數(shù)據(jù)時代下以關聯(lián)視角解碼“圖言圖語”

武捷

摘 ? 要：站在兒童的視角用數(shù)學的眼光發(fā)現(xiàn)數(shù)學本質(zhì)，用數(shù)學的方式表達信息是大數(shù)據(jù)時代全面發(fā)展的人所需要的重要素養(yǎng)之一。學會從數(shù)據(jù)關聯(lián)性的角度分析、表達真實的數(shù)學世界是育人導向的需求。由蘇教版五年級下的一道習題的辨析展開，分析和發(fā)展學生多重信息的解碼路徑。通過緊扣生長點，豐富數(shù)學表達之路徑；拓寬閱讀空間，延展數(shù)學信息獲取之渠道；明晰分層優(yōu)化，滲透數(shù)學思想方法三個方面幫助學生建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學問題的直觀模型，發(fā)展學生的幾何直觀、數(shù)據(jù)意識，明晰思維的路徑。

關鍵詞：小學數(shù)學；數(shù)學信息；圖形語言；關聯(lián)視角

中圖分類號：G623.5 ? 文獻標識碼：A ? 文章編號：1009-010X（2023）16-0019-04

堅守兒童的立場，用數(shù)學的眼光發(fā)現(xiàn)數(shù)學本質(zhì)，用數(shù)學的方式表達信息，這是大數(shù)據(jù)環(huán)境下，全面發(fā)展的人所需具備的重要素養(yǎng)之一。“折線”作為表達信息一種表征方式，背后蘊藏著豐富而多維的信息視角，學會從數(shù)據(jù)關聯(lián)性的角度分析、表達真實的數(shù)學世界是育人導向的需求。小學的統(tǒng)計圖、運行圖等都包含著濃濃的數(shù)據(jù)變化中的規(guī)律，信息的表達多元而簡明，借由“折線”展開的深入思考，是發(fā)展學生數(shù)學眼光和數(shù)學表達的重要渠道之一。

小學多版本教材在第三學段都不約而同地安排了有關“折線”的教學，折線不僅僅是統(tǒng)計學中的表征形式，更是表達事物發(fā)展規(guī)律的有利途徑，用思辨的角度縱觀“折線”教學，以兒童的視角審視，折線的背后還藏著哪些神秘？由蘇教版五年級下冊整理與復習版塊的一道練習題（圖1）想起，從辨明問題本質(zhì)的關聯(lián)中思考兒童信息編碼的路徑。

習題位于五下總復習版塊應用廣角部分，也是全冊教材的最后一道習題，在教學中學生和教師都存在疑問：這個內(nèi)容屬于哪個領域？對應的知識框架是什么？是折線統(tǒng)計圖嗎？關于這個問題的理解呈現(xiàn)出差異性。一方面認為：從本冊內(nèi)容整體性上觀察分析，與本練習知識上有關聯(lián)的僅可能是折線統(tǒng)計圖，但細細分析本題的內(nèi)容實質(zhì)體現(xiàn)的與統(tǒng)計還有較大差異。經(jīng)過比對蘇教版十二冊教材內(nèi)容，此處之外教材中再沒有出現(xiàn)類似的問題，六年級“正比例的圖象”一課時中出現(xiàn)了與行程、高度等相關的圖象問題，但相關聯(lián)的量都呈現(xiàn)了單一的成正比的關系，沒有出現(xiàn)更復雜的變化。直到六年級下冊總復習也未曾出現(xiàn)過與本題相似的問題，那么與此相關的信息處理到底應對接到哪個內(nèi)容板塊才更為合適？在教學中，以這道題為索引的一類問題學生在反饋中表現(xiàn)出較多困難，“折線”所表示的具體含義解讀不順暢，如何突破當下的現(xiàn)狀？

一、明晰：厘清內(nèi)容實質(zhì)的階段性與差異性

蘇教版數(shù)學在“統(tǒng)計與概率”版塊從四年級開始安排了統(tǒng)計圖表的正式學習，重點圍繞條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖三大類型展開研究。除此之外，在六年級下學期開始了正比例的探討，其中包括了正比例圖象的學習。要定位好本題的內(nèi)容、作用和價值，需要將小學相關內(nèi)容進行整體性的思考。

在核心素養(yǎng)導向的《義務教育數(shù)學課程標準》要求下，從整體性、一致性、階段性的視角出發(fā)，將內(nèi)容前后可能相關聯(lián)的知識進行比較、明晰差異（表）。

在統(tǒng)計學中，利用統(tǒng)計圖形表現(xiàn)統(tǒng)計資料，能夠體現(xiàn)簡明生動、形象具體等特點，統(tǒng)計圖能很清晰地表示現(xiàn)象間的對比、依存關系，反映空間上的分布情況。借助直角坐標系來表達量的變化情況是其中的一種形式。

小學階段研究的正比例是量的伴隨性變化中的初始模型，也是相關數(shù)學思想的滲透，正比例形成的圖象是一條經(jīng)過原點的直線。案例中表達的信息是統(tǒng)計圖還是更復雜的量的變化關系？有必要進行深入地思考與研究。

蘇教版小學數(shù)學教材“折線統(tǒng)計圖和比例圖象”相關內(nèi)容的不同要求

折線統(tǒng)計圖與正比例圖象有一定的相似性：兩者都是線形圖，雖然對應的內(nèi)容本質(zhì)不同，但外顯的形式很相似，容易產(chǎn)生混淆。此外，兩者都可以表示兩個變量間的對應關系，在動態(tài)的折線統(tǒng)計圖中統(tǒng)計數(shù)據(jù)與對應時間會產(chǎn)生變化的對應關系。成正比例的兩個量也會因一個量變化導致另一個量隨之發(fā)生變化。

折線統(tǒng)計圖與正比例圖象也有著顯著的差異性：兩者屬于不同領域的知識，折線統(tǒng)計圖屬于統(tǒng)計領域知識，通過將統(tǒng)計數(shù)據(jù)隨時間的變化進行描點連線，以此判斷數(shù)據(jù)變化的趨勢；正比例圖象屬于代數(shù)領域，它形成的圖象直觀地表示量的變化過程，便于解決問題。

上述的關系在日常教學過程中，師生們會形成一種個人的體驗和感悟，比較容易產(chǎn)生疑義的是兩者根本上的差異。比例圖象上的每一個點都有確定的意義，它表示著一組對應的取值，因此比例圖象所表達出的是連續(xù)量之間的關系。而折線統(tǒng)計圖則不然，統(tǒng)計圖上只有數(shù)據(jù)調(diào)查得到的點才是真實存在的，這些點表示統(tǒng)計對象的真實取值；而中間連線上的點不一定表示統(tǒng)計對象的真實數(shù)據(jù)，在兩個時刻之間沒有任何調(diào)查的支持，它只是一種模擬的、可能的數(shù)據(jù)。因此，雖然數(shù)據(jù)實際也是連續(xù)的，例如每隔一段時間測量體溫，溫度本身是連續(xù)存在的，但統(tǒng)計得到的數(shù)據(jù)有時間間隔，因此它是離散的，折線統(tǒng)計圖表面上看線段間是連續(xù)的，實際上是離散的，它只表示一種趨勢。

由此看來，案例中的問題表達的是一組連續(xù)量之間的關系，在小學階段展開表達式（數(shù)據(jù)）與圖象之間的切換，有助于體現(xiàn)數(shù)與形的緊密勾聯(lián)，以運動的視角研究量之間的關聯(lián)變化。

二、關聯(lián)：結(jié)構(gòu)化視角下多版本的整體關照

實際上，將連續(xù)的量借由圖象來描述數(shù)據(jù)變化，在各個版本教材中都或多或少關注到。人教版六年級上冊的數(shù)學廣角——數(shù)與形中安排一道行程問題的練習題（圖2），雖然它與蘇教版都是借助習題的形式呈現(xiàn)了此類問題模型，但對應的知識維度和能力維度不完全相同。浙教版和北師大版安排了專門的例題學習，浙教版在五年級下冊安排了“運行圖”（圖3），北師大版在六年級上冊的“數(shù)學好玩”版塊編排了汽車行駛速度情境和足球場內(nèi)的聲音情境，展開了更為系統(tǒng)的學習研究。

圖2

學生需要以動態(tài)的視角，關聯(lián)數(shù)與形間的切換，打開數(shù)學思維的通道，將數(shù)據(jù)的理解與生活現(xiàn)實聯(lián)結(jié)，這需要教師有意識地挖掘素材、啟發(fā)思路。

三、路徑：促進數(shù)學信息的雙向解碼，誘發(fā)思辨、積淀素養(yǎng)

大數(shù)據(jù)時代，讀懂、讀透數(shù)據(jù)背后的含義是學生素養(yǎng)生長所需要具有的重要能力。將數(shù)據(jù)的精確性與圖形的直觀性深度融合，有利于學生簡化思維邏輯、發(fā)現(xiàn)和揭示問題的本質(zhì)；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學問題的直觀模型，有助于發(fā)展幾何直觀、數(shù)據(jù)意識，明晰思維的路徑，探索解決問題的思路。

（一）緊扣生長點，豐富數(shù)學表達之路徑

在當下的教學中教師要關注學生的多元表征，豐富外顯思維表達的路徑，接下來的實踐探究中，教師可以適應真實情境和社會發(fā)展，擴充數(shù)學表達的多維觸角，抓住知識的生長空間。將事物發(fā)展過程中兩個伴隨量的變化用圖表動態(tài)呈現(xiàn)出來是數(shù)學表達的一種形式，以線段圖作為發(fā)展的基石，讓學生在具體問題中體會量之間的變化規(guī)律，進而借助常見的生活話題，例如上學、放學等情境，感受路程不變、交通方式的不同帶來的時間、速度的變化，理解線段背后的具體含義，逐步養(yǎng)成用數(shù)據(jù)說話→觀數(shù)據(jù)變化→話事物規(guī)律這一習慣與能力，在不同模塊的知識學習中感悟思想和方法的滲透，將問題解決、思維拓展和進階學習有效融通。

（二）拓寬閱讀空間，延展數(shù)學信息獲取之渠道

數(shù)學信息的獲取能力與數(shù)學閱讀能力存在較高關聯(lián)性，學生缺乏對信息的提取、對文本的加工能力，不能將信息轉(zhuǎn)換為自己可以理解的思維邏輯，這些都將影響他們數(shù)學閱讀能力的提升。案例中將數(shù)據(jù)信息蘊藏在線段表征下的變化過程當中，需要學生主動形成解讀信息的意識，并與生活現(xiàn)實產(chǎn)生對應關照。要想發(fā)展學生核心素養(yǎng)背景下的數(shù)學閱讀能力，教師可以有意識地給學生提供形式豐富的素材，例如文本語段、表格信息、對話場景等，于文字語言、符號語言、圖示語言不同形式的表達中抽取關鍵要素，進行有意義的理解，正如加涅的信息加工學習理論所描述的“選擇性知覺”，學生的識碼過程需要有經(jīng)驗的卷入和深度的知覺。綜上，面對生活中多種類、多維度的信息，學生需要在大視界的閱讀空間下，建構(gòu)自我的創(chuàng)造性理解。

（三）明晰分層優(yōu)化，滲透數(shù)學思想方法之根本

教師要在教學中努力地實現(xiàn)“問題解決”，而不是“解決問題”，正視學生的差異性發(fā)展，在此基礎上將數(shù)學思想潛在的價值不同程度地挖掘出來，設計不同層次的拓展話題，促進學生個性化的成長。在形與數(shù)的切換過程中拓寬對“形”外延的認識，從靜態(tài)圖到運行圖，從量的一維表達到多個量的關聯(lián)發(fā)展，再到由圖發(fā)展而來的對信息、事件的猜測、推理，這中間層層遞進。教學組織中教師可以設計更多開放空間的話題，讓不同層次的學生都能參與其中，以學業(yè)質(zhì)量的要求為核心，進行問題的解決和探究。例如可以對圖4話題進行改編，直接借由讀圖來獲取信息，增加變化過程的真實性和故事性，對不同層次的學生提出不同的要求。水平一的學生可以看圖描述每一段所表達的含義；水平二的學生根據(jù)信息解決速度相關的實際問題；水平三的學生根據(jù)圖上信息，編寫A同學這一路發(fā)生的故事，也可以要求學生仿照這樣的形式，表達一組自己身邊關聯(lián)量的變化過程，例如一場運動會上自己體溫的變化情況等，觀察從圖中讀出哪一段在正式比賽、哪一段在看比賽、推測看比賽時為什么體溫有波動等實際問題，逐步培養(yǎng)用圖來說話的能力。這樣的安排，能力的維度從單點結(jié)構(gòu)走向關聯(lián)結(jié)構(gòu)，對數(shù)據(jù)分析、幾何直觀、推理意識素養(yǎng)的逐步提升都很有幫助。

圖4 ?路程與時間關系的運行圖

數(shù)學源于對現(xiàn)實世界的抽象，讓學生用數(shù)學的眼光觀察自我的數(shù)學成長，用數(shù)學的思維認識、理解和表達現(xiàn)實世界的本質(zhì)、關系和規(guī)律。以思辨的內(nèi)容、開放的問題作為學生高階思維的發(fā)展路徑。

參考文獻：

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