深研概念教學(xué),厘清“來(lái)龍”和“去脈”

潘永斌

摘 要：本文以“函數(shù)的單調(diào)性”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，分析了在教學(xué)過(guò)程中，如何厘清數(shù)學(xué)概念的“來(lái)龍”與“去脈”，突破數(shù)學(xué)抽象的難點(diǎn)，以期為教師在后續(xù)教學(xué)中更好地開(kāi)展概念教學(xué)和大單元教學(xué)提供思路與啟發(fā).

關(guān)鍵詞：函數(shù)的單調(diào)性;數(shù)學(xué)抽象;教學(xué)設(shè)計(jì)；大單元數(shù)學(xué)

“函數(shù)的單調(diào)性”作為高中階段學(xué)生接觸并研究的第一個(gè)函數(shù)性質(zhì)，通過(guò)函數(shù)單調(diào)遞增（減）、增（減）區(qū)間以及增（減）函數(shù)概念的生成，逐步完善了“函數(shù)的單調(diào)性”的知識(shí)體系.同時(shí)，在江蘇鳳凰教育出版社出版的《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》必修一中，給出了利用數(shù)學(xué)抽象研究函數(shù)單調(diào)性的步驟與方法，為學(xué)生后續(xù)研究函數(shù)的奇偶性等性質(zhì)以及具體的基本初等函數(shù)的性質(zhì)提供了依據(jù)，在函數(shù)性質(zhì)的研究方法層面上逐步形成系統(tǒng).

筆者將以“函數(shù)的單調(diào)性”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，談一談對(duì)概念教學(xué)、大單元教學(xué)的粗淺理解，以及如何在獲得數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程中，厘清概念教學(xué)中的“來(lái)龍”與“去脈”，以便在后續(xù)教學(xué)中更好地開(kāi)展概念教學(xué)和大單元教學(xué).

1 數(shù)學(xué)抽象的作用和意義

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》）提出數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，其中數(shù)學(xué)抽象位居首位.數(shù)學(xué)抽象作為數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的思維基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分.

數(shù)學(xué)抽象的作用和意義主要體現(xiàn)在如下幾個(gè)方面：（1） 獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則是數(shù)學(xué)抽象的一個(gè)重要表現(xiàn)；（2） 提出數(shù)學(xué)命題和模型是數(shù)學(xué)抽象的一個(gè)重要過(guò)程；（3） 數(shù)學(xué)方法與思想是數(shù)學(xué)抽象的一個(gè)重要產(chǎn)物；（4） 認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系是數(shù)學(xué)抽象的一個(gè)更高水平.

2 獲得數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程

根據(jù)抽象程度的不同，史寧中教授將數(shù)學(xué)抽象過(guò)程細(xì)分為三個(gè)階段：一是簡(jiǎn)約階段，把握事物本質(zhì)，把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化并條理清晰地表達(dá)；二是符號(hào)階段，去掉事物的具體內(nèi)容，利用符號(hào)和關(guān)系術(shù)語(yǔ)等表述已簡(jiǎn)約化的事物；三是普適階段，通過(guò)假設(shè)和推理，建立法則或者模型，能在一般意義上描述具體事物的特征或規(guī)律.這三個(gè)階段相互連接，后一個(gè)階段建立在前一階段的基礎(chǔ)之上.

數(shù)學(xué)概念的獲得包括概念形成和概念同化兩種基本方式.數(shù)學(xué)概念的形成，通常會(huì)經(jīng)歷以下三個(gè)階段：首先，從直觀的背景、具體的材料中抽離出事物的本質(zhì)特征；其次，對(duì)抽象概括的對(duì)象給予一般表示，并且用符號(hào)進(jìn)行表述；最后，根據(jù)符號(hào)階段得出的結(jié)論進(jìn)行定義，形成概念系統(tǒng)進(jìn)而應(yīng)用.

函數(shù)單調(diào)性概念的建構(gòu)過(guò)程充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的三個(gè)階段：

第一階段是抽離出事物的本質(zhì)特征，建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性的具象意義，以圖形語(yǔ)言表征——在什么范圍內(nèi)圖象是逐漸上升的，在什么范圍內(nèi)圖象是逐漸下降的.

如圖，氣溫θ是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)，記為θ=f（t），觀察這個(gè)氣溫變化圖，說(shuō)出氣溫在哪些時(shí)間段內(nèi)是逐漸升高的，在哪些時(shí)間段內(nèi)是逐漸下降的？

第二階段又可分為兩個(gè)層次：第一層次為自然語(yǔ)言表征——函數(shù)f（x）隨著x的增大而增大（減小）.

教師提出問(wèn)題：觀察下列函數(shù)的圖象，指出函數(shù)圖象變化的趨勢(shì).

學(xué)生提煉出自然語(yǔ)言表征：圖象的這種“升”（“降”）的規(guī)律反映了隨著自變量x的增大，函數(shù)值增大（減?。?

第二層次為符號(hào)語(yǔ)言表征——x1，x2∈I（其中ID，D為函數(shù)f（x）定義域），當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）＜（＞）f（x2）.

第三階段是單調(diào)遞增（減）、增（減）區(qū)間、增（減）函數(shù)等概念的生成及應(yīng)用.

3 函數(shù)單調(diào)性概念的數(shù)學(xué)抽象的難點(diǎn)

3.1 用符號(hào)語(yǔ)言表征函數(shù)的單調(diào)性的必要性

最直觀的、最簡(jiǎn)單的得出函數(shù)單調(diào)性的方法當(dāng)然是觀察函數(shù)圖象的上升或者下降的趨勢(shì)，這也就是單調(diào)性的圖形語(yǔ)言；要將圖形語(yǔ)言表示成自然語(yǔ)言，就是要判斷函數(shù)自變量增大時(shí)，函數(shù)值到底是增大還是減小，這是求函數(shù)極值和最值的關(guān)鍵；而用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表示自然語(yǔ)言，從而利用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性，是學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的根本目的之一.不難看出，表征函數(shù)單調(diào)性從圖形語(yǔ)言到自然語(yǔ)言最后到符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化過(guò)程，是一個(gè)難度逐漸加大的過(guò)程，也是單調(diào)性這個(gè)概念逐步深化的過(guò)程.因此，從教學(xué)的角度而言，從圖形語(yǔ)言到自然語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言的過(guò)渡是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn).這一過(guò)渡，一般來(lái)說(shuō)可以用“圖形反映出的這種變化趨勢(shì)用語(yǔ)言或數(shù)學(xué)符號(hào)該怎么描述”來(lái)完成，但是這樣的處理方式，容易讓學(xué)生產(chǎn)生“多此一舉”的想法——既然用圖形可以判斷，何必還要用自然語(yǔ)言或符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表示呢？概念建構(gòu)過(guò)程中要讓學(xué)生意識(shí)到用符號(hào)語(yǔ)言表征的必要性.

函數(shù)的單調(diào)性這一節(jié)的教學(xué)應(yīng)當(dāng)經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象得出概念并應(yīng)用概念的過(guò)程，讓學(xué)生看清楚數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程.對(duì)于已知圖象或者可以畫(huà)出圖象的函數(shù)，可以借助函數(shù)的圖象直接予以判斷；可倘若已知函數(shù)解析式，卻出于某種原因暫時(shí)難以畫(huà)出甚至畫(huà)不出圖象，此時(shí)就需要借助新的代數(shù)方法對(duì)函數(shù)的單調(diào)性作出判斷，這就是用符號(hào)語(yǔ)言表征函數(shù)單調(diào)性的“來(lái)龍”之一——必要性.學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性后，借助代數(shù)方法對(duì)函數(shù)的單調(diào)性作出判斷，然后大致畫(huà)出函數(shù)圖象的示意圖，進(jìn)而直觀感受函數(shù)的特征，這就是用符號(hào)語(yǔ)言表征函數(shù)單調(diào)性的“去脈”之一.

3.2 函數(shù)單調(diào)性概念的數(shù)學(xué)抽象的難點(diǎn)及突破

通過(guò)對(duì)具體圖象的觀察得到變化趨勢(shì)的直觀感知，以圖形語(yǔ)言和自然語(yǔ)言進(jìn)行表征，這個(gè)過(guò)程對(duì)思維要求較低.單調(diào)性概念的數(shù)學(xué)抽象主要難在用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)形式化表征單調(diào)性時(shí)，如何最大限度尊重并引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“自己的表達(dá)”.筆者提供如下兩種設(shè)計(jì)思路，供同仁參考（以“函數(shù)f（x）隨著x的增大而增大”為例）.

設(shè)計(jì)一：利用極限無(wú)限逼近的辦法來(lái)刻畫(huà)x1、x2間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)從有限到無(wú)限的突破，再利用有限來(lái)表達(dá)無(wú)限.

而利用極限思想來(lái)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力在學(xué)習(xí)漸近線（函數(shù)圖象、雙曲線）、瞬時(shí)變化率、導(dǎo)數(shù)的概念時(shí)顯然是不可或缺的.

設(shè)計(jì)二：條分縷析，用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)分步逐句翻譯、表征“函數(shù)f（x）隨著x的增大而增大”.

這其中又有兩大思維難點(diǎn)：其一是“x增大”和“f（x）增大”中的“增大”如何用符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行表示；其二是對(duì)于“函數(shù)f（x）隨著x的增大而增大”，如何用符號(hào)語(yǔ)言表示“隨著”.

3.2.1 如何用符號(hào)語(yǔ)言表示“增大”？

“增大”意味著需要比較兩個(gè)量，“增大”表現(xiàn)的是持續(xù)的變化狀態(tài)，顯然不可以用具體數(shù)值來(lái)刻畫(huà)“持續(xù)”，由于字母具有一般性，可用字母表示數(shù).這樣逐步引出用不等式和字母來(lái)進(jìn)行表達(dá)，即“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）”.

3.2.2 如何將“隨”符號(hào)化？

當(dāng)x1＜x2時(shí)，有f（x1）＜f（x2）.

用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)分步逐句翻譯、表征自然語(yǔ)言，是每位學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的基本功，是后續(xù)對(duì)稱性、周期性等內(nèi)容學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).

能否引導(dǎo)學(xué)生從有限→無(wú)限→所有→任意或者從靜態(tài)→動(dòng)態(tài)→所有→任意不斷實(shí)現(xiàn)跨越，能否確保每一次過(guò)渡做到水到渠成不生硬，除了要看教師是否具備良好的教學(xué)基本功和能否較為合理地設(shè)問(wèn)外，有沒(méi)有“來(lái)龍”同樣至關(guān)重要.

事實(shí)上，江蘇鳳凰教育出版社出版的《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》必修一第二章《簡(jiǎn)單邏輯用語(yǔ)》第三節(jié)全稱量詞命題和存在量詞命題中是這樣定義的：“所有”“任意”“每一個(gè)”等表示全體的詞在邏輯學(xué)中稱為全稱量詞（Universal Quantifier），通常用符號(hào)“x”表示“任意x”.全稱量詞命題：x∈M，p（x）.

任意x1，x2的“來(lái)龍”正在于此，這也正是突破單調(diào)性概念的數(shù)學(xué)抽象的最難點(diǎn)的“來(lái)龍”.

4 深研概念教學(xué)，厘清“來(lái)龍”與“去脈”

在高觀點(diǎn)下對(duì)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)梳理以及完整描述某個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識(shí)體系，可以讓學(xué)生理解通過(guò)數(shù)學(xué)抽象獲得知識(shí)的重要性及必要性，進(jìn)而展現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的獨(dú)特魅力.

能熟練地進(jìn)行圖形語(yǔ)言、自然語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的基本功.多種語(yǔ)言形式的相互表征，也為后續(xù)學(xué)習(xí)對(duì)稱性（奇偶性）、周期性、線面垂直的判定、瞬時(shí)變化率、導(dǎo)數(shù)等提供了知識(shí)和方法上的準(zhǔn)備.

函數(shù)單調(diào)性概念的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程中的難點(diǎn)和關(guān)鍵之處既是全稱量詞與存在量詞命題的“去脈”，又是對(duì)稱性（奇偶性）、周期性、線面垂直的判定、瞬時(shí)變化率、導(dǎo)數(shù)等學(xué)習(xí)的“來(lái)龍”.

整個(gè)函數(shù)的單調(diào)性概念的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程展現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識(shí)的“來(lái)龍”“去脈”以及知識(shí)結(jié)構(gòu)的延續(xù)與升華，其中所包含的由有限到無(wú)限再化無(wú)限為有限的思想也充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的哲學(xué)內(nèi)涵.

抽象的步驟、方法可以運(yùn)用到新的問(wèn)題研究中去，抽象出來(lái)的知識(shí)可以運(yùn)用到實(shí)際生活和實(shí)踐中.同時(shí)，在這個(gè)過(guò)程中，數(shù)學(xué)抽象的魅力也體現(xiàn)在可以化無(wú)限為有限，通過(guò)有限的對(duì)象來(lái)替代無(wú)限的對(duì)象，進(jìn)而簡(jiǎn)化研究問(wèn)題.極限思想的啟蒙，為后續(xù)導(dǎo)數(shù)概念的生成奠定了基礎(chǔ).而這些，都是抽象的“去脈”.

了解數(shù)學(xué)理論體系及完善過(guò)程，理順不同知識(shí)模塊、研究領(lǐng)域之間的聯(lián)系與統(tǒng)一性，并對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系進(jìn)行抽象有助于我們看清知識(shí)的“來(lái)龍”與“去脈”.在整個(gè)高中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系中，這樣的“來(lái)龍”與“去脈”還有很多.教師只有深入挖掘、深刻領(lǐng)會(huì)，才能在大單元教學(xué)中，厘清概念教學(xué)中的“來(lái)龍”與“去脈”，進(jìn)而幫助學(xué)生厘清高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中概念知識(shí)生成、思想方法習(xí)得的“來(lái)龍”與“去脈”.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第1輯）：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象［M］.長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2008.

［3］ 李昌官.數(shù)學(xué)抽象及其教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017（4）：61-64.

［4］ 張宗余，馮斌.數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)概念教學(xué)抹不開(kāi)的情愫［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2017（2）：33-35+63.

［5］ 章建躍.高中數(shù)學(xué)教材落實(shí)核心素養(yǎng)的幾點(diǎn)思考［J］.課程·教材·教法，2016（7）：44-49.