形的時(shí)序翻轉(zhuǎn)[25];Feng 等[14]在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了利用時(shí)間波形優(yōu)化過(guò)的種子光,使SRS 過(guò)程中產(chǎn)生的信號(hào)光的強(qiáng)度噪聲減小,這一結(jié)果有助于提高基于光?原子系統(tǒng)的精密測(cè)量的精度.還有研究者指出,在量子存儲(chǔ)中,當(dāng)入射光場(chǎng)的時(shí)域波形與存儲(chǔ)介質(zhì)本身的特征屬性相匹配時(shí),量子存儲(chǔ)的性能達(dá)到最佳[7].另外,對(duì)于多時(shí)間模式量子存儲(chǔ)的相關(guān)研究也已取得重大的進(jìn)展,如Guo Guangcan 團(tuán)隊(duì)實(shí)現(xiàn)了確定性單光子 100 個(gè)時(shí)間模式的量子存儲(chǔ)[26].在其他研究領(lǐng)域,如Patera 等[27]將時(shí)域本征模式引入量子時(shí)域成像進(jìn)行分析,說(shuō)明了量子時(shí)域成像的多模特性.然而已有的研究關(guān)注的幾乎都是在系統(tǒng)中引入光場(chǎng)時(shí)間模式這一概念,并對(duì)所得的研究結(jié)果進(jìn)行分析和解釋,缺乏直接針對(duì)光場(chǎng)時(shí)間模式的特性進(jìn)行的研究.因此開展這方面的研究就非常有必要.

本文基于Stokes 種子光誘導(dǎo)的連續(xù)迭代SRS 模型,研究了SRS 系統(tǒng)中輸出光場(chǎng)的時(shí)域波形在迭代過(guò)程中的演化以及時(shí)間模式特性.首先,根據(jù)迭代受激系統(tǒng)模型的光場(chǎng)表達(dá)式,數(shù)值研究了時(shí)域波形在連續(xù)迭代SRS 系統(tǒng)中的演化特性,得到不同波形種子光注入通過(guò)迭代會(huì)得到相同的穩(wěn)定波形輸出,而輸出光場(chǎng)波形和時(shí)間帶寬均依賴于泵浦光場(chǎng),此結(jié)論和文獻(xiàn)[14]中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致;然后,根據(jù)光場(chǎng)的雙時(shí)量子一階關(guān)聯(lián)函數(shù),并利用數(shù)值模擬進(jìn)一步分析了穩(wěn)定輸出的Stokes 光場(chǎng)時(shí)間模式特性.

1 迭代受激拉曼散射模型

圖1 迭代受激拉曼散射模型和時(shí)間模式分解圖Fig.1 Schematic representation of iterative stimulated Raman scattering model and temporal mode decomposition

首先回顧 Λ 型三能級(jí)原子系綜的拉曼散射(Raman scattering,RS)理論[28].在偶極近似下一維原子演化的耦合運(yùn)動(dòng)方程可以寫為

其中κ1=dmedeg(1/Δ+1/(Δ+ωL+ωS)) 為光與原子耦合系數(shù).當(dāng)光場(chǎng)頻率與高激發(fā)態(tài)能級(jí)存在失諧Δ,則可絕熱消去高激發(fā)態(tài)|m〉,即初始原子均近似處于基態(tài)|g〉,則σgg(0)=1 .將原子慢變算符表示為

即為原子自旋波算符.那么式(2)將變?yōu)?/p>

接下來(lái)考慮Stokes 光場(chǎng)的傳播特性,其遵循Maxwell-Bloch 方程

其中c為光速.通過(guò)計(jì)算原子極化強(qiáng)度,將頻率在ωS附近的項(xiàng)保留,則得到一維慢變包絡(luò)近似下光場(chǎng)的脈沖傳播方程

結(jié)合式(4)和式(6),并利用時(shí)間變換τ=t-z/c,可得

利用Laplace 變換求解微分方程組式(7)和式(8),可以得到

計(jì)算得到,其中,A為原子池的橫截面積.計(jì)算時(shí),先對(duì)空間進(jìn)行積分,并利用算符的對(duì)易關(guān)系

其中ρ=AN表示原子密度,N為原子數(shù).通過(guò)積分可得到在原子系綜末端(z=l)的輸出光強(qiáng)

Stokes 光場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式(式(12))中,等號(hào)右側(cè)第一項(xiàng)和第四項(xiàng)均來(lái)源于注入的種子光場(chǎng),第二項(xiàng)和第三項(xiàng)則分別來(lái)源于原子自旋波以及真空噪聲.

2 Stokes 光場(chǎng)時(shí)域波形演化

每次迭代都經(jīng)歷受激拉曼過(guò)程,將前一次輸出的Stokes 光場(chǎng)作為下一次受激拉曼過(guò)程的輸入種子,受激放大后的Stokes 光場(chǎng)為

式(14)中:n表示迭代次數(shù);0 和l分別代表原子系統(tǒng)的輸入端和輸出端.

從Stokes 光場(chǎng)強(qiáng)度的表達(dá)式(式(12))出發(fā),通過(guò)數(shù)值計(jì)算時(shí)域波形的演化,分析輸出的Stokes光場(chǎng)在連續(xù)迭代SRS 系統(tǒng)中的時(shí)域特性.首先固定泵浦脈沖波形為單峰高斯,然后注入不同波形的多峰高斯種子光場(chǎng),分別進(jìn)行迭代.圖2 分別展示了5 種不同的高斯種子波形,即單峰、雙峰、3 峰、4 峰、5 峰結(jié)構(gòu)的種子波形注入SRS 系統(tǒng)進(jìn)行迭代后的時(shí)域演化結(jié)果(時(shí)域、光場(chǎng)強(qiáng)度隨時(shí)間(t)演化的結(jié)果),其中,所展示的時(shí)域波形為中間迭代過(guò)程所截取的部分,分別為第1 次,第3 次,第5 次,···,第21 次迭代后輸出的歸一化波形(圖中波形變化的情況均為無(wú)量綱化的結(jié)果,后續(xù)圖亦如此).可以看到,圖2(a)輸出的波形隨著迭代次數(shù)增加一直是單峰高斯波形;圖2(b)—(e)初始為多峰高斯種子光場(chǎng),隨著迭代次數(shù)的增加,輸出的Stokes 光場(chǎng)從初始的多峰波形逐漸變?yōu)閱畏甯咚共ㄐ?與圖2(a)一樣最終都演化為穩(wěn)定的單峰型高斯波形.需要注意的是,當(dāng)改變系統(tǒng)的參數(shù)時(shí),達(dá)到穩(wěn)定波形所需要的迭代次數(shù)也是變化的,如減小泵浦光強(qiáng)即減小系統(tǒng)增益系數(shù),收斂所需的迭代次數(shù)會(huì)增加.

圖2 注入5 種不同波形的高斯種子光場(chǎng),歸一化的時(shí)域強(qiáng)度波形迭代演化Fig.2 Gaussian seed light fields injected with five different waveforms,the iterative evolution of normalized temporal intensity waveforms

圖3 展示的是5 種不同的高斯種子波形注入得到的第21 次迭代的輸出結(jié)果: 圖3(a)為未歸一化波形對(duì)比,反映了迭代后具體的光場(chǎng)是有區(qū)別的,區(qū)別在于其迭代的峰值不同;圖3(b)為歸一化波形對(duì)比,很明顯它們迭代收斂后的單峰型高斯波形幾乎重疊,即無(wú)論輸入的種子波形如何,迭代之后的輸出均會(huì)收斂于同種波形.

圖3 注入5 種不同波形的高斯種子光場(chǎng)經(jīng)過(guò)迭代后最終輸出的穩(wěn)定波形對(duì)比Fig.3 Gaussian seed light fields with the final stable output waveform in contrast to the Gaussian seed light field injected with 5 different waveforms after iterations

進(jìn)一步考慮,改變種子光場(chǎng)的脈沖半高全寬,在固定泵浦脈沖波形為單峰高斯的基礎(chǔ)上,變化圖2(a)中種子光場(chǎng)的半高全寬,從原來(lái)的τ0變?yōu)?0.1τ0、0.2τ0、5τ0、1 0τ0,結(jié)果如圖4 所示.輸入5 種不同時(shí)間半高全寬的高斯種子光場(chǎng),歸一化收斂波形的半高全寬均相同,且波形重疊.

圖4 注入5 種時(shí)間半高全寬的高斯種子,迭代后最終輸出的歸一化穩(wěn)定波形Fig.4 Gaussian seed light fields with five different seed fields with full widths at half maximum,and the normalized intensity of the final output stable waveform after iterations

圖5 注入泵浦光場(chǎng)波形和3 種不同泵浦光場(chǎng)波形驅(qū)動(dòng)情形下,注入5 種不同的種子光迭代輸出的歸一化波形對(duì)比Fig.5 The input pump waveforms and in cases of three pump waveform,the normalized intensity contrast of the final output stable waveform after iterations

圖6 注入3 種不同時(shí)間半高全寬的泵浦光場(chǎng)，迭代后最終輸出的穩(wěn)定波形的光場(chǎng)強(qiáng)度波形歸一化對(duì)比Fig.6 The pump light fields for three different full widths injected at half maximum,the normalized light field intensity contrast of the final output stable waveform after iterations

本章所研究的迭代SRS 模型是針對(duì)具體物理系統(tǒng)—SRS 系統(tǒng),實(shí)現(xiàn)了對(duì)輸出Stokes 光場(chǎng)波形的非線性迭代求解.當(dāng)泵浦場(chǎng)和原子系統(tǒng)參數(shù)確定下來(lái),拉曼系統(tǒng)的最終解形式就是確定的,但是理論和實(shí)驗(yàn)上想直接找到這個(gè)解的精確形式很困難,可以通過(guò)種子光迭代的方式逐步逼近找到系統(tǒng)最終解.初始注入的種子光可看作迭代求解器的試探解,最終輸出的穩(wěn)定波形就是該系統(tǒng)通過(guò)迭代求解器得到的最終解.所以不同波形種子光注入通過(guò)迭代會(huì)得到相同的穩(wěn)定波形輸出,而輸出光場(chǎng)波形和時(shí)間帶寬均依賴于泵浦光場(chǎng),此結(jié)論驗(yàn)證了Feng 等[14]的實(shí)驗(yàn).

3 Stokes 光場(chǎng)時(shí)域波形的模式分解

第2 章數(shù)值模擬給出了迭代輸出Stokes 光場(chǎng)的時(shí)域波形的演化.為了進(jìn)一步解釋上述時(shí)域波形收斂的結(jié)果,本文采用光場(chǎng)時(shí)域施密特(Schmidt)模式分解的方法來(lái)闡述說(shuō)明.在參量下轉(zhuǎn)換的時(shí)間模式理論中,通過(guò)對(duì)雙子聯(lián)合頻譜函數(shù)進(jìn)行奇異值分解以獲得信號(hào)光和閑頻光的模式函數(shù)形式,而Stokes 光場(chǎng)的施密特模式分解過(guò)程與其過(guò)程具有物理等價(jià)性[29].因此,Stokes 光場(chǎng)時(shí)間模式函數(shù)的具體形式可以對(duì)其雙時(shí)量子一階關(guān)聯(lián)函數(shù)進(jìn)行施密特模式分解而確定.

利用Karhunen-Loeve 理論[8],將Stokes 光場(chǎng)算符用一組完備的正交基矢ψi(τ) 展開

做數(shù)值計(jì)算時(shí),選取有限的時(shí)間參數(shù)T使積分收斂.根據(jù)式(9)給出的Stokes 光場(chǎng)的解,計(jì)算得到雙時(shí)量子一階關(guān)聯(lián)函數(shù)為

采用施密特模式分解法,將式(16)離散化,此積分方程即轉(zhuǎn)化為求解量子一階關(guān)聯(lián)函數(shù)的本征值及其本征矢的問(wèn)題.

將迭代后輸出的光場(chǎng)進(jìn)行模式分解,所得結(jié)果如圖7 所示,其中,圖7(a)—(d)所示是時(shí)間模式的前4階的模式函數(shù),圖7(e)和圖7(f)給出了前4 階相應(yīng)的本征值占比圖7(e)是圖2(b)中迭代3 次后輸出光場(chǎng)的時(shí)間模式分解的本征值占比,可以得到,本征值分布在前3 階.圖7(f)是對(duì)圖2中最終輸出穩(wěn)定波形的本征值占比,很明顯出現(xiàn)了與圖7(e)不同的情形,本征值幾乎全部集中在基模,這進(jìn)一步說(shuō)明了SRS 過(guò)程中輸出的Stokes 光場(chǎng)是多模光場(chǎng)且存在模式競(jìng)爭(zhēng),多次迭代類似于腔場(chǎng)振蕩,最后穩(wěn)定于基模.

圖7 前4 階時(shí)間模式函數(shù) ψ0,ψ1,ψ2,ψ3 ;迭代3 次和迭代21 次后光場(chǎng)時(shí)間模式分解的本征值占比Fig.7 First four orders of the temporal mode ψ0,ψ1,ψ2,ψ3 ;the eigenvalue ratio of the light field temporal mode decomposition of three iterations and twenty-one iterations

4 結(jié)論

本文研究了迭代受激拉曼散射系統(tǒng)的輸出光場(chǎng)時(shí)間模式特性.在固定泵浦光場(chǎng)的時(shí)域波形為高斯或超高斯情形下,針對(duì)不同波形的種子光場(chǎng)注入,經(jīng)過(guò)迭代之后系統(tǒng)輸出穩(wěn)定的時(shí)域波形.結(jié)果表明: 當(dāng)泵浦光波形為確定半高全寬的高斯或超高斯時(shí),無(wú)論種子光場(chǎng)波形如何變化,輸出Stokes 光場(chǎng)的時(shí)域波形最終均收斂為同一種波形,輸出的穩(wěn)定波形的時(shí)間半高全寬依賴于泵浦光場(chǎng).然后將輸出的Stokes 光場(chǎng)的時(shí)間模式分解后,所得本征值占比最大的模式的占比趨近于1.

本文依據(jù)迭代系統(tǒng),從理論上解釋了受激拉曼散射系統(tǒng)中存在時(shí)間模式競(jìng)爭(zhēng)效應(yīng),并且證實(shí)了系統(tǒng)迭代的收斂性,還說(shuō)明了系統(tǒng)本征時(shí)間模式依賴于驅(qū)動(dòng)的泵浦光場(chǎng).此方案的結(jié)果對(duì)于非線性受激系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)研究具有重要參考價(jià)值.