復(fù)原胞超光柵中負透射的魯棒性

郭海琴,杜駿杰

（華東師范大學 物理與電子科學學院,上海 200241）

0 引言

光電混合集成芯片和全光芯片技術(shù)是下一代信息技術(shù)產(chǎn)業(yè)發(fā)展的潛在突破方向之一,它們有希望解決目前微電子芯片由于最小線寬越來越接近物理極限所帶來的技術(shù)“瓶頸”.不僅如此,為了生產(chǎn)、生活的便利化,常用的普通光學元器件也有微型化的需求.人工光學材料是以納米粒子為基本單元構(gòu)造的新型材料,由此設(shè)計的幾微米或幾十微米的光學單元即可實現(xiàn)對電磁波的調(diào)控,是解決光學元器件集成化和微型化問題的有效方案.早期的人工光學材料包括光子晶體[1-2]和超材料[3-5].光子晶體的主要物理思想源于自然晶體中的電子能帶結(jié)構(gòu)理論[6],它的目的是獲得屬于光子的能隙或豐富的色散關(guān)系.超材料的物理基礎(chǔ)是等效媒質(zhì)理論,以亞波長諧振單元為人造“原子”定義出任意數(shù)值的等效介電常數(shù)和磁導(dǎo)率.目前,超材料實現(xiàn)了如負折射[7-9]、超棱鏡[10]、電磁隱身[11-13]、光學黑洞[14]等傳統(tǒng)材料無法取得的現(xiàn)象.然而,光子晶體和超材料都屬于體材料,這類材料的尺度通常至少是波長量級或是波長的幾十倍,無法做到更小.更嚴重的問題是,構(gòu)成體材料的三維納米粒子陣列的精細加工超過了目前的技術(shù)極限,使得體材料的批量生產(chǎn)難度很大.因此,很多與它們相關(guān)的研究成果僅限于實驗室展示,無法真正走向應(yīng)用.

與體材料難以加工不同,以超表面和超光柵為基礎(chǔ)的平面光學通過納米粒子的單層陣列來操控光波,加工實現(xiàn)的難度大大降低,成為近年來人工光學材料的研究熱點之一.除了易于加工,平面光學材料相比體材料還具有更高集成度、更微型化、更低吸收損耗等優(yōu)勢.超表面[15-16]為光學諸多方面的突破和發(fā)展提供了可能,但通常超表面對光波的操控效率比較低,并且超表面的一個周期單元要由一系列不同的納米粒子來構(gòu)成.就目前的納米分辨極限而言,批量加工仍是巨大的挑戰(zhàn).而構(gòu)成超光柵的所有納米粒子都是相同的,粒子的幾何形狀或尺寸不需要像超表面那樣梯度變化,加工難度進一步降低.超光柵的調(diào)控對象是光柵所支持的各個衍射級,超光柵通過抑制低階衍射級而使出射光完全沿著某一高階衍射級方向傳播,其理論操控效率通?？蛇_100%.根據(jù)經(jīng)典的光柵理論,光柵的高階衍射級對入射角和波長的微小變化非常敏感,因此實現(xiàn)了高階衍射的超光柵不僅可以控制光束的傳播方向,也可以用于發(fā)展超光柵全息技術(shù)[17-18]和設(shè)計柔性變色板[19].

超光柵[20-29]里最引人注意的是介質(zhì)超光柵,其吸收損耗幾乎可以忽略不記,許多情況下又與互補金屬氧化物半導(dǎo)體(complementary metal oxide semiconductor,CMOS) 工藝兼容,在應(yīng)用上具有獨特優(yōu)勢.對介質(zhì)超光柵的研究已取得了很大進展,最早發(fā)現(xiàn)的超光柵也是介質(zhì)超光柵,其中發(fā)生的負向透射現(xiàn)象可在單原胞和復(fù)原胞這兩種結(jié)構(gòu)中實現(xiàn),復(fù)原胞結(jié)構(gòu)的效率更高,可達93%左右[20].后來的研究調(diào)整了復(fù)原胞結(jié)構(gòu)中大/小柱子的位置,獲得了完美效率的負向透射現(xiàn)象[30].本文將進一步詳細調(diào)查實現(xiàn)完美效率超光柵的各種可能的復(fù)原胞組合,并研究各種組合下,復(fù)原胞內(nèi)小柱子半徑與位置的變化對負向透射效率的影響.實際加工中,柱子半徑與柱子位置都存在一定的誤差,研究這些不確定性對高效超光柵的制備具有很大的指導(dǎo)意義.

1 結(jié)構(gòu)模型與理論計算

本文研究的復(fù)原胞是由2 個半徑不同的納米柱(大/小納米柱)組成.圖1(a)給出了復(fù)原胞超光柵的截面示意圖: 大/小納米柱的半徑分別為R和r,復(fù)原胞沿y方向以d為周期排列成一條直線.對于固定頻率的入射波,晶格常數(shù)d保持不變,但復(fù)原胞結(jié)構(gòu)內(nèi)小柱子的方位以及與大柱子間的距離都可變.圖1(a)僅顯示了小柱子中心正好處在光柵軸線上的情形.本文研究的高斯光束(Gaussian beam)磁場沿z方向振動(transverse-electric,TE 極化波),入射角為θi,入射波波長為λ,入射波矢量大小記為ki=2π/λ.

圖1 (a)復(fù)原胞超光柵的結(jié)構(gòu)示意圖;(b)入射角 θi=45°,晶格常數(shù) d=時,超光柵支持的4 個衍射級Fig.1 (a) Schematic diagrams of metagratings with a complex unit cell;(b) The four diffraction orders are supported by a metagrating of d= at an angle of incidence,θi=45°

超光柵所處的背景介質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別為ε0和μ0,構(gòu)成超光柵的柱子的介電常數(shù)為ε,磁導(dǎo)率為μ.這里考慮所有媒質(zhì)都是非磁性的,即μ0=μ=1 .由光柵方程,入射角θi和晶格常數(shù)d決定了光柵能夠支持的所有衍射級,即光束所有可能的出射方向.光場在這些出射方向的能量分布與納米柱的半徑R、r和介電常數(shù)ε等都有關(guān)系.本文以單原胞超光柵為例,首先介紹在各衍射級方向上透射率和反射率的計算方法,因為復(fù)原胞超光柵的透射率和反射率只要在此基礎(chǔ)上稍作推廣即可得到.

首先介紹單個柱子的米氏散射系數(shù)αn.這里入射場(Hinc) 和散射場(Hs) 分別展開為

式(1)—(2)中: Jn和分別為第n階貝塞爾(Bessel)函數(shù)和第n階第一類漢克爾(Hankel)函數(shù);求和中的第n項表示第n個角動量通道.根據(jù)散射場和內(nèi)部場的連續(xù)性條件可以求出米氏散射系數(shù)

超光柵是由柱子組成的一個一維周期性陣列,標記為0 的柱子(其坐標(0,0)) 的散射場系數(shù)可以在晶格求和的基礎(chǔ)上得到.根據(jù)Floquet 定理,其他任意柱子,如第l個柱子(坐標(0,Rl=ld))的散射系數(shù)滿足

這里,βν為第ν階衍射級波矢量的x方向分量,可以表示為

式(6)—(9)中:kν為第ν階衍射階級波矢量的y方向分量,且kν=ky+gν,其中,ky=kisinθi,gν=2νπ/d(ν=0,±1,±2,···) 為周期結(jié)構(gòu)的倒易晶格矢量,ν為階數(shù),亦即說明光的衍射方向時的級數(shù);rν、tν分別是反射系數(shù)和透射系數(shù),它們的表達式分別為

則反射率(Rν) 和透射率(Tν) 分別為

2 結(jié)果與討論

本文分兩種情況分別分析了復(fù)原胞內(nèi)部結(jié)構(gòu)對超光柵的影響: 第一種,分析了復(fù)原胞中大/小柱子相對位置改變對負透射率的影響,尋找不同相對位置下可以導(dǎo)致高負透射率的大/小柱子半徑;第二種,固定復(fù)原胞內(nèi)大/小柱子的半徑,分析了小柱子與大柱子相對位置的改變對負透射率的影響.

2.1 不同的大/小柱之間的距離下,半徑改變對負透射率的影響

對于入射角45°,波長1 550 nm 的光,為了使硅柱子構(gòu)成的超光柵僅支持第0 級衍射和第-1 級衍射,光柵的晶格常數(shù)取為d=1 096 nm.對小柱子恰好處在兩個相鄰大柱子中間的情形,已有文獻給出了近完美負透射率下復(fù)原胞兩個柱子的半徑大小[30].這里本文將小柱子沿y軸負向移動一個距離,使小柱子向大柱子靠近,研究大/小柱子間相對位置變化對負透射率的影響,調(diào)查能否仍然得到完美負透射率.圖2(a)中左右兩圖分別顯示了小柱子移動前后,復(fù)原胞及超光柵的結(jié)構(gòu)變化,其中,δd=0 表示較小的柱子位于兩個相鄰較大柱子中心連線的中點;圖2(b)分別顯示了4 個不同的移動距離δd下,負透射率和復(fù)原胞內(nèi)大/小柱子半徑的關(guān)系,其中的紅色區(qū)域表明4 個δd下都可以實現(xiàn)完美負透射,且每種情況下都有很多實現(xiàn)完美負透射率的復(fù)原胞組合.因此,相比于由單柱子組成的超光柵,無論復(fù)原胞內(nèi)大/小柱子之間的位置怎樣,復(fù)原胞超光柵在實現(xiàn)完美負透射方面都有很大優(yōu)勢.

圖2 (a)小柱子的位置移動 δ d 后復(fù)原胞的結(jié)構(gòu)的變化示意圖;(b) θi=45°,d=1 096 nm ,λ=1 550 nm 時,不同δd下R、r 與第–1 級透射率的關(guān)系圖Fig.2 (a) A schematic diagram illustrating a variation of complex unit cell configurations,achieved by moving the position of the small rod by a distance δ d ;(b) A heatmap illustrating the transmissivity of the negative first order transmitted wave,T–1,with varying radii of the small rod and large rod(r and R,respectively) for different complex unit cell configurations,the fixed δ d value is different in each heatmap,with θi=45°,d=1 096 nm,and λ=1 550 nm

2.2 大/小柱半徑固定不變,距離改變對負透射率的影響

下面固定復(fù)原胞內(nèi)大/小柱子的半徑,研究大/小柱子相對位置的變化對負透射率的影響.這里考慮“非粘連”和“粘連”兩種復(fù)原胞結(jié)構(gòu).

2.2.1 “非粘連“復(fù)原胞內(nèi)大/小柱子間距對負透射率的影響

將復(fù)原胞內(nèi)大/小柱子不互相接觸的結(jié)構(gòu)稱為“非粘連”結(jié)構(gòu),圖2(a)所示的就是兩種“非粘連”結(jié)構(gòu).現(xiàn)在固定“非粘連”結(jié)構(gòu)中大/小柱子的半徑,研究小柱子的位置偏差對負透射率的影響.本文的計算表明,在不同的大/小柱半徑組合時,小柱子的位置對負透射率的影響不同.當復(fù)原胞內(nèi)大/小柱子半徑分別為R=274 nm,r=161 nm,而其他參數(shù)與前文所述相同時,小柱子位置在較大范圍內(nèi)變化,超光柵的負透射率都可以保持百分之百.因此R=274 nm,r=161 nm 是本文能夠找到的最優(yōu)組合.圖3(a)顯示了該組合下小柱子移動的距離δd和超光柵負透射率的關(guān)系圖.可以看出,在20 nm 長的移動范圍內(nèi),超光柵都可以實現(xiàn)完美負透射,20 nm 以內(nèi)的位置偏差在實際加工中是完全可控的.隨著小柱子移動距離的進一步增大,陣列的負透射率在緩慢下降,但即使δd達到110 nm,陣列的負透射率仍能保持90%以上.圖3(b)和 圖3(c)所示是δd=20 nm、δd=106 nm 時對應(yīng)的磁場分布.從圖3(c)中可以看出,當δd=106 nm 時,第-1 級反射方向出現(xiàn)明顯的干涉現(xiàn)象,所以有部分光沿著第-1 級反射方向傳輸.按照上述求解單層柱狀納米棒陣列的散射率的公式,計算得出這種情況下第-1 級反射率為8.4%,第-1 級透射率為91.3%;而當δd=20 nm 時,如圖3(b)所示,計算得出有98.79%的光都沿著第–1 級透射方向傳播,幾乎沒有能量損耗.

圖3 (a)隨著小柱子位置 δ d 的改變,負透射率的變化曲線;(b)、(c)為高斯光束入射到復(fù)原胞超光柵中的磁場分布,其中,(b) δ d=20 nm,(c) δ d=106 nm.Fig.3 (a) The transmissivity of the negative first order transmitted wave,T–1,as a function of the change in position of the small rod in the complex unit cell,δ d ;(b),(c) The distribution of magnetic field intensity is illustrated for a Gaussian beam striking a metagrating with a complex unit cell with(b) δ d=20 nm,and(c) δ d=106 nm

2.2.2 “粘連”型復(fù)原胞內(nèi)小柱子所處的方位角對負透射率的影響

將大/小柱子互相接觸的結(jié)構(gòu)稱為“粘連”結(jié)構(gòu).之前的研究中,小柱子的中心都處在大柱子陣列的軸線上.下面考慮“粘連”時小柱子方位角的變化對負透射率的影響.圖4 中的插圖展示了大/小柱子半徑分別為R=260 nm,r=120 nm 時“粘連”型復(fù)原胞的4 種結(jié)構(gòu);入射頻率(f) 與這4 種粘連型超光柵的負透射率之間的關(guān)系也在此圖中給出.圖4 中綠色線和紅色線完全重合,表明小柱子處于大柱子正左方和正右方時,超光柵對光有完全相同的調(diào)控.當入射光的波長為1 560 nm 時,無論小柱子粘連于大柱子上邊還是左邊、右邊,3 種復(fù)原胞結(jié)構(gòu)的負透射率都達到最大,且最大值相同都是約93%.但對于小柱子粘連于大柱子下邊的復(fù)原胞結(jié)構(gòu),超光柵對光的調(diào)控行為與其他3 種結(jié)構(gòu)非常不同,第-1 級透射率在各頻率下都很低,最高也僅達70%左右,所以這種結(jié)構(gòu)在實際加工中不是建議的選項.另外,如果同時考慮工作頻帶的寬度,小柱子粘連在大柱子正上方在實現(xiàn)寬頻帶方面更具優(yōu)勢,

圖4 由半徑為R=260 nm,r=120 nm 的大/小柱子組成的4 種不同的“粘連”型復(fù)原胞超光柵的負透射率Fig.4 The relationship between transmissivity of the negative first order transmitted wave,T–1,of the metagratings and frequency.The relationship is investigated for four metagratings,each with different complex unit cells consisting of two touching rods of radii R=260 nm and r=120 nm

如圖4 黑線所示,在入射光的波長為1 560 nm 附近黑色線在最寬頻帶下保持了較高的負透射率.

3 結(jié)論

本文主要探究了復(fù)原胞超光柵的幾何結(jié)構(gòu)對負透射率的影響.基于多重散射理論,給出了復(fù)原胞中小柱子處在不同位置下,能夠?qū)崿F(xiàn)完美負透射率的大/小柱子半徑的參數(shù)范圍,證明了負透射現(xiàn)象具有很好的魯棒性.在詳細的模擬和計算基礎(chǔ)上,本文也得到了一個大/小柱子半徑的最優(yōu)組合,在此組合下小柱子位置在較大范圍內(nèi)變化,超光柵都可以保持完美負透射率,并給出了小柱子位置變化浮動范圍.不僅如此,小柱子在大柱子正上方的“粘連”型超光柵可以實現(xiàn)較寬頻帶的高負透射率.本文的計算結(jié)果說明復(fù)原胞超光柵在實現(xiàn)完美負透射率方面更有優(yōu)勢,對復(fù)原胞超光柵在實現(xiàn)完美負透射率方面魯棒性的研究和給出的最優(yōu)選擇方案為高效超光柵的批量制備提供了參考.