在祖暅原理及其應(yīng)用的教學(xué)中授人以漁

葉燕

摘 要：《祖暅原理及其應(yīng)用》是普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修二《探究與發(fā)現(xiàn)》出現(xiàn)的內(nèi)容，堪稱我國(guó)古代數(shù)學(xué)之瑰寶.它集思想性、科學(xué)性、文化性和教育性于一體，但在實(shí)際教學(xué)中并沒(méi)有得到應(yīng)有的重視.在今年福建省高三數(shù)學(xué)質(zhì)檢中，問(wèn)題被徹底暴露出來(lái)了，這應(yīng)當(dāng)引起教育管理部門(mén)的注意，引起廣大高中數(shù)學(xué)教師的反思.

關(guān)鍵詞：祖暅原理；數(shù)學(xué)教學(xué)；授人以漁

2 原因分析

關(guān)于祖暅原理，經(jīng)過(guò)進(jìn)一步的了解，發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)考生居然對(duì)此一無(wú)所知，遑論對(duì)祖暅原理的理解與應(yīng)用了.可見(jiàn)，考生無(wú)從下手的主要原因在教學(xué)，而這又與一種客觀存在的現(xiàn)象有關(guān)，即“多考多教，少考少教，不考不教”.雖然新課改進(jìn)行了這么多年，可在當(dāng)下的高中學(xué)校，這種“為考而教，有考才教”的現(xiàn)象還未絕跡，對(duì)教師也是一個(gè)誤導(dǎo)，久而久之，潛移默化，形成錯(cuò)誤認(rèn)知，沖淡新課程理念，阻礙教師的個(gè)性化教學(xué)，使得課堂教學(xué)趨于同質(zhì)化.以祖暅原理為背景的試題在各地的高三數(shù)學(xué)模擬考中不多見(jiàn)，還讓筆者記憶猶新的，只有2013年的上海試題.這就不難理解，在當(dāng)下的高中課堂上為什么鮮見(jiàn)祖暅原理的教學(xué)了.

在高中數(shù)學(xué)課本上，除了有欄目《探究與發(fā)現(xiàn)》，還有《閱讀與思考》等欄目，這些欄目里的內(nèi)容都很精彩，若能認(rèn)真對(duì)待，不僅教學(xué)可以出彩，而且可使學(xué)生受益匪淺.況且祖暅原理非常淺顯易懂，教學(xué)中通過(guò)對(duì)鮮活生動(dòng)的例子探究，可以使學(xué)生學(xué)得興趣盎然，活學(xué)活用.可惜的是，《祖暅原理及其應(yīng)用》就像一顆遺落的明珠，高一錯(cuò)過(guò)了它，到了高三，還是沒(méi)有引起絕大多數(shù)教師足夠的重視.

學(xué)生在這道質(zhì)檢題的失敗，折射出《探究與發(fā)現(xiàn)》、《閱讀與思考》等欄目的內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的尷尬，即被邊緣化，被置之不理.同時(shí)也是一種無(wú)聲的呼喚，對(duì)于《探究與發(fā)現(xiàn)》、《閱讀與思考》等欄目的內(nèi)容，在日常教學(xué)中，真的可以當(dāng)它們?yōu)檫吔橇?，視而不?jiàn)，置之不理嗎？教師真的需要沉下心來(lái)思考，教書(shū)育人，兩位一體，是不可分割的，是不能偏廢的，但怎么融合？怎樣使《探究與發(fā)現(xiàn)》、《閱讀與思考》等欄目的內(nèi)容教學(xué)與“正文內(nèi)容”的教學(xué)相得益彰？

3 授人以漁

讓學(xué)生理解祖暅原理不難，原理本身通俗易懂，難就難在利用祖暅原理求幾何體的體積時(shí)，有一道坎，即怎樣尋找到一個(gè)既滿足祖暅原理要求，又容易求出體積的幾何體.師者，傳道解惑也.在探究半球的體積時(shí)，惑為怎么想到“去取一個(gè)底面半徑和高均為R的圓柱，從圓柱中挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面，下底面中心為頂點(diǎn)的圓錐，把所得的幾何體與半球放在同一水平面上（圖2（2））”？解惑：分析截面面積公式S1=πr2=π（R2-l2）=πR2-πl(wèi)2，而πR2-πl(wèi)2可以看成半徑分別為R和l的兩圓的面積之差，即S1可以看作是在距離大圓所在的水平面為l之處，半徑為R的圓面上挖去一個(gè)半徑為l的同心圓后，所得圓環(huán)的面積（如圖2所示）.

顯然，這個(gè)半徑為R的圓面可視其為底面半徑為R的圓柱之截面，而在該截面上挖去的同心圓，其半徑l正好等于截面和下底面的距離.進(jìn)一步分析可知，這個(gè)挖去的同心圓，可視其為一個(gè)倒立圓錐在等高處的水平截面，倒立圓錐的母線與軸成45°角.它的底面半徑和高均為R，這正是我們會(huì)想到“在一個(gè)底面半徑和高均為R的圓柱中挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面，下底面中心為頂點(diǎn)的圓錐”的原因.把所得組合體與半球放在同一水平面上（圖2（2））.

在任意等高處，這兩個(gè)幾何體的水平截面的面積總相等，于是他們的體積相等.

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