運動的精彩 想象的美妙

張浩

摘 要：在四年級下冊開展“軸對稱圖形再認識”一課的目的是讓學生在三年級軸對稱圖形的學習基礎(chǔ)上感悟軸對稱知識的本質(zhì)——圖形的運動.教學將“翻折”融入課堂，引導學生充分感知軸對稱運動，使學生的認知層次上升到“理性認識”，知道軸對稱圖形的特征，讓學生在觀察和操作中，將對知識的思考與實物模型的演示有機結(jié)合，進而在頭腦中形成表象、建立概念、以動促思、獲得空間觀念的發(fā)展，以此提升學生的數(shù)學素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：軸對稱圖形;空間觀念;數(shù)學素養(yǎng)

四年級下冊的“軸對稱圖形再認識”教學，應在“軸對稱圖形”的幾何實質(zhì)上下功夫，即采用最合適的形式，使學生體會軸對稱圖形的幾何實質(zhì)——這也就是圖形的運動方式.《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》明確提出了數(shù)學教學的總體目標是“三會”，即“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界.”［1］為了實現(xiàn)課標要求，讓核心素養(yǎng)在課堂落地，具體做法就是將“翻折”概念納入課堂教學中，以通過這種可觀測、可操縱、可表述的方式，引領(lǐng)學生全面認識軸對稱運動，真正掌握點和圖形之間變換的基本原理，并深入理解軸對稱圖形的基本特點，以此發(fā)展學生的空間觀念，提升學生的數(shù)學素養(yǎng).

1 精心觀察圖形，“對折”“翻折”變通途

由于在三年級上冊學生已初步理解了軸對稱圖形的概念，能從直觀上認識軸對稱圖形并加以區(qū)分，同時也掌握了用對折的方法對軸對稱圖形進行驗證，這是學生對軸對稱圖形的已有經(jīng)驗.然而在上述學習過程中，大部分學生只感知了兩邊圖形的形狀和大小是一樣的，對其圖形的位置變化關(guān)注度不高，對軸對稱圖形的認識有偏差，空間觀念欠佳.因此通過細致的觀察，從“對折”引出“翻折”，順應學生已有的舊知，讓學生從多維角度去感知圖形的運動，有利于為學生深入認識軸對稱圖形的特征打下基礎(chǔ).

片段一：

課件出示：

師：“對折”可以判斷一個圖形是不是軸對稱圖形.

課件動態(tài)演示：把上述圖形沿一條對稱軸進行翻折.

師：現(xiàn)在再仔細觀察，老師這里有個新的動作，你覺得叫什么？

生1：展開、翻過來、翻轉(zhuǎn)……

師：你能演示一下這個動作嗎？

讓學生手勢比劃一下.

師：對的，你們所說的展開、翻過來，這個動作在數(shù)學上就叫“翻折”.

教師帶著學生一起邊做動作邊說一說：把這半條小魚圖形沿著橫著的對稱軸向下翻折還原成了一條小魚；這個小長方形沿著豎著的對稱軸向右翻折還原成了大的長方形；這個直角三角形沿著斜著的對稱軸向右上方翻折還原成了正方形.

小結(jié)：“翻折”可以把半個圖形變成一個軸對稱圖形.

2 充分操作實物，“動”中所思長經(jīng)驗

四年級的學生空間想象能力不是很強，因此借助實物進行“翻折”操作，能在一定程度上強化學生的空間想象能力，同時多次“翻折”操作過程中也能突出本節(jié)課的重要內(nèi)容之一“對稱軸”，它是進行正確“翻折”的重要參考標準.軸對稱圖形的根本特點：對稱點的連線與對稱軸互相垂直、對稱點到對稱軸的距離相等，這些均和對稱軸有關(guān)，故實物“翻折”操作讓學生在“動”中感悟圖形的運動變化，又在多次“翻折”后的不同軸對稱圖形對比中，培養(yǎng)了學生的空間觀念.

片段二：

課件出示：

師：接下來讓我們用翻折的方法來創(chuàng)造一個軸對稱圖形吧.瞧，這是一個什么圖形？

生2：三角形.

師：想象一下，這個三角形，如果以這條豎著的邊所在的直線為對稱軸進行翻折，會形成什么圖形？誰愿意上黑板演示一下？

學生板演翻折后畫出另一半，注意翻折的動作，不要與旋轉(zhuǎn)混淆.

師：這個三角形除了可以沿豎著的邊所在直線為對稱軸進行翻折，還可以怎么翻折？

生3：還可以沿著橫著的邊或斜著的邊所在直線為對稱軸進行翻折.

師：請大家邊想象，邊動手翻一翻，再畫一畫，看看翻折后會得到什么圖形？

學生操作翻折后畫出另一半，再讓兩個學生進行板演操作.

師：為什么同一個三角形翻折后形成的軸對稱圖形不一樣呢？

生4：翻折的方向不一樣.

師：翻折方向不一樣，也就是誰的位置不一樣？

生5：就是對稱軸位置不一樣.

師：對稱軸不一樣，翻折出來的軸對稱圖形也不一樣.看來對稱軸很重要，是翻折的重要參考標準.

3 有效想象畫圖，本質(zhì)特征蘊其中

對于認識軸對稱圖形的本質(zhì)特征，本課反其道而行之，讓學生去經(jīng)歷一個探究活動——翻折畫圖，補全軸對稱圖形的另一半，通過先想象，在腦中翻折，然后畫出軸對稱圖形的另一半圖形，讓學生在操作和想象的加持下，再去發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，并解釋道理.這樣的練習，讓學生對知識點的掌握更加徹底，緊扣“翻折”這樣的圖形運動方式，經(jīng)歷自主探究、思維碰撞的過程，讓學生對技能的掌握更到位.最后通過點——線——面，圖形的由來，勾連了“翻折”（新知）和“對折”（舊知）之間的聯(lián)系，統(tǒng)一了軸對稱圖形的運動.

片段三：

課件出示：

師：如果不操作，你能發(fā)揮想象的翅膀，在頭腦中翻折嗎？翻折后會得到什么圖形呢？

生：花瓶（水壺……）.

師：是真的嗎？你能不能把想象的花瓶畫下來，為了精準，張老師給大家配了方格紙，請把你想象的圖形畫出來.

讓學生操作畫一畫，再展示學生作業(yè).

師：你們畫出來的圖形像花瓶嗎？

生：像花瓶.

師：你們的想象力真不錯，請你給大家介紹一下怎么畫的呢？

生6：我直接畫出和左邊一半一樣長的線.

師：很好，你關(guān)注了圖形的線.（手指點）線畫到這個點位置為什么拐彎往下畫了，不畫下去了呢？

生7：因為左邊這點距離對稱軸有1格，所以右邊的點也要距離對稱軸1格.

師：看來這個點的位置很重要.除了這個點，還有哪些點也很重要？

生找出點，師標出來圖形中的對稱點.

師：這些點的位置是由誰確定的呢？

生8：左右兩個點距離對稱軸的距離要一樣.

再課件出示：左半個圖形的頂點，并標上A、B、C、D.

師：為了方便交流，給這些頂點標上字母.你們找到的是這些點嗎？（課件出示：A、B、C、D點的對稱點）

生：是的.

課件動畫演示：把花瓶圖的左半邊向右翻折.

師：把左半邊圖形翻折后，你們找到的4個點和A、B、C、D這4個點會怎么樣？

生9：重合了.

師：其實這四個點就是A、B、C、D點翻折后的位置，數(shù)學上稱它們?yōu)锳、B、C、D點的對稱點.A點的對稱點用字母A′表示.都用到了A說明這兩個點有聯(lián)系，但又不一樣，所以用了A′.那其他幾個對稱點可以用什么表示？

生：可以用B′、C′、D′表示.

師：接下去怎么辦？

生10：連線.

師：現(xiàn)在將這幾組對稱點都連起來，請仔細觀察，這些對稱點的連線和對稱軸之間有哪些聯(lián)系？先和你的同學探討問題，你會有哪些發(fā)現(xiàn)？

生11：對稱點的連線與對稱軸互相垂直；對稱點到對稱軸的距離相等.

師手指圖形中左邊的點（一個在邊線格點處，另一個不在邊線格點處）.

師：這兩個點有對稱點嗎？在哪里？

生板演指一指.

師：這幅圖上像這樣的對稱點還有嗎？

生12：有無數(shù)個.

小結(jié)：軸對稱圖形中只要左邊有一個點，右邊一定有一個點和它對稱.

出示：把半個花瓶圖翻折的動畫.

師：如果把圖形沿著這條對稱軸對折，這些點會重合嗎？點的連線會重合嗎？線圍成的圖形會重合嗎？所以對折后軸對稱圖形的兩邊是怎么樣的？

生13：對折后軸對稱圖形的兩邊是完全重合的.

小結(jié)：通過探討點和點之間的相互關(guān)系，發(fā)現(xiàn)軸對稱圖形的兩個重要特點：對稱點的連線與對稱軸互相垂直；對稱點到對稱軸的距離相等.

4 多維判別錯例，空間觀念提素養(yǎng)

關(guān)于“一般的平行四邊形是否是軸對稱圖形？”的判別一直是個難點，就算學生在三年級初步判斷軸對稱圖形的練習中能用對折的方法加以驗證，但過段時間再來判斷時依然有學生會覺得一般的平行四邊形是軸對稱圖形，這是因為學生更多地還是關(guān)注圖形兩部分是否相等，而非圖形兩部分是否重合，所以應該在圖形的運動上下功夫，讓學生在腦中進行想象翻折，勾勒出形，再通過圖形上的點和點的位置關(guān)系深入分析一般的平行四邊形的特點，最后勾連圖形運動方式，對比分析小學階段學習的剛體運動——平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱之間的聯(lián)系和區(qū)別.能讓學生在腦海中將感知到的信息與心理圖式發(fā)生相互作用，得到圖形感知能力和空間想象能力的有效錘煉和提升.

片段四：

課件出示：

師：小明的說法你同意嗎？你能不能做小老師幫他解釋解釋呢？

生14：不同意.把平行四邊形沿著這條直線對折，兩邊沒有完全重合.

生15：不同意.沿著這條直線翻折，形成的圖形不是平行四邊形.

生16：這個圖形的一半平移才是平行四邊形，如果翻折的話就不是平行四邊形了.

出示：平行四邊形的一半.

師：如果把這一半圖形沿著這條對稱軸翻折，會是什么圖形？

讓學生用手勢翻折回答.

師：跟著老師一起翻折看看，會是什么圖形呢（課件出示翻折動畫）？和你想的一樣嗎？

生17：翻折后像一個箭頭.

師：我們發(fā)現(xiàn)翻折后的圖形不是平行四邊形，說明小明的想法是錯誤的.

再課件出示：

師：思考圖形中這組對應點的連線和折痕所在直線的關(guān)系，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生18：平行四邊形的對應點連線和折痕所在直線不是互相垂直，說明這條直線不是對稱軸，這個平行四邊形不是軸對稱圖形.

師：從軸對稱圖形的特征也能說明小明的說法是錯誤的.

出示：平行四邊形的一半進行平移運動，組成了一個平行四邊形.

師：看這半個圖形進行了什么運動，組成了一個平行四邊形？

生19：這半個圖形進行了平移，組成了一個平行四邊形.

師：圖形運動的方式不一樣，運動后圖形的位置不一樣，所以得到的圖形也不一樣.我們從多方面判斷這個平行四邊形不是軸對稱圖形，使我們對平行四邊形又有了更深入的認識.

5 重視運動探究，透過現(xiàn)象看根本

運動是世間萬物的基本特征，是物質(zhì)存在的基本形式.平面圖形的運動，對學生認識豐富多彩的現(xiàn)實世界、建立基本的空間觀念，以及提高對圖形美的體驗和鑒賞能力都具有非常關(guān)鍵的意義.學生在學習平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱這些內(nèi)容時主要通過操作活動積累基本活動經(jīng)驗、獲得直觀感受.由于圖形的運動是一種最主要的數(shù)學思維方式，所以不但要使學生了解運動的結(jié)果，還必須讓學生想象運動的過程，進而理解平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱運動的本質(zhì)意義，即平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱運動有一個共同的特征，就是運動之后保持任意兩點之間的相應距離不變，這也就確保了運動之后物體的形狀、大小不變.通過具體情境“這條小魚圖的面積是多大呢？”，讓學生進一步認識圖形的這種剛體運動，滲透同學間相互合作的意識，體會運用數(shù)學知識解決實際問題的實用性.讓學生認識圖形運動的一個主要目的是引導學生運用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，讓學生能夠逐漸懂得在生活中觀察和欣賞圖形的運動現(xiàn)象，進一步感受數(shù)學對人類發(fā)展的意義，感受數(shù)學的文化教育意義.通過觀察從軸對稱運動引出中心對稱運動，有利于學生在以后體會到“立體圖形也基本都是由平面圖形運動引起的”，從而開啟了學生的視野，進一步發(fā)揮了學生的個性和創(chuàng)新能力，領(lǐng)悟了圖形世界的奇妙，調(diào)動了學生的數(shù)學學習積極性，讓學生體會到了數(shù)學的實際應用價值.利用圖形的運動探索認識和證明圖形的某些特性，從而促進了學生對探索圖形特性的濃厚興趣，讓學生體會到探索圖形特性可以有不同的途徑.

片段五：

課件出示：

師：這條小魚的面積是多大呢？

讓學生討論、合作：同桌對折后的兩個半條小魚圖可拼成一個長方形 .

課件動態(tài)演示：水平方向把小魚圖平分，把下面半條小魚圖旋轉(zhuǎn)，再以水平方向為對稱軸，將下半部分翻折上去，最后平移.

師：現(xiàn)在你們會求這條魚的面積了嗎？

生20：把魚轉(zhuǎn)化成了長方形，長方形的面積就是魚的面積.

師：通過平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱這些圖形的運動巧妙地把不熟悉的圖形轉(zhuǎn)化成我們熟悉的圖形，小魚圖的面積和轉(zhuǎn)化后長方形的面積是一樣大的.

出示：

師：其實軸對稱圖形只是所有對稱圖形中的一種，那么除了軸對稱圖形還有哪些呢？你看，平行四邊形（出示），它是對稱圖形嗎？

生21：不是軸對稱圖形.

生22：是中心對稱圖形.

師：對，我們繞著中心點旋轉(zhuǎn)180°，它是不是重合了？（課件動態(tài)演示）

這就是中心對稱圖形.

師：長方形是軸對稱圖形，還是中心對稱圖形？仔細看.（課件動態(tài)演示）

小結(jié)：看來對稱圖形還有很多，軸對稱圖形只是其中的一種.

師：如果把這個長方形沿著長（或?qū)挘┬D(zhuǎn)一周，又會是怎樣的圖形呢？你又有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：……

一種概念的產(chǎn)生，是指學生將現(xiàn)有經(jīng)驗活化后更新的產(chǎn)物.就軸對稱圖形的概念來說，采用“翻折”這種經(jīng)驗展開教學活動，不但有助于學生了解圖形運動的實質(zhì)，同時也促進了學生空間想象能力的發(fā)展，更主要的是可以改變學生的思考方法，即用運動的眼光認識空間圖形、探究幾何圖形問題.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準：2022年版［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.