退相干演化對(duì)Jaynes-Cummings 模型影響的考察

黃藝漫,馬 雷

（華東師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院,上海 200241）

0 引言

量子理論是20 世紀(jì)科學(xué)發(fā)展進(jìn)程中最重要的物理理論之一,其對(duì)推動(dòng)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)進(jìn)步的作用不言而喻.利用量子理論來(lái)研究并設(shè)計(jì)量子器件,是目前量子信息領(lǐng)域重要的研究方向.在量子力學(xué)中,量子計(jì)算、量子態(tài)制備等在很大程度上依賴量子系統(tǒng)的相干性.量子力學(xué)中的相干性是其區(qū)別于經(jīng)典力學(xué)的一個(gè)根本特性,而量子計(jì)算機(jī)的運(yùn)作依賴維持量子態(tài)的相干演化,需要抑制環(huán)境的干擾.所以實(shí)現(xiàn)精密量子測(cè)量的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題便是控制原子與腔場(chǎng)相互作用體系中的退相干效應(yīng).

在量子力學(xué)中,開(kāi)放量子系統(tǒng)的量子相干性會(huì)因?yàn)轶w系與外在環(huán)境發(fā)生大量的量子糾纏,隨著時(shí)間的演化過(guò)程逐漸喪失,這個(gè)效應(yīng)稱為量子退相干,是量子系統(tǒng)與環(huán)境由于量子糾纏而產(chǎn)生的結(jié)果.由于退相干的發(fā)生,量子相干性產(chǎn)生的干涉現(xiàn)象會(huì)消失無(wú)蹤.量子退相干促使系統(tǒng)的量子相干行為變遷成經(jīng)典行為,這個(gè)過(guò)程稱為“量子至經(jīng)典變遷”.該問(wèn)題最早是由H.Dieter Zeh 在20 世紀(jì)60 年代提出,進(jìn)而催生出了退相干理論(也稱作動(dòng)力學(xué)退相干或者環(huán)境誘導(dǎo)退相干);20 世紀(jì)80 年代,退相干的研究得到了進(jìn)一步發(fā)展,H.Dieter Zeh 等提出了第一個(gè)具體的退相干模型[1].1991 年,Zurek[2]在Reviews of Modern Physics(《現(xiàn)代物理評(píng)論》)中更廣泛地提出了退相干理論中的重要因素.到今天,在量子力學(xué)需要實(shí)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)應(yīng)用與推進(jìn)的背景下,退相干越發(fā)成為量子力學(xué)中重要而迫切的理論分析問(wèn)題.自20 世紀(jì)80 年代初首次對(duì)方案進(jìn)行精確的公式化以來(lái)[3-6],到2000 年孫昌璞等[7]成功解釋了量子態(tài)跳變現(xiàn)象,并給出了系統(tǒng)退相干的根本特征—在時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí),密度矩陣的非對(duì)角元項(xiàng)會(huì)衰減至0,退相干問(wèn)題對(duì)量子力學(xué)基礎(chǔ)理論的影響越發(fā)成為量子信息技術(shù)領(lǐng)域重點(diǎn)關(guān)注的問(wèn)題.

Jaynes-Cummings 模型[8-9](簡(jiǎn)稱J-C 模型) 是描述原子與光場(chǎng)相互作用的理想模型,最初由Jaynes 和Cummings 于1963 年提出,Rempe、Walther 和Klein 于1984 年首次進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)證明[10].在量子光學(xué)中,J-C 模型是一個(gè)基本的理論模型,主要用來(lái)描述一個(gè)兩能級(jí)原子與單模量子光場(chǎng)之間的相互作用.近年來(lái),由于其可以精確求解、易于擴(kuò)展的特點(diǎn),人們對(duì)它的各種物理屬性進(jìn)行了深入、廣泛的研究.

本文基于J-C 模型,對(duì)開(kāi)放系統(tǒng)退相干時(shí)間演化后的量子態(tài)特性影響進(jìn)行了考察與分析: 設(shè)定初態(tài),采用Kraus 求和方法推導(dǎo)出了退極化模式下量子態(tài)發(fā)生退相干后的約化密度矩陣;在此基礎(chǔ)上,分析了量子態(tài)退相干時(shí)間演化后的保真度、von Neumann 熵的變化情況.

1 J-C 模型與退相干模式

1.1 J-C 模型

1963 年,Jaynes 和Cummings 在討論微波激射器時(shí)提出了標(biāo)準(zhǔn)的J-C 模型[8],該模型是量子光學(xué)中一個(gè)基礎(chǔ)可解的理論模型.下面系統(tǒng)地給出該模型的哈密頓量(H).

光場(chǎng)與原子相互作用的總哈密頓量(H) 可以表示為

式(1)中:H0表示原子哈密頓量;HF表示單模自由光場(chǎng)哈密頓量;HI表示原子與光場(chǎng)相互作用哈密頓量.將能量零點(diǎn)選取在兩能級(jí)之間,J-C 模型的系統(tǒng)總哈密頓量(H) 就可以表示為

式(2)中:ω0為原子的躍遷頻率;ω為光子的頻率;Sz是原子的自旋算符;S+、S-分別是原子向上、向下能級(jí)躍遷的躍遷算符;g為光子與原子的耦合常數(shù),這里可設(shè)為實(shí)常數(shù)(如果是復(fù)常數(shù),可以利用轉(zhuǎn)動(dòng)變換將復(fù)數(shù)幅角變換至產(chǎn)生、湮滅算符中);a+、a分別為光子的產(chǎn)生、湮滅算符; ? 為約化普朗克常數(shù).于是在共振條件,即ω=ω0時(shí),總哈密頓量(H) 用矩陣可以表示為(在|1,n+1〉態(tài)和|2,n〉態(tài)組成的子空間內(nèi))

J-C 模型下的初態(tài)由于光子數(shù)的差異可以寫成很多種,也可以寫出原子態(tài)與光子的直積態(tài),例如,|1,n+1〉表示此時(shí)系統(tǒng)的量子態(tài)中原子處于下能級(jí)|1〉.光場(chǎng)光子數(shù)為n+1 ,量子態(tài)|2,n〉與此同理.

1.2 退相干模式

量子力學(xué)中的相干性是區(qū)別于經(jīng)典力學(xué)的一個(gè)根本特性,量子信息的傳播、處理、演化過(guò)程需要依賴量子態(tài)的相干演化,所以需要抑制環(huán)境、噪聲等帶來(lái)的干擾.從量子理論來(lái)看,封閉的量子系統(tǒng)時(shí)刻遵循幺正演化,但是在實(shí)際操作中量子系統(tǒng)卻是普遍開(kāi)放的,不存在完全孤立于外界與環(huán)境的封閉系統(tǒng).外界與系統(tǒng)時(shí)時(shí)刻刻發(fā)生著信息糾纏、互換,所以量子態(tài)的實(shí)際演化一定伴隨環(huán)境的影響,在這些影響下,量子態(tài)會(huì)逐漸失去相干性等特征,最后量子信息散失在環(huán)境中,發(fā)生量子退相干.

在對(duì)退相干問(wèn)題的起源分析中,可能會(huì)來(lái)自如下的情況: ①子系統(tǒng)與環(huán)境(噪聲) 耦合作用造成退相干;② 子系統(tǒng)在觀測(cè)中的塌縮、躍遷造成退相干;③子系統(tǒng)的自發(fā)輻射、衰減、躍遷造成退相干.本文選取J-C 模型下一子空間的2 個(gè)基矢|1,n+1〉和|2,n〉,類比單qubit 信道演化過(guò)程[11]的衰減,對(duì)于原子與光子直積態(tài),主要考慮退極化模式下的退相干效應(yīng).

退極化方式中,基并不穩(wěn)定,會(huì)發(fā)生以下3 種誤差翻轉(zhuǎn).

1)σx誤差—位翻轉(zhuǎn)誤差

假設(shè)初態(tài)為|ψ〉,由有|ψ〉→σx|ψ〉,即假設(shè)體系子系統(tǒng)處于|1,n+1〉和|2,n〉這2個(gè)基矢.該種誤差會(huì)使原子在|1〉,|2〉之間跳躍.

2)σz誤差—相位翻轉(zhuǎn)誤差

假設(shè)初態(tài)為|ψ〉,由,有|ψ〉→σz|ψ〉,即假設(shè)體系子 系統(tǒng)處于|1,n+1〉和|2,n〉這2 個(gè)基矢.該種誤差可能會(huì)使量子態(tài)發(fā)生相位翻轉(zhuǎn).

3)σy誤差—混合型翻轉(zhuǎn)誤差

假設(shè)初態(tài)為|ψ〉,由,有|ψ〉→σy|ψ〉,即子系統(tǒng)會(huì)發(fā)生上述2 種誤差的混合誤差翻轉(zhuǎn)的情況.

本文用一個(gè)幺正算符

來(lái)表示誤差的發(fā)生.式(4)中:n=x,y,z,表明子系統(tǒng)的初態(tài)分別發(fā)生了σx,σy,σz這3 種誤差翻轉(zhuǎn);|i〉E,i=0,1,表示環(huán)境態(tài).

同樣地,也可以假設(shè)這3 種誤差同時(shí)等概率發(fā)生,表示為

后文將給出擬合圖進(jìn)行對(duì)比,分析哪種誤差對(duì)系統(tǒng)的量子態(tài)性質(zhì)影響最大.

2 退相干效應(yīng)對(duì)體系保真度的影響

基于J-C 模型,設(shè)定光場(chǎng)與原子相互作用子系統(tǒng)的初態(tài)

其中,|i,n〉表示原子處在i能級(jí)(i=1,2) 而光場(chǎng)有n個(gè)光子的狀態(tài).由于旋轉(zhuǎn)波近似,相互作用哈密頓量只能導(dǎo)致|1,n+1〉與|2,n〉態(tài)之間的躍遷.

式(7) 中:Mn是一組作用在子系統(tǒng) S 上的算符,它表示在系統(tǒng) S 與環(huán)境 E 相互作用下對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的影響;S可以認(rèn)為是將子系統(tǒng)的初態(tài)映射到時(shí)刻,這種映射稱為超算符映射,式(7)也稱作超算符的求和表示,且由于退相干發(fā)生的時(shí)間十分短暫,可以認(rèn)為是在瞬間發(fā)生,所以這里的時(shí)間可寫作

本文討論的是發(fā)生一次退相干后,系統(tǒng)隨時(shí)間演化過(guò)程中量子態(tài)的變化.所以在得出退相干的約化密度矩陣之后,可以定義一個(gè)時(shí)間演化算符,來(lái)描述原子與光子子系統(tǒng)退相干后約化密度矩陣的動(dòng)力學(xué)演化.時(shí)間演化算符為

其中的H為哈密頓量,且取式(2) 中原子與光子相互作用系統(tǒng)的總哈密頓量.由此,末態(tài)的約化密度矩陣便可以寫為

Jozsa[12]根據(jù)“躍遷幾率”首先提出了保真度的概念,定義了量子混態(tài)的保真度,并且從數(shù)學(xué)上證明出了保真度的一些基本性質(zhì).保真度(F) 的表達(dá)式為

式(10)中:ρ0為初態(tài)的約化密度矩陣算符;ρ為末態(tài)的約化密度矩陣算符.F∈[0,1] ,當(dāng)F取左/右端點(diǎn)值時(shí),可以分別認(rèn)為是正交演化過(guò)程信息完全失真,以及末態(tài)與初態(tài)保持一致的理想演化過(guò)程.

在退極化模式下,本文分別考察了σx誤差、σz誤差、σy誤差以概率P翻轉(zhuǎn),以及3 種誤差等概率翻轉(zhuǎn)的4 種情形.

設(shè)定一個(gè)初態(tài)

根據(jù)1.2 節(jié),在退極化模式的σx誤差、σz誤差、σy誤差以P概率翻轉(zhuǎn),以及3 種誤差以概率混合翻轉(zhuǎn)下,由式(7)得出每種誤差翻轉(zhuǎn)后子系統(tǒng) A 的約化密度矩陣,分別為

將式(12)—(15)代入式(9)和式(10),可以計(jì)算出各反轉(zhuǎn)誤差后的保真度.取P=0.2,各誤差的保真度對(duì)比詳見(jiàn)圖1.

圖1 是非退相干演化與退相干演化后的保真度隨時(shí)間演化的擬合圖.圖1(a)是無(wú)退相干的純態(tài)演化,此時(shí)由于時(shí)間演化算符中含有時(shí)間因數(shù),末態(tài)的保真度會(huì)隨著時(shí)間演化發(fā)生有規(guī)律的振蕩,這與理想J-C 模型的Rabi 振蕩規(guī)律是吻合的,此時(shí)量子態(tài)不會(huì)發(fā)生衰減.圖1(b)-(c),依次是位翻轉(zhuǎn)誤差(σx誤差)、相位翻轉(zhuǎn)誤差(σz誤差)、混合型誤差(σy誤差)、3 種平均誤差等概率發(fā)生后子系統(tǒng)保真度隨時(shí)間(t) 的演化.可以看出,各翻轉(zhuǎn)類型下,保真度在最開(kāi)始會(huì)發(fā)生較緩慢且差值不大的振蕩變化;隨著時(shí)間的增加,差值開(kāi)始變小,振蕩也趨于穩(wěn)定;最終,保真度都會(huì)趨于穩(wěn)定,不再發(fā)生變化.這或許可以說(shuō)明,在開(kāi)放環(huán)境的作用下,長(zhǎng)時(shí)間的退相干后,量子態(tài)趨于形成一個(gè)較穩(wěn)定的狀態(tài),此時(shí)保真度也降至最低.不同之處在于誤差類型不同,穩(wěn)定發(fā)生的時(shí)間也不同.可以看出,σy誤差由于是兩種誤差的混合型,其對(duì)保真度的影響最為敏感和迅速;而3 種誤差等概率發(fā)生的影響介于三者之間,可以認(rèn)為是三者的平均結(jié)果.

另外,對(duì)一種誤差翻轉(zhuǎn)情形取P為不同值,觀察不同翻轉(zhuǎn)概率時(shí)保真度振幅的差異.在3 種誤差等概率翻轉(zhuǎn)下,對(duì)式(12)—(15)取P=0.2,0.5,0.7,1,不同概率下保真度的對(duì)比詳見(jiàn)圖2.

圖2 不同概率下保真度的對(duì)比Fig.2 Comparison of fidelity at different probabilities

圖2 所示是在3 種平均誤差翻轉(zhuǎn)情形下,翻轉(zhuǎn)概率P取不同數(shù)值時(shí)保真度隨時(shí)間(t) 的變化.可以發(fā)現(xiàn),由于翻轉(zhuǎn)的發(fā)生,保真度會(huì)發(fā)生振蕩變化,隨著時(shí)間演化,最后會(huì)逐漸在固定值處趨于穩(wěn)定;而隨著翻轉(zhuǎn)概率的增大,最后處于穩(wěn)定的時(shí)間也在變短,穩(wěn)定值也越來(lái)越小;當(dāng)發(fā)生完全翻轉(zhuǎn)時(shí),量子態(tài)的保真度也逐漸趨近于零,量子信息發(fā)生全部失真.

基于上述的多種情形,本文發(fā)現(xiàn),子系統(tǒng)一旦暴露于開(kāi)放環(huán)境,信息不可避免會(huì)發(fā)生失真情況,并且存在不同的誤差翻轉(zhuǎn)對(duì)保真度的影響也并不相同;隨著時(shí)間演化,存在退相干的演化對(duì)比非退相干演化,保真度也會(huì)發(fā)生周期衰退直至形成系統(tǒng)信息失真形成穩(wěn)定情況;另外,隨著誤差翻轉(zhuǎn)概率的增加,量子信息失真程度也會(huì)越來(lái)越嚴(yán)重.

3 退相干情況下von Neumann 熵變化

von Neumann 熵(Sv-N) 的表達(dá)式為

式(16)中:ρ表示量子態(tài)的約化密度矩陣;λα表示此時(shí)密度矩陣對(duì)應(yīng)的本征值.

本文在類比保真度的推導(dǎo)過(guò)程中,將末態(tài)密度矩陣代入,求出von Neumann 熵的值;使用Matlab 工具做出退極化模式下的von Neumann 熵的變化圖,并進(jìn)行對(duì)比分析.

在退極化模式下,分別單獨(dú)考慮σx誤差、σz誤差、σy誤差以概率P翻轉(zhuǎn),以及3 種誤差等概率的情形.類比第2 章保真度的計(jì)算,求得其熵的表達(dá)式.

將式(9)、式(11)—(15)代入式(16),取P=0.2,von Neumann 熵的對(duì)比詳見(jiàn)圖3.

圖3 von Neumann 熵對(duì)比Fig.3 von Neumann entropy comparison

圖3 所示是非退相干演化與退相干演化后的von Neumann 熵隨時(shí)間演化的擬合圖像.圖3(a)是無(wú)退相干的純態(tài)演化,此時(shí)由于時(shí)間演化算符中含有時(shí)間因數(shù),末態(tài)的von Neumann 熵會(huì)隨著時(shí)間演化產(chǎn)生有規(guī)律的振蕩.圖3(b)—(e)依次是位翻轉(zhuǎn)誤差(σx誤差)、相位翻轉(zhuǎn)誤差(σz誤差)、混合型誤差(σy誤差),以及以上3 種誤差等概率發(fā)生后子系統(tǒng)von Neumann 熵隨時(shí)間的演化.可以看出,存在退相干時(shí)與無(wú)退相干時(shí)von Neumann 熵的振蕩范圍是不同的: 無(wú)退相干時(shí),von Neumann 熵的值在 0～1 間振蕩;存在退相干時(shí),各翻轉(zhuǎn)類型下不同振蕩的高低范圍也不盡相同.這或許可以說(shuō)明,在開(kāi)放環(huán)境下[13-16],發(fā)生一次退相干后,由于時(shí)間因數(shù)的存在,von Neumann 熵會(huì)發(fā)生振蕩變化,此時(shí)系統(tǒng)的有序性也在變化.還可以看出,σy誤差由于是兩種誤差的混合型,其對(duì)von Neumann 熵的影響最為敏感和迅速,而3 種誤差等概率發(fā)生的影響介于三者之間,可以認(rèn)為是三者的平均結(jié)果.

由上述結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),隨著時(shí)間演化,存在退相干的演化對(duì)比非退相干演化,von Neumann 熵振蕩振幅并不相同,存在誤差翻轉(zhuǎn)時(shí)振蕩振幅也各有不同,但仍保持振蕩并不會(huì)衰減至某一穩(wěn)定值.這代表系統(tǒng)的混亂程度在發(fā)生變化,量子態(tài)之間的關(guān)聯(lián)程度也在變化,但是仍存在一定的關(guān)聯(lián)性.

上述各誤差翻轉(zhuǎn)中,von Neumann 熵的變化有增亦有減的趨勢(shì),似乎違背熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理中“熵增原理”的說(shuō)法.但是本文所研究的演化過(guò)程與經(jīng)典力學(xué)所遵循的熵增原理是不同的,在量子理論中,熵的變化僅能使人們對(duì)體系的混亂程度的變化有所了解,體系可以從無(wú)序到有序,那么也可以從有序到無(wú)序.

4 總結(jié)

本文使用Kraus 求和方法,對(duì)于退極化模式下末態(tài)演化的保真度與von Neumann 熵的變化進(jìn)行了分析,使用Matlab 工具做出了變化的擬合圖像.發(fā)現(xiàn)二能級(jí)原子與單模光場(chǎng)相互作用體系[17]在誤差翻轉(zhuǎn)的情況下,量子態(tài)會(huì)發(fā)生退相干效應(yīng)[18],其中,退極化模式下3 種誤差翻轉(zhuǎn)對(duì)保真度與von Neumann 熵變化的影響不盡相同,相同之處在于,存在退相干時(shí)量子態(tài)的保真度與von Neumann 熵不會(huì)再保持 0～1 之間的振蕩,而是會(huì)發(fā)生部分信息的失散,體系關(guān)聯(lián)度也在下降,振蕩范圍發(fā)生改變;不同之處在于,保真度會(huì)隨著時(shí)間衰退至慢慢穩(wěn)定,而von Neumann 熵始終保持振蕩,這與二者的物理性質(zhì)有關(guān).