石墨烯光柵太赫茲透射特性的研究

李彤彤，曹妍妍，呂歡歡，黃曉燕，張 曉，徐世林，張會(huì)云，張玉萍

(山東科技大學(xué)電子通信與物理學(xué)院，青島市太赫茲技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東青島266590

1 引言

石墨烯(graphene)是由碳原子緊密堆積成的單層二維蜂窩狀物質(zhì)，是構(gòu)建其他維度碳質(zhì)材料的基本結(jié)構(gòu)單元［1］，是目前世界上最薄的材料。由于其優(yōu)異的物理特性、光電特性和磁學(xué)特性，石墨烯引起了人們的廣泛關(guān)注。石墨烯的室溫量子霍爾效應(yīng)［2］、鐵磁性［3］和零載流子濃度極限下的最小量子電導(dǎo)率等特性，使其可應(yīng)用于各種領(lǐng)域，成為科學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)［4－5］。

目前對(duì)石墨烯帶的研究已有很多報(bào)道［6－9］。周期排列的石墨烯帶(石墨烯光柵)是一種特殊的光柵。當(dāng)太赫茲波入射時(shí)，會(huì)與石墨烯光柵的表面等離激元極化波產(chǎn)生共振作用，因而出現(xiàn)透射增強(qiáng)現(xiàn)象。通過(guò)調(diào)節(jié)石墨烯光柵各項(xiàng)參數(shù)，可應(yīng)用于各種領(lǐng)域，如可調(diào)諧太赫茲濾波器和等離子體波導(dǎo)等。采用多種方法對(duì)石墨烯光柵的透射增強(qiáng)現(xiàn)象進(jìn)行研究，其中，傅里葉模方法簡(jiǎn)單高效，成為最常用的一種方法。若不能選擇恰當(dāng)?shù)母道锶~分解，TM偏振波入射時(shí)收斂性較差，為此，Amin Khavasi提出了一種近似邊界條件［10］，使收斂速度得到了較大提高。目前對(duì)石墨烯帶的研究主要集中于表面等離子體的激發(fā)和傳輸特性，對(duì)石墨烯光柵的透射特性的研究較少。

基于以上研究背景，本文建立了石墨烯光柵模型，基于快速收斂傅里葉模方法對(duì)石墨烯光柵的太赫茲透射特性進(jìn)行了理論研究，討論了費(fèi)米能級(jí)、光柵周期、光柵占空比和弛豫時(shí)間對(duì)透射率的影響，為石墨烯光柵的研究提供了有力指導(dǎo)。

2 模型及理論基礎(chǔ)

如圖1(a)所示為石墨烯光柵結(jié)構(gòu)整體視圖，圖1(b)所示為石墨烯光柵結(jié)構(gòu)的橫截面圖，灰色長(zhǎng)條為石墨烯帶，其寬度為W，排列周期為L(zhǎng)，在y方向無(wú)限延伸，占空比為W/L。石墨烯光柵上下兩種介質(zhì)的介電常數(shù)分別為ε1=3ε0和ε2=4ε0。入射角為θ的TM偏振的平面波(磁場(chǎng)沿y軸正方向)射向石墨烯光柵。

圖1 石墨烯光柵結(jié)構(gòu)模型示意圖Fig.1 Schematics of the graphene gratings

石墨烯的表面電導(dǎo)率可表示為［11］:

其中，e是電子電荷量;EF是費(fèi)米能級(jí);是約化普朗克常量;ω是頻率;τ是弛豫時(shí)間;H是赫維賽德函數(shù)［12］，有如下定義:

在石墨烯光柵中，將磁場(chǎng)瑞利展開(kāi)為如下形式:

由石墨烯帶分布的區(qū)域分界處的邊界條件可得:

圖2 求解近似邊界條件所需的長(zhǎng)方形閉合回路，高為h，長(zhǎng)為lFig.2 Rectangular closed loop of length l and height h used for solving the approximate boundary condition

在z=0處，將石墨烯電導(dǎo)率的表達(dá)式作傅里葉展開(kāi)，得到:

如圖2所示為一個(gè)閉合回路結(jié)構(gòu)，長(zhǎng)度為l，高為h。由安培環(huán)路定理可得到:

經(jīng)計(jì)算可得到:

其中，［［σ］］代表托普利茲矩陣;第(n，m)個(gè)元素為 σn－m。

將式(4)和式(8)聯(lián)立，用 S矩陣形式［13］表示為:

其中，ηj為對(duì)角矩陣，其對(duì)角元素為kjzn/ωεj。

由式(9)可以得出透射系數(shù)a2，進(jìn)而可以求出透射率［10］為:

3 結(jié)果分析和討論

圖3所示為正入射條件下，費(fèi)米能級(jí)取不同值時(shí)透射率與入射光頻率的關(guān)系曲線。從圖中可以看出，當(dāng)費(fèi)米能級(jí)取一固定值時(shí)，透射率隨入射光頻率的增加先減小后增大。當(dāng)費(fèi)米能級(jí)取不同值時(shí)，在入射光頻率較高的條件下，透射率隨費(fèi)米能級(jí)的增大而減小;在入射光頻率較低的條件下，透射率隨費(fèi)米能級(jí)的增大而增大。透射率最小值隨費(fèi)米能級(jí)的增大向高頻移動(dòng)，且數(shù)值逐漸減小。此圖表明，在高頻附近區(qū)域，適當(dāng)減小費(fèi)米能級(jí)有助于提高石墨烯光柵透射率;在低頻附近區(qū)域，則適當(dāng)增大費(fèi)米能級(jí)有助于提高其透射率。

圖4所示為正入射條件下，光柵周期取不同值時(shí)透射率與入射光頻率的關(guān)系曲線。從圖中可以看出，當(dāng)入射光頻率較高時(shí)，透射率隨光柵周期的增大而增大;當(dāng)入射光頻率較低時(shí)，透射率隨光柵周期的增大而減小。透射率最小值隨光柵周期的增加向低頻移動(dòng)。此圖表明，在高頻附近區(qū)域，適當(dāng)增大光柵周期有助于提高石墨烯光柵透射率;在低頻附近區(qū)域，則適當(dāng)減小費(fèi)米能級(jí)有助于提高其透射率。

圖3 正入射的條件下，費(fèi)米能級(jí)取不同值時(shí)，透射率與頻率的關(guān)系曲線Fig.3 Transmission versus frequency at four different Fermi levels for normal incidence

圖4 正入射的條件下，光柵周期取不同值時(shí)，透射率與頻率的關(guān)系曲線Fig.4 Transmission versus frequency at four different periods of grating for normal incidence

圖5所示為正入射條件下，光柵占空比取不同值時(shí)透射率與入射光頻率的關(guān)系曲線。從圖中可以看出，當(dāng)光柵占空比取一固定數(shù)值時(shí)，透射率隨入射光頻率的增加先減小后增大。當(dāng)光柵占空比取不同值時(shí)，透射率隨光柵占空比的增大而減小;透射率最小值隨光柵占空比的增大向低頻移動(dòng)，且數(shù)值逐漸減小。此圖表明，適當(dāng)減小光柵占空比有助于提高石墨烯光柵透射率。

圖6所示為正入射條件下，弛豫時(shí)間取不同值時(shí)透射率與入射光頻率的關(guān)系曲線。從圖中可以看出，當(dāng)弛豫時(shí)間取一固定值時(shí)，透射率隨入射光頻率的增加先減小后增大。當(dāng)弛豫時(shí)間取不同值時(shí)，在入射光頻率為3.79 THz的條件下透射率取得最小值，且透射率最小值隨弛豫時(shí)間的減小而增大。

圖5 正入射的條件下，光柵占空比取不同值時(shí)，透射率與頻率的關(guān)系曲線Fig.5 Transmission versus frequency at four different duty cycles of grating for normal incidence

圖6 正入射的條件下，弛豫時(shí)間取不同值時(shí)，透射率與頻率的關(guān)系曲線Fig.6 Transmission versus frequency at four different relaxation times for normal incidence

通過(guò)以上結(jié)果分析，可以得出:在正入射條件下，石墨烯費(fèi)米能級(jí)為0.8 eV、光柵周期為6 μm、占空比為0.4、弛豫時(shí)間為1 ps時(shí)，透射率在1 THz處達(dá)到最佳。

圖7所示為入射光頻率為2 THz的條件下，費(fèi)米能級(jí)取不同值時(shí)透射率與入射角的關(guān)系曲線。從圖中可以看出，當(dāng)費(fèi)米能級(jí)取一固定值時(shí)，透射率隨入射角的增大先增加后減小;當(dāng)費(fèi)米能級(jí)取不同值時(shí)，透射率隨費(fèi)米能級(jí)的增大而增大。當(dāng)入射角約為60°時(shí)，透射率取得最大值，且透射率峰值隨費(fèi)米能級(jí)的增加而增大。此圖表明，適當(dāng)增大費(fèi)米能級(jí)有助于提高石墨烯光柵的透射率。

圖7 入射光頻率為2THz的條件下，費(fèi)米能級(jí)取不同值時(shí)，透射率與入射角的關(guān)系曲線Fig.7 Transmission versus incident angle at four different Fermi levels when incident frequency is fixed to 2 THz

圖8所示為入射光頻率為2 THz的條件下，光柵周期取不同值時(shí)透射率與入射角的關(guān)系曲線。從圖中可以看出，當(dāng)光柵周期取一固定值時(shí)，透射率隨入射角的增大先增加后減小;當(dāng)光柵周期取不同值時(shí)，透射率隨光柵周期的增大而減小;透射率峰值隨光柵周期的增加而減小。此圖表明，適當(dāng)減小光柵周期有助于提高石墨烯光柵的透射率。

圖8 入射光頻率為2 THz的條件下，光柵周期取不同值時(shí)，透射率與入射角的關(guān)系曲線Fig.8 Transmission versus incident angle at four different periods of grating when incident frequency is fixed to 2 THz

圖9所示為入射光頻率為2 THz的條件下，光柵占空比取不同值時(shí)透射率與入射角的關(guān)系曲線。從圖中可以看出，當(dāng)光柵占空比取一固定值時(shí)，透射率隨入射角的增大先增加后減小;當(dāng)光柵占空比取不同值時(shí)，透射率隨著光柵占空比的增大而減小;透射率峰值隨光柵占空比的增大而減小。此圖表明，適當(dāng)減小光柵占空比有助于提高石墨烯光柵的透射率。

圖9 入射光頻率為2 THz的條件下，光柵占空比取不同值時(shí)，透射率與入射角的關(guān)系曲線Fig.9 Transmission versus incident angle at four different duty cycles of grating when incident frequency is fixed to 2 THz

圖10所示為入射光頻率為2 THz的條件下，弛豫時(shí)間取不同值時(shí)透射率與入射角的關(guān)系曲線。從圖中可以看出，當(dāng)弛豫時(shí)間取一固定值時(shí)，透射率隨入射角的增大先增加后減小;當(dāng)弛豫時(shí)間取不同值時(shí)，透射率隨弛豫時(shí)間的增大而增大;透射率峰值隨弛豫時(shí)間的增大而增大。此圖表明，適當(dāng)增大弛豫時(shí)間有助于提高石墨烯光柵的透射率。

通過(guò)以上結(jié)果分析，可以得出:在入射光頻率為2 THz條件下，石墨烯費(fèi)米能級(jí)為0.8 eV、光柵周期為6 μm、占空比為0.4、弛豫時(shí)間為 1 ps時(shí)，透射率在入射角約為60°處達(dá)到最佳。

為了更好地研究石墨烯光柵透射率與入射角和頻率的關(guān)系，做出弛豫時(shí)間為0.25 ps，占空比為0.5，周期為8 μm，費(fèi)米能級(jí)為0.6 eV 時(shí)，透射率隨入射角和頻率變化的三維關(guān)系圖，如圖11所示。從圖中可以看出，當(dāng)入射光頻率不變時(shí)，透射率隨入射角的增大先增加后減小，并在入射角約為60°附近取得峰值;當(dāng)入射角不變時(shí)，透射率隨頻率的增大先減小后增加，并在入射光頻率約為3.79 THz處取得最小值。

圖11 透射率、入射角和波長(zhǎng)的三維關(guān)系圖Fig.11 Transmission spectra versus frequency and incident angle

4 結(jié)論

本文建立了石墨烯光柵模型，基于快速收斂傅里葉模方法對(duì)石墨烯光柵的太赫茲透射特性進(jìn)行了理論研究，討論了不同費(fèi)米能級(jí)、光柵周期、光柵占空比和弛豫時(shí)間對(duì)透射率的影響。研究結(jié)果表明，在正入射條件下，透射率隨頻率的增大先減小后增加，且費(fèi)米能級(jí)、占空比和弛豫時(shí)間越高，透射率最小值越小。在入射光頻率為2 THz的條件下，透射率隨入射角的增大先增加后減小，隨費(fèi)米能級(jí)、弛豫時(shí)間的增大而增加，隨光柵周期、光柵占空比的增大而減小，且透射率在入射角約為60°時(shí)取得最大值。通過(guò)以上研究，可以根據(jù)實(shí)際應(yīng)用調(diào)節(jié)石墨烯光柵參數(shù)，從而達(dá)到最佳透射效果，為石墨烯濾波器等器件的制作提供理論指導(dǎo)。

［1］ Geim A K，Novoselov K S.The rise of graphene［J］.Nature materials，2007，6(3):183－191.

［2］ Novoselov K S，Jiang Z，Zhang Y，et al.Room－temperature quantum Hall effect in graphene［J］.Science，2007，315(5817):1379.

［3］ Nomura K，MacDonald A H.Quantum Hall ferromagnetism in graphene［J］.Physical Review Letters，2006，96(25):256602.

［4］ Hao Qiulai，Zhou liqing.Synthesis and optical－electrical charaertistics of graphene［J］.Laser ＆ Infrared，2014，44(12):1295－1300.(in Chinese)郝秋來(lái)，周立慶.石墨烯合成及其光電特性［J］.激光與紅外，2014，44(12):1295－1300.

［5］ Song Haoqing，Yang Aiying.Reserach progress of graphene passively mode－locked fiber lasers［J］.Laser ＆Infrared，2013，43(2):137－143.(in Chinese)宋浩青，楊愛(ài)英.石墨烯被動(dòng)鎖模光纖激光器的研究進(jìn)展［J］.激光與紅外，2013，43(2):137－143.

［6］ Wu J，Zhou C，Yu J，et al.Design of infrared surface plasmon resonance sensors based on graphene ribbon arrays［J］.Optics ＆ Laser Technology，2014，59:99－103.

［7］ Gómez－Díaz J S，Esquius－Morote M，Perruisseau－Carrier J.Plane wave excitation－detection of non－resonant plasmons along finite－width graphene strips［J］.Optics express，2013，21(21):24856－24872.

［8］ Balaban M V，Shapoval O V，Nosich A I.THz wave scattering by a graphene strip and a disk in the free space:integral equation analysis and surface plasmon resonances［J］.Journal of Optics，2013，15(11):114007.

［9］ Chu H S，Gan C H.Active plasmonic switching at mid－infrared wavelengths with graphene ribbon arrays［J］.Applied Physics Letters，2013，102(23):231107.

［10］ Khavasi A.Fast convergent Fourier modal method for the analysis of periodic arrays of graphene ribbons［J］.Optics letters，2013，38(16):3009－3012.

［11］ Wunsch B，Stauber T，Sols F，et al.Dynamical polarization of graphene at finite doping［J］.New Journal of Physics，2006，8(12):318.

［12］ Thongrattanasiri S，Koppens F H L，de Abajo F J G.Complete optical absorption in periodically patterned graphene［J］.Physical Review Letters，2012，108(4):047401.

［13］ Koppens F H L，Chang D E，Garcia de Abajo F J.Graphene plasmonics:a platform for strong light－matter interactions［J］.Nano Letters，2011，11(8):3370－3377.

［14］ Li L.Formulation and comparison of two recursive matrix algorithms for modeling layered diffraction gratings［J］.JOSA A，1996，13(5):1024－1035.