系統(tǒng)觀下“平行四邊形及其性質(zhì)”的教學(xué)設(shè)計(jì)

陳琳

摘要：在系統(tǒng)觀的引領(lǐng)下，教師通過(guò)將所學(xué)知識(shí)置于學(xué)科體系中設(shè)計(jì)教學(xué)，使學(xué)生通過(guò)回顧已有的經(jīng)驗(yàn)和方法，獲得研究對(duì)象并能有序思考提出值得研究的幾何問(wèn)題，構(gòu)建“前后一致，邏輯連貫”的學(xué)習(xí)過(guò)程，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：系統(tǒng)觀；理性思維；平行四邊形性質(zhì)

系統(tǒng)觀下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，指的是將所學(xué)知識(shí)置于學(xué)科知識(shí)體系的角度來(lái)設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)過(guò)程，讓學(xué)生通過(guò)梳理以往學(xué)習(xí)的相關(guān)內(nèi)容，提煉研究經(jīng)驗(yàn)和方法，在運(yùn)用同樣的方法做相似的事情，一以貫之地學(xué)習(xí)新知識(shí)，構(gòu)建“前后一致、邏輯連貫”的學(xué)習(xí)過(guò)程，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).初中幾何教學(xué)中，往往可以借助“類(lèi)比”建構(gòu)知識(shí)，是系統(tǒng)觀下學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)開(kāi)展的典型.本文以“平行四邊形及其性質(zhì)”為例談?wù)剬?duì)系統(tǒng)觀下進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的認(rèn)識(shí)與理解.

1備課過(guò)程中的相關(guān)思考

1.1以“系統(tǒng)觀”為指導(dǎo)的內(nèi)容解析

本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)完整學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)容后，對(duì)特殊四邊形——平行四邊形進(jìn)一步的研究.在以“系統(tǒng)觀”為指導(dǎo)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，平行四邊形的研究可以以特殊三角形的研究思路“定義——性質(zhì)——判定——應(yīng)用”為參照.在具體的研究?jī)?nèi)容上，平行四邊形的定義依然采用特殊三角形的定義方式即屬加種差，而性質(zhì)的研究是對(duì)其構(gòu)成的要素（基本要素、相關(guān)要素）特征的揭示這一經(jīng)驗(yàn)指導(dǎo)下，平性四邊形的性質(zhì)研究就是要找出邊、角、對(duì)角線不變的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，從而歸納得到性質(zhì)定理.平行四邊形的性質(zhì)定理也為證明兩條線段相等、兩角相等以及兩條直線平行提供了新的方法和依據(jù).因此，本節(jié)課的內(nèi)容既是平行線的性質(zhì)、全等三角形、特殊三角形等知識(shí)的延續(xù)和深化，同時(shí)也是后續(xù)學(xué)習(xí)特殊平行四邊形的基礎(chǔ).基于以上分析，本節(jié)課的重點(diǎn)是平行四邊形的性質(zhì)及其應(yīng)用.

1.2目標(biāo)建構(gòu)與難點(diǎn)分析

基于課標(biāo)要求，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為：（1）理解平行四邊形的概念；（2）探索并證明平行四邊形的性質(zhì)；（3）能根據(jù)定義或性質(zhì)解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題；（4）進(jìn)一步體會(huì)幾何研究的一般思路與方法.

達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志：能用文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言來(lái)描述平行四邊形的定義，知道平行四邊形與四邊形的區(qū)別與聯(lián)系.達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志：能通過(guò)觀察、操作發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)，能發(fā)現(xiàn)一條對(duì)角線把平行四邊形分成兩個(gè)全等的三角形，并對(duì)性質(zhì)進(jìn)行證明，能用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確表述性質(zhì)的含義.達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志：能利用性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算或證明.達(dá)成目標(biāo)（4）的標(biāo)志：明確對(duì)幾何圖形性質(zhì)的研究就是對(duì)其構(gòu)成的要素特征的揭示；在平行四邊形性質(zhì)的探索過(guò)程中經(jīng)歷觀察度量（當(dāng)然還有實(shí)驗(yàn)操作、圖形變化等方式），通過(guò)合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，形成猜想，運(yùn)用演繹推理證明猜想這一研究事物的一般方法.

在小學(xué)階段，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)平行四邊形的相關(guān)內(nèi)容，進(jìn)入初中研究的最大不同就是從感性認(rèn)識(shí)上升到理性邏輯推理上，通過(guò)利用平行線和全等三角形的性質(zhì)和判定來(lái)研究推導(dǎo)證明平行四邊形的性質(zhì)和判定，發(fā)展合情推理和演繹推理能力.教學(xué)中要以“系統(tǒng)觀”為指導(dǎo)，讓學(xué)生在以往經(jīng)驗(yàn)的指導(dǎo)下自主探索，在特殊研究對(duì)象的思考中有新的發(fā)現(xiàn)，最終有序而又完整地得到平行四邊形的性質(zhì).

2教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)1確定研究對(duì)象

問(wèn)題1：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形，也學(xué)習(xí)了兩個(gè)特殊的三角形，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下從三角形到特殊三角形的研究思路是什么？

追問(wèn)1：在初步了解四邊形后，你能否用類(lèi)比的方法得到一些特殊的四邊形？請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你的研究思路.

追問(wèn)2：能根據(jù)剛才的特殊化過(guò)程，說(shuō)出平行四邊形的定義嗎？

師生活動(dòng)：師生共同回憶從邊的大小特殊化研究了等腰三角形，角的大小特殊化研究了直角三角形，總結(jié)得到對(duì)要素進(jìn)行特殊化處理可以獲得新的研究對(duì)象.學(xué)生通過(guò)以上經(jīng)驗(yàn)可能對(duì)四邊形從要素邊特殊化，一組對(duì)邊平行得到梯形、兩組對(duì)邊平行得到平行四邊形；從要素角特殊化，角相等得到矩形；從對(duì)角線特殊，對(duì)角線垂直得到箏形……，選擇其中兩組對(duì)邊平行的這一類(lèi)進(jìn)行研究，介紹平行四邊形的符號(hào)表示.

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不該是碎片化、孤立的知識(shí)的堆積的，而是有邏輯、有結(jié)構(gòu)的生長(zhǎng).在“系統(tǒng)觀”思想下，充分考慮學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)激活三角形的學(xué)習(xí)過(guò)程，類(lèi)比構(gòu)建研究路徑，由學(xué)生自己對(duì)四邊形進(jìn)行特殊化.用相似的路徑研究不同的問(wèn)題，使他們?cè)诤罄m(xù)的學(xué)習(xí)中能夠“見(jiàn)木見(jiàn)林”，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的預(yù)見(jiàn)性和主觀性.

環(huán)節(jié)2探索性質(zhì)研究

問(wèn)題2：明確定義后，接下來(lái)研究什么？

追問(wèn)1：平行四邊形的性質(zhì)又要研究什么？

追問(wèn)2：怎樣研究平行四邊形的性質(zhì)？

師生活動(dòng)：學(xué)生可能不知如何回答，教師引導(dǎo)學(xué)生回憶等腰三角形和直角三角形的學(xué)習(xí)過(guò)程，得出幾何研究的一般路徑：定義——性質(zhì)——判定——應(yīng)用.例如等腰三角形性質(zhì)研究的內(nèi)容是：要素（邊、角）、相關(guān)要素（高、中線、角平分線）的定性關(guān)系.學(xué)生思考后得到平行四邊形的性質(zhì)是研究其邊、角、對(duì)角性的定性關(guān)系.教師進(jìn)一步指出性質(zhì)的研究就是邊、角等基本要素和相關(guān)要素的研究.根據(jù)小學(xué)時(shí)的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很容易會(huì)對(duì)邊、角、對(duì)角線進(jìn)行度量，得到兩組對(duì)邊相等、兩組對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分的猜想.

設(shè)計(jì)意圖：在“系統(tǒng)觀”視角下，平行四邊形性質(zhì)的探索應(yīng)該是一氣呵成的，并不像教材中局限于邊與角的性質(zhì)，這樣使得性質(zhì)的獲得更有整體性和連貫性，符合認(rèn)知規(guī)律.在平行四邊形性質(zhì)的探索過(guò)程中經(jīng)歷觀察度量（當(dāng)然還有實(shí)驗(yàn)操作、圖形變化等方式），通過(guò)合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，形成猜想，這也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的方法.

環(huán)節(jié)3證明性質(zhì)

問(wèn)題3：我們已經(jīng)猜想得到了平行四邊形的三個(gè)性質(zhì)，現(xiàn)在我們先把問(wèn)題聚焦到如何證明對(duì)邊相等.

追問(wèn)1：通過(guò)上述證明，我們得到了平行四邊形關(guān)于邊角的兩個(gè)重要性質(zhì)，請(qǐng)你能用符號(hào)語(yǔ)言描述.

追問(wèn)2：平行四邊形對(duì)邊、對(duì)角的性質(zhì)有什么作用？

師生活動(dòng)：證明線段相等或者證明角相等，有了八上學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)同學(xué)很自然地會(huì)想到就是證明他們所在的三角形全等，而題目中沒(méi)有三角形，在上一課研究四邊形的內(nèi)角和時(shí)，我們已經(jīng)初步體會(huì)了通過(guò)連接對(duì)角線將四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形的問(wèn)題的思想，此處得到再一次的體驗(yàn)，教師要及時(shí)提煉總結(jié)化四邊形問(wèn)題為三角形問(wèn)題的基礎(chǔ)思路，化未知為已知的基本思想.學(xué)生在證明角相等時(shí)，也可能會(huì)用到兩直線平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，進(jìn)而得到同角的補(bǔ)角相等等其他方法，教師要鼓勵(lì)學(xué)生一題多解.

設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)歷性質(zhì)定理的探索與發(fā)現(xiàn)過(guò)程即通過(guò)觀察、度量形成猜想，運(yùn)用演繹推理證明猜想，實(shí)現(xiàn)幾何教學(xué)“始于直觀，終于推理”.在證明的過(guò)程中體會(huì)執(zhí)果索因的分析題目的方法和將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)解決的化歸思想.追問(wèn)1加強(qiáng)了幾何推理書(shū)寫(xiě)習(xí)慣的培養(yǎng).追問(wèn)2幫助學(xué)生理解平行四邊形的性質(zhì)是證明線段和角相等的又一利器.

環(huán)節(jié)4應(yīng)用性質(zhì)

例1已知：如圖1，E，F(xiàn)分別是ABCD的邊AD，BC上的點(diǎn)，且AF∥CE.求證：DE＝BF，∠BAF＝∠DCE.

師生活動(dòng)：出示題目后先讓學(xué)生獨(dú)立思考，再請(qǐng)學(xué)生交流展示，說(shuō)明理由.教師適當(dāng)補(bǔ)充，幫助學(xué)生一起用分析法獲得證明思路.學(xué)生分析完后，再讓學(xué)生思考是否還有其他證明方法，讓學(xué)生展示不同的證法.

設(shè)計(jì)意圖：在證明時(shí)學(xué)生會(huì)更習(xí)慣于將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，這是符合認(rèn)知規(guī)律的，但是隨著知識(shí)的豐富，學(xué)生解決問(wèn)題的途徑也增多了，老師需要引導(dǎo)學(xué)生有時(shí)可以直接運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，幫助學(xué)生完善自己的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系.對(duì)于幾何證明，我們可以引導(dǎo)學(xué)生回答下列問(wèn)題“要證明什么——有什么——缺什么——補(bǔ)什么”.

環(huán)節(jié)5總結(jié)梳理

問(wèn)題4：我們是如何獲得研究對(duì)象的？

問(wèn)題5：我們是如何研究平行四邊形的性質(zhì)的？

問(wèn)題6：對(duì)于平行四邊形，你覺(jué)得還需要進(jìn)一步研究什么？

師生活動(dòng)：師生一起回顧在“系統(tǒng)觀”引領(lǐng)下平行四邊形及其性質(zhì)的獲得過(guò)程，形成特殊幾何圖形的研究體系（如圖2）.

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}串的形式引導(dǎo)學(xué)生回憶總結(jié)本節(jié)課的全部過(guò)程，再次進(jìn)行整體構(gòu)建，既達(dá)到了總結(jié)知識(shí)點(diǎn)的目的，又形成體系，形成問(wèn)題研究的“基本套路”，為后續(xù)的學(xué)習(xí)提供路徑和方法.

3教學(xué)反思

3.1“系統(tǒng)觀”引領(lǐng)下幾何性質(zhì)的探究，是構(gòu)建研究?jī)?nèi)容整體性的需要

知識(shí)是有內(nèi)在聯(lián)系的結(jié)構(gòu)與系統(tǒng).教師從系統(tǒng)的角度設(shè)計(jì)教學(xué)，目的就是喚醒學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，使新知的學(xué)習(xí)有生長(zhǎng)的根基.本節(jié)課研究對(duì)象獲得以圖2所示展開(kāi)：梳理特殊三角形獲得方式，即將三角形的要素特殊化，通過(guò)屬加種差的方式得出等腰三角形和直角三角形，同樣也可以獲得平行四邊形，而下一章的矩形、菱形、正方形就是在平行四邊形（屬概念）的基礎(chǔ)上附加一些條件（種差）.這樣引出新的概念既能幫助我們理解他的特性，也能弄清他們的共性，凸顯知識(shí)的整體邏輯結(jié)構(gòu).

3.2“系統(tǒng)觀”引領(lǐng)下幾何性質(zhì)的探究，是體驗(yàn)研究方法連續(xù)性的需要

系統(tǒng)視角下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，將同質(zhì)事物的學(xué)習(xí)研究經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行重組再利用，讓學(xué)生用相似的路徑研究不同的問(wèn)題.在三角形性質(zhì)學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)明確確定幾何圖形構(gòu)成要素之間的相互關(guān)系就是研究幾何性質(zhì)的基本方法，把三角形的性質(zhì)研究方法遷移到新的研究對(duì)象上去，學(xué)生很自然地就想到平行四邊形的性質(zhì)研究就是研究邊、角以及對(duì)角線的位置關(guān)系和大小關(guān)系.在明確性質(zhì)研究?jī)?nèi)容后，通過(guò)思考、操作、猜想、證明這一研究事物的一般方法，獲得性質(zhì)定理并進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用.后續(xù)研究特殊平行四邊形的性質(zhì)我們?nèi)钥梢匀绱瞬僮?，真正?shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)返璞歸真、以簡(jiǎn)馭繁的目的，實(shí)現(xiàn)研究路徑和方法的遷移.