基于數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的高三復(fù)習(xí)實(shí)踐與思考

劉鳳珠

摘要：數(shù)學(xué)運(yùn)算是六大核心素養(yǎng)中最基本的素養(yǎng)，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必備能力.從2022年新高考全國(guó)卷可以看出，整張?jiān)嚲碛?jì)算量非常大，很多考生時(shí)間都不夠用.如何培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，使其在有限的兩小時(shí)內(nèi)盡可能快速準(zhǔn)確地解決問題，是每位教師面臨的一大難題.若僅靠大量的機(jī)械運(yùn)算，往往收效甚微，這就需要教師合理設(shè)計(jì)好每一堂課，落實(shí)到每一道具體題目中.本文以三角恒等變換為例，談一談如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)運(yùn)算；三角恒等變換；課堂教學(xué)

1問題提出

利用公式對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行的恒等變換就是三角恒等變換.這節(jié)內(nèi)容在教學(xué)中處于上承三角函數(shù)下啟解三角形的位置，往往與解三角形一起考查，那么新高考到底考什么？下面整理了近三年三角函數(shù)與三角恒等變換及解三角形在新高考卷上的分布：

從表格中我們發(fā)現(xiàn)：新高考對(duì)三角恒等變換這塊考查并不是單一的，而是互相關(guān)聯(lián)的，用多個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)構(gòu)建了綜合問題，而且從未來考查趨勢(shì)看，應(yīng)該會(huì)維持這種關(guān)聯(lián)性并向外拓展，充分體現(xiàn)了“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”的綜合評(píng)價(jià)［1］.而利用三角恒等變換化簡(jiǎn)三角函數(shù)式歷來是教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)難點(diǎn)，因?yàn)樵诨?jiǎn)的過程中涉及到的公式很多，知識(shí)面較廣，靈活性也較強(qiáng)，若第一個(gè)選擇方向不對(duì)，有可能導(dǎo)致化不出來，又或觀察力不強(qiáng)，只會(huì)死算，計(jì)算量大，費(fèi)的時(shí)間也多，很可能又一不小心化錯(cuò)，導(dǎo)致整個(gè)解答題失分的都有，如何讓學(xué)生合理地分析問題，找準(zhǔn)方向，分析問題，解決問題呢？

2問題解決

2.1注重概念教學(xué)，注重公式定理法則的證明

概念知識(shí)是一般數(shù)學(xué)運(yùn)算的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)操作的重要載體，是提高學(xué)生運(yùn)算能力基礎(chǔ)的重要保障.要提高運(yùn)算能力，就必須對(duì)數(shù)學(xué)概念有深刻的認(rèn)識(shí).在數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展概念知識(shí)，幫助學(xué)生理解公式的應(yīng)用規(guī)律，學(xué)會(huì)選擇正確的數(shù)學(xué)規(guī)律解題，以保證數(shù)學(xué)概念與運(yùn)算過程的一致性，促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)和理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)在規(guī)律［2］.

對(duì)于三角恒等變換的復(fù)習(xí)，可以從回顧公式及其推導(dǎo)開始，如在新教材中對(duì)于兩角差的余弦公式的推導(dǎo)是用三角形全等和距離公式推導(dǎo)的（沒有三角函數(shù)線的概念，沒有學(xué)到向量的知識(shí)和解三角形的知識(shí)）.但作為復(fù)習(xí)課，教師完全可以放開讓學(xué)生用已有的知識(shí)大膽的去證明：

教師可以有選擇性的去引導(dǎo)學(xué)生選擇證明的方法，如可以選擇以下兩個(gè)方法.

方法1：構(gòu)建單位圓轉(zhuǎn)化為向量，用向量的數(shù)量積證明.

方法2：構(gòu)建單位圓轉(zhuǎn)化到三角形中，用余弦定理及兩點(diǎn)間距離公式證明或三角形全等及兩點(diǎn)間距離公式證明.

課標(biāo)中明確指出數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程，主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等［3］.這樣的設(shè)計(jì)使學(xué)生充分了解公式的來龍去脈，既證明了公式加深了印象，讓學(xué)生更好地轉(zhuǎn)化為自己的知識(shí)，更靈活地去運(yùn)用它，又復(fù)習(xí)了向量的數(shù)量積，解三角形等知識(shí)，讓學(xué)生體會(huì)到知識(shí)是環(huán)環(huán)相扣的，感受數(shù)學(xué)運(yùn)算的魅力，更好地提高對(duì)運(yùn)算的興趣.因此教師要對(duì)定理、公式等的證明進(jìn)行講解，幫助學(xué)生更加深入地了解其中的內(nèi)在關(guān)系、理解其中的運(yùn)算對(duì)象，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2.2注重例題分析

這里以教學(xué)中的幾個(gè)片段為例

教學(xué)片段1

化簡(jiǎn)：（2cos4x－2cos2x＋（1?2??2tan（（π?4?－xsin2（（π?4?＋x?＝______.

本題看著有點(diǎn)復(fù)雜，所以部分有畏難心理的學(xué)生已經(jīng)放棄嘗試了，另外部分學(xué)生無(wú)方向的嘗試后并沒有化簡(jiǎn)出來，也說明了這些同學(xué)可能公式并不是很熟練，以下為幾位化簡(jiǎn)出來的同學(xué)的解題思路.

生1：分子上先提出個(gè)2，里面是個(gè)完全平方，再用降冪公式2JB（（cos2x－?1?2?2=2?1+cos2x?2?－?1?2?2=?1?2?cos22x，分母上先切化弦，然后全部展開?2??2??2?cosx－??2??2?sinx） ??2??2?cosx+??2??2?sinx?·??2??2?cosx+??2??2?sinx）2=2??2??2?cosx－??2??2?sinx）·??2??2?cosx+??2??2?sinx）

=cos2x－sin2x=cos2x，

最終結(jié)果是?1?2?cos2x.

生2：我分母上沒看出來是完全平方，直接用降冪公式代入化簡(jiǎn)，再展開計(jì)算就可以了2?1+cos2x?2?2－2·?1+cos2x?2?+?1?2?=?1?2?cos22x，分母上和生1是一樣.

生3：我是看到前面次數(shù)較高，就提了個(gè)cos2x出來試試，化著化著就出來了，

分母也是和前面兩位同學(xué)一樣做的.

師：很好！生1的觀察能力強(qiáng)，發(fā)現(xiàn)了分子上是個(gè)完全平方，再用降冪公式處理，很快解決了，但若能結(jié)合二倍角公式提個(gè)?1?2?，里面直接是cos22x就更快了；生2看見次數(shù)高，能想到降冪公式降次處理，是我們常用的方法，也能大膽的全部展開嘗試下去，很不錯(cuò)；生3雖然看著無(wú)方向但有公因式提取公因式后，能用同角三角函數(shù)關(guān)系式逆用，倍角公式的逆用進(jìn)行化簡(jiǎn)，就要做到底，不半途而廢，也很不錯(cuò).從解答中可以看出三位同學(xué)都熟練掌握了公式，但分母的處理都是直接展開計(jì)算的，我們一起觀察一下，里面出現(xiàn)了?π?4?－x，?π?4?+x這兩個(gè)非常特殊的角，是可以用誘導(dǎo)公式互化的sin?π?4?+xJB））=cos?π?4?－xJB）），那么

原式?＝（（1?2?（4cos4x－4cos2x＋1）?2·（sin（（π?4?－x?cos（（π?4?－x?·cos2（（π?4?－x

＝（（2cos2x－1）2?4sin（（π?4?－xcos（（π?4?－x

＝（cos22x?2sin（（π?2?－2x??＝（cos22x?2cos2x

=（1?2?cos2x.

師：我們不能隨意落筆計(jì)算，而是要在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，結(jié)合三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)選擇方法的.一般可以遵循“三看”原則：①看角之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)?π?4?－x，?π?4?+x之間的互余關(guān)系，則可化為同一個(gè)角；②看函數(shù)名稱，有切有弦時(shí)，常常切化弦，化成統(tǒng)一形式；③看次數(shù)，次數(shù)不同時(shí)可用降冪或升冪公式化到同次，基本遵循化統(tǒng)一的原則.另外再結(jié)合公式的熟練度和一定的觀察力，就能達(dá)到正確運(yùn)算、快速解決問題的目的.

變式練習(xí)1：化簡(jiǎn)求值：（1＋cos20°?2sin20°?－sin10°JB<2（（1?tan5°?－tan5°

變式練習(xí)2：化簡(jiǎn)求值：?sin5°－sin20°cos15°?cos5°－sin20°sin15°?.

教學(xué)片段2已知cos（θ＋（π?4?＝（10??10?，θ∈（0，（π?2?，則sin（2θ－（π?3?＝______.

生1：把前面的展開化簡(jiǎn)得cosθ－sinθ=??5??5?，再和cos2θ+sin2θ=1聯(lián)立方程組解出sinθ，cosθ，再解出sin2θ，cos2θ，代入最終的目標(biāo)即可.

生2：換元，令t=θ+?π?4?，反解出θ=t－?π?4?，則已知條件是cost=??10??10?，所求目標(biāo)也用t表示，是sin?2t－?5π?6?，再算出sin2t，cos2t代入即可.

生3：cos2?θ+?π?4?=－sin2θ=2cos2?θ+?π?4?－1，即sin2θ=?4?5?，再算出cos2θ，直接代入即可.

師：確實(shí)，三種方法都能算出結(jié)果，請(qǐng)同學(xué)們把自己選擇的方法先算一算，再用其他同學(xué)的方法算一算，對(duì)比一下，然后想一想下次遇到這種問題如何處理.

師：（投影）很明顯，第一種方法的運(yùn)算量最大，是很直接的公式展開計(jì)算，在聯(lián)立方程組計(jì)算量不算大的時(shí)候可以選擇用；第二種方法是我們常說的“角變換”，“湊角”的思想，是一種全新的運(yùn)算思路，并且用整體換元的方法簡(jiǎn)化了湊角的過程，提高了運(yùn)算的準(zhǔn)確性和快捷性；第三種方法比較特殊，正好已知角是θ+?π?4?，它的二倍角正好是2θ+?π?2?，可以用誘導(dǎo)公式化掉?π?2?直接得到2θ的三角函數(shù)值，運(yùn)算量最小，速度最快，準(zhǔn)確性最高.對(duì)于這題，選這種方法最好.不過如果把已知角換成θ+?π?3?，第三種方法就不適用了，它不具有一般性，第一第二中具有一般性，一般會(huì)選第二中湊角的方法比較好.

變式練習(xí)1：設(shè)α為銳角，若cosJB（（α+?π?6?=?4?5?，則sinJB（（2α+?π?12?的值為______.

變式練習(xí)2：已知α，β均為銳角，cosα＝（27??7?，sinβ＝（33??14?，則2α－β＝______.

教學(xué)片段3已知cos?π?4?+θJB））=?4?5?，?17π?12?<θ

KG5*2?KG5*2?KG5*2?KH-1

A．?100?21

B.-?100?21

C.?75?28

D.-?75?28

本題是2022無(wú)錫市期中調(diào)研卷第7題，據(jù)統(tǒng)計(jì)，校均分為2.34，我所帶的兩個(gè)班級(jí)，分別為1.91和3.27，整體并不是很理想.所以在評(píng)講試卷時(shí)，請(qǐng)同學(xué)們先說一說自己的做法.

生1：老師，您在前面強(qiáng)調(diào)過角變換，所以我第一反應(yīng)就是先用角變換把cosθ=cos?π?4?+θ-?π?4?算出來，再求出sinθ，tanθ，全部帶入做的，感覺也挺順利，就是不知道哪里算錯(cuò)了.

師：能想到用角變換計(jì)算cosθ，很不錯(cuò)，節(jié)省了時(shí)間，那計(jì)算sinθ時(shí)有沒有根據(jù)角的范圍判斷正負(fù)？還是平方出來直接取正？此方法計(jì)算量還是有的，所以一定要細(xì)心運(yùn)算才行.順便問一問，有沒有同學(xué)拆出來和sin2θ+cos2θ=1聯(lián)立方程計(jì)算的？舉手看看（很多個(gè)同學(xué)舉起了手）死算的計(jì)算量很大，易出錯(cuò)，費(fèi)的時(shí)間也多，還影響了后面的解題.那有沒有其他方法呢？

生2：我是先把后面的式子切化弦，然后用輔助角公式化簡(jiǎn).

教師板書：

原式=?1-?sinθ?cosθ??2sin2θ+sin2θ?=?cosθ-sinθ?2sinθcosθ（sinθ+cosθ）?=??2?cosJB（（θ+?π?4??sin2θ·?2?sinJB（（θ+?π?4??=?cosJB（（θ+?π?4??sin2θ·sinJB（（θ+?π?4??.

生2：分子上就是題目所給的條件，分母上的sin2θ用二倍角公式cos2?π?4?+θJB））計(jì)算.

教師板書：cos2?π?4?+θJB））=2cos2?π?4?+θJB））-1=2·?16?25?-1=?7?25?.

生2：sin?π?4?+θJB））用平方和等于1的解一下就行，主要是判斷一下正負(fù).

教師板書：∵?17π?12?<θ

∴原式=??4?5???7?25?·?3?5??=?100?21?.

教室里一片驚嘆聲！哇！有些同學(xué)說我花了二十分鐘才算出來的居然這么簡(jiǎn)單！

師：生2的方法確實(shí)最簡(jiǎn)潔，把所求化到最簡(jiǎn)，然后根據(jù)條件及?π?4?+θ的特殊性，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄌ幚?，快速?zhǔn)確地解決了問題，說明三角恒等變換中的公式已經(jīng)熟練掌握并能靈活運(yùn)用，節(jié)省了時(shí)間提高了運(yùn)算的信心.還有不同的解法嗎？

生3：我是弦化切做的，發(fā)現(xiàn)分母上都是二次的，再構(gòu)造一個(gè)分母化成齊次式，全部化到切，然后用生1的方法把tanθ算出來代入即可.

教師板書：原式=?1-tanθ??2sin2θ+2sinθcosθ?sin2θ+cos2θ??=?1-tanθ??2tan2θ+2tanθ?tan2θ+1??=?（1-tanθ）（tan2θ+1）?2tan2θ+2tanθ?.

師：不錯(cuò)！生3的方法說明對(duì)弦化切的模型非常熟悉，并能用角變換的方法求解cosθ，sinθ，再求出tanθ，而不是一味的死算，很好！

對(duì)于片段1和2，是在復(fù)習(xí)三角恒等變換時(shí)講解的，而片段3是最近考試遇到的，但可以發(fā)現(xiàn)，其實(shí)片段3的題不正是1和2的綜合嗎！可是學(xué)生對(duì)綜合題的分析還是欠缺的，只顧一味地死算，做題時(shí)沒有思考怎么算才是最優(yōu)地，沒有預(yù)判，這可能和平時(shí)地習(xí)慣有關(guān)系，平時(shí)作業(yè)多，每一道題都沒有仔細(xì)地考慮就下筆算了.

3問題提升

課堂上教師要舍得留時(shí)間讓學(xué)生自主探索、嘗試.在這個(gè)過程中，他們可能會(huì)遇到很多困難，走很多彎路，甚至費(fèi)了很多時(shí)間精力卻算不下去，但是只有經(jīng)歷了這個(gè)過程，學(xué)生們才能在挫折中成長(zhǎng)，找到更優(yōu)的解決問題的方法，這個(gè)過程對(duì)于學(xué)生探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序具有重要意義.三角恒等變換中的角變換往往是解題的關(guān)鍵，解題時(shí)需要根據(jù)已知條件去湊所求的角，若已知角只有一個(gè)，可以用整體換元的思想簡(jiǎn)化湊角的過程，若已知角有兩個(gè)，可以把兩個(gè)角加或減，或乘2除2再加或減去湊角，讓學(xué)生從三角恒等變換的解題過程中吸取教訓(xùn)，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

課堂上教師也要舍得花時(shí)間演示計(jì)算過程，不能因?yàn)槭羌冇?jì)算題而不講解了或口頭說說，忽視了運(yùn)算中學(xué)生會(huì)遇到的計(jì)算障礙.如2022無(wú)錫市期中調(diào)研考試第18（2）題，是個(gè)向量的計(jì)算題，很多學(xué)生卡死在了計(jì)算上，只會(huì)死算展開，就會(huì)出現(xiàn)高次，化不下去了，而不會(huì)一開始就把能提取公因式地先提取，我校整個(gè)年級(jí)地均分只有1.58分（總分8分）.所以教師一定要重視板書演示計(jì)算過程，慢慢滲透到學(xué)生們的心里，克服畏難運(yùn)算心理，使他們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的樂趣.

課后作業(yè)要精選，讓學(xué)生對(duì)每一道題都有思考地時(shí)間，對(duì)于有難度的題，也有嘗試的時(shí)間，而不是為了完成作業(yè)趕任務(wù)似的，草草看一下就做，甚至有點(diǎn)難度的題嘗試了一下不會(huì)就放棄了.一定要讓學(xué)生多思考，多嘗試，多對(duì)比，才能提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)的“童子功”，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)提升，不是一朝一夕的一日之功，而是堅(jiān)持不懈的日日之功.教師課前可以用學(xué)生的思維方式去分析思考問題，盡可能的想到學(xué)生會(huì)出現(xiàn)哪些障礙，設(shè)計(jì)好恰當(dāng)?shù)膯栴}串，幫學(xué)生做好鋪墊，讓學(xué)生在課堂上提高效率，提高學(xué)生的運(yùn)算信心，進(jìn)而提高學(xué)生的運(yùn)算能力.

參考文獻(xiàn)：

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