基于深度學(xué)習(xí)的小學(xué)數(shù)學(xué)單元教學(xué)實(shí)踐
——“植樹(shù)問(wèn)題”單元教學(xué)的思考與實(shí)踐

文/呂素芬

引 言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）指出，教師要改變過(guò)于注重以課時(shí)為單位的教學(xué)設(shè)計(jì)，推進(jìn)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián)[1]。本文以人教版五年級(jí)（上冊(cè)）第七單元“數(shù)學(xué)廣角——植樹(shù)問(wèn)題”為例，探討基于深度學(xué)習(xí)的小學(xué)數(shù)學(xué)單元教學(xué)的實(shí)踐樣態(tài)。

一、研讀教材，整體把握

教師可以從知識(shí)領(lǐng)域的視角切入，整體了解教材，系統(tǒng)梳理和分析單元、課時(shí)教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法等，厘清知識(shí)間的本質(zhì)聯(lián)系，抽象出知識(shí)背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)與關(guān)鍵要素，實(shí)現(xiàn)對(duì)單元教學(xué)的整體把握。

本單元教材安排了3 個(gè)例題。例1 是關(guān)于在一條線段上植樹(shù)，并且兩端都栽的情況。例2 是關(guān)于在一條線段上植樹(shù)，并且兩端都不栽的情況。例2 下面的“做一做”第2 題是關(guān)于在一條線段上植樹(shù)，并且只栽一端的情況，探究的都是線段上的植樹(shù)問(wèn)題。例3是關(guān)于在一條首尾相接的封閉曲線上植樹(shù)的問(wèn)題，相當(dāng)于在一條線段上的植樹(shù)問(wèn)題中的“只栽一端”的情況。

植樹(shù)問(wèn)題的三種類型的本質(zhì)是探究點(diǎn)與段之間，也就是棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系。教材中的問(wèn)題題材豐富，都是學(xué)生熟悉的生活問(wèn)題，這些都有助于教師創(chuàng)設(shè)真實(shí)的學(xué)習(xí)情境，引導(dǎo)學(xué)生立足幾何直觀，通過(guò)畫(huà)線段圖，探索解決植樹(shù)問(wèn)題的思路與方法，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展。此外，教材習(xí)題設(shè)計(jì)大多涉及已知總長(zhǎng)和間隔長(zhǎng)度，求棵數(shù)、個(gè)數(shù)、根數(shù)、盞數(shù)等問(wèn)題。因此，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是先用總長(zhǎng)除以間隔長(zhǎng)度，得到間隔數(shù)，也就是“總數(shù)÷每份數(shù)=份數(shù)”。

二、分析學(xué)情，思考策略

教師只有通過(guò)分析學(xué)情找準(zhǔn)學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，確定單元教學(xué)主題，設(shè)定單元教學(xué)目標(biāo)，重組單元教學(xué)內(nèi)容，形成整體教學(xué)規(guī)劃，才能使學(xué)生實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)[2]。

植樹(shù)問(wèn)題知識(shí)較抽象。小學(xué)生的思維以具體形象思維為主，較難理解和記憶植樹(shù)問(wèn)題的三種類型。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生往往會(huì)將“兩端都栽”“兩端都不栽”“只栽一端”三種類型混淆。學(xué)生的抽象邏輯思維需要借助直觀思維逐步形成。因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)線段圖，通過(guò)觀察、思考，對(duì)比植樹(shù)問(wèn)題三種類型的異同，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)本質(zhì)，理解和建立植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，這一教學(xué)策略應(yīng)貫穿本單元教學(xué)的全過(guò)程。

三、合理優(yōu)化，結(jié)構(gòu)重組

基于以上對(duì)本單元教材的研讀和學(xué)情分析，教師的單元教學(xué)目標(biāo)確定如下：（1）經(jīng)歷植樹(shù)問(wèn)題三種類型的探索過(guò)程，建立不同情況下棵數(shù)與間隔數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，初步體會(huì)植樹(shù)問(wèn)題的模型思想；（2）學(xué)生會(huì)自覺(jué)畫(huà)線段圖，嘗試用植樹(shù)問(wèn)題的方法解決實(shí)際生活中的簡(jiǎn)單問(wèn)題，習(xí)得方法，提升思維品質(zhì)；（3）感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系，獲得學(xué)習(xí)成功的愉悅感。

例1、例2 及例2 下面的“做一做”，探究的都是線段上的植樹(shù)問(wèn)題，涵蓋了植樹(shù)問(wèn)題的三種數(shù)學(xué)模型。對(duì)此，教師可以整合成一節(jié)課進(jìn)行教學(xué)，便于學(xué)生比較異同，領(lǐng)會(huì)植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)都是棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系，清晰構(gòu)建植樹(shù)問(wèn)題的三種數(shù)學(xué)模型。這節(jié)課是本單元的關(guān)鍵。在第二課時(shí)，教師可講解例3，繼續(xù)突出線段圖的教學(xué)，讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)示意圖，理解在一條封閉曲線上植樹(shù)的規(guī)律是棵數(shù)等于間隔數(shù)，有幾個(gè)間隔就有幾棵樹(shù)。教師可以設(shè)計(jì)核心問(wèn)題“在一條封閉曲線上的植樹(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成在一條線段上的植樹(shù)問(wèn)題嗎？你能找到其中的規(guī)律嗎？”，鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，自主驗(yàn)證，交流想法，讓學(xué)生理解在一條封閉曲線上的植樹(shù)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于在一條線段上的植樹(shù)問(wèn)題中的“只栽一端”的情況。教師運(yùn)用課件直觀演示，可以幫助學(xué)生理解、建構(gòu)這一知識(shí)聯(lián)系。這時(shí)，對(duì)于植樹(shù)問(wèn)題三種類型的完整建構(gòu)便水到渠成。后續(xù)的練習(xí)課、單元整理復(fù)習(xí)課，有利于達(dá)成鞏固提升的教學(xué)預(yù)期。重新整合后的教學(xué)和整合前相比，優(yōu)勢(shì)是能實(shí)現(xiàn)教師有結(jié)構(gòu)地教、學(xué)生有關(guān)聯(lián)地學(xué)，有利于學(xué)生深度學(xué)習(xí)，提高教學(xué)效率。以下是整合前和整合后的“植樹(shù)問(wèn)題”單元教學(xué)框架對(duì)比（見(jiàn)表1）。

表1

四、課堂實(shí)踐，培養(yǎng)素養(yǎng)

以下是重新整合后，本單元的關(guān)鍵課“植樹(shù)問(wèn)題”第1 課時(shí)的課堂實(shí)踐。

（一）直觀體驗(yàn)，感知“間隔”

師：同學(xué)們都有一個(gè)聰明的腦袋瓜和一雙靈巧的小手。你能找到手上的數(shù)學(xué)知識(shí)嗎？

生：一只手有5 根手指，每?jī)蓚€(gè)手指之間有個(gè)“空”。

師：2 個(gè)手指之間有個(gè)“空”，在數(shù)學(xué)上，我們把這個(gè)“空”叫“間隔”。（板書(shū)：間隔）也就是說(shuō)，5 個(gè)手指之間有幾個(gè)間隔？4 個(gè)間隔是在幾個(gè)手指之間？

師：我們可以把一個(gè)手指想象成一個(gè)點(diǎn)，我們一起來(lái)數(shù)數(shù)有幾個(gè)點(diǎn)？幾段？也就是幾個(gè)間隔呢？（5 個(gè)點(diǎn)，4 個(gè)間隔）也就是說(shuō)點(diǎn)數(shù)是5，間隔數(shù)是4。（師畫(huà)出線段圖，引導(dǎo)理解。）那4 個(gè)點(diǎn)之間有幾個(gè)間隔？3個(gè)點(diǎn)呢？2 個(gè)點(diǎn)呢？請(qǐng)你和同桌說(shuō)一說(shuō)。

師：今天我們一起研究與間隔有關(guān)的有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題。（板書(shū)：植樹(shù)問(wèn)題）

（二）大膽猜測(cè)，化繁為簡(jiǎn)

出示例題：同學(xué)們?cè)谌L(zhǎng)100 米的小路一邊植樹(shù)，每隔5 米栽一棵，一共要栽多少棵樹(shù)？

師：你怎么理解題目的數(shù)學(xué)信息？

生：小路全長(zhǎng)100 米，只栽一邊，另一邊不栽，每隔5 米栽一棵。（生借助尺子比畫(huà)）“每隔5 米栽一棵”的意思是每?jī)煽脴?shù)之間的距離都是5 米，兩棵樹(shù)之間間隔5 米。

師：對(duì)了，5 米是兩棵樹(shù)之間的間隔長(zhǎng)度。請(qǐng)你猜測(cè)一下，一共要栽多少棵樹(shù)？

（生猜測(cè)：20 棵、21 棵、19 棵、18 棵……）

師：這是大家的猜測(cè)。該如何解決問(wèn)題呢？

生2：畫(huà)線段圖分析

師：線段圖是我們學(xué)習(xí)的好幫手。用一條線段表示100 米的小路，每隔5 米栽一棵，每隔5 米栽一棵（畫(huà)線段圖展示），照這樣一棵一棵種下去，是不是很麻煩？

生：100 米這個(gè)數(shù)據(jù)有點(diǎn)大，畫(huà)圖時(shí)會(huì)比較麻煩，因此我們可以選擇較小數(shù)據(jù)來(lái)分析。

師：把大一些、稍復(fù)雜的數(shù)據(jù)變小，便于思考、探究，在數(shù)學(xué)上稱為“化繁為簡(jiǎn)”。

（三）經(jīng)歷探究，建構(gòu)模型

教師出示植樹(shù)問(wèn)題學(xué)習(xí)單（如圖1）：

圖1

師：請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真思考，完成學(xué)習(xí)單后，四人為一小組交流、討論。（教師巡視、指導(dǎo)，收集代表性作品，指名上臺(tái)回答，相機(jī)板書(shū)）

生1：假設(shè)小路全長(zhǎng)20 米，每隔5 米栽一棵，頭尾都栽，一共要栽5 棵樹(shù)。因?yàn)?0 米里有4 個(gè)5 米，也就是有4 個(gè)間隔，棵數(shù)比間隔數(shù)多1，所以要栽5 棵樹(shù)。列式：20÷5=4（個(gè)）， 4 ＋1=5（棵）。

師：你能給這種植樹(shù)方法取個(gè)名字嗎？

生1：兩邊都栽。

師：有不同意見(jiàn)嗎？

生2：是兩端都栽，就是起點(diǎn)栽，終點(diǎn)也栽?！皟蛇叾荚浴钡囊馑际锹返膬蓚?cè)都要栽樹(shù)。

師：理解透徹，分析到位！用詞精準(zhǔn)！你們還有問(wèn)題要問(wèn)這位“小老師”嗎？

生2：為什么是4“個(gè)”，而不是4“棵”？

生1：因?yàn)?0÷5=4，求的是間隔數(shù)，4表示的是4段，是4 個(gè)間隔，而不是4 棵樹(shù)。

生2：那我們要怎么求出間隔數(shù)？

生1：總長(zhǎng)÷間隔長(zhǎng)度=間隔數(shù)。

師：兩端都栽是植樹(shù)問(wèn)題的一種類型。還有不同的植樹(shù)方法嗎？

生3：假設(shè)小路全長(zhǎng)20 米，每隔5 米栽一棵，但起點(diǎn)栽，終點(diǎn)不栽，我發(fā)現(xiàn)有4 個(gè)間隔，4 棵樹(shù)，棵數(shù)和間隔數(shù)相等。20÷5=4（棵）。這種植樹(shù)方法可以叫“一端栽，一端不栽”吧！

師：你說(shuō)得真好！我們也可以說(shuō)是“只栽一端”。這又是植樹(shù)問(wèn)題的另一種類型。

生4：我的栽樹(shù)方法和他們的都不一樣。萬(wàn)一小路的兩端有障礙物呢？假如我們?cè)趦蓷潣侵g栽樹(shù)，那兩端都不能栽?。∪绻÷烽L(zhǎng)還是20 米，20 米里有4個(gè)5 米，有4 個(gè)間隔，但只能栽3 棵樹(shù)，棵數(shù)比間隔數(shù)少1。20÷5=4（個(gè)），4-1=3（棵）。

師：有思考、有探究就有收獲?。ㄖ钢鍟?shū)）這節(jié)課我們探究了在一條線段上植樹(shù)的問(wèn)題，有這三種類型：兩端都栽，只栽一端，兩端都不栽。請(qǐng)你認(rèn)真觀察線段圖，理解算式，思考這三種類型有什么聯(lián)系和區(qū)別，在小組中交流想法。

生5：我發(fā)現(xiàn)都是先求出有4 個(gè)間隔，也就是間隔數(shù)，不同的是：兩端都栽，棵數(shù)＝間隔數(shù)＋1；只栽一端，棵數(shù)＝間隔數(shù)；兩端都不栽，棵數(shù)=間隔數(shù)-1。

生6：要先計(jì)算“總長(zhǎng)÷間隔長(zhǎng)度=間隔數(shù)”，都是先求出總長(zhǎng)里有幾個(gè)間隔長(zhǎng)度。

師：那為什么間隔數(shù)相同，栽樹(shù)棵數(shù)卻不同呢？你能借助線段圖找到棵數(shù)和間隔數(shù)關(guān)系的奧秘嗎？

生5（上臺(tái)比畫(huà)線段圖）：大家看，我們從第一棵樹(shù)開(kāi)始，一棵樹(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)間隔，最后一棵樹(shù)沒(méi)有間隔對(duì)應(yīng)，就多出來(lái)了，所以棵數(shù)比間隔數(shù)多1。

生6（上臺(tái)比畫(huà)線段圖）：大家從最后一棵樹(shù)看起，一棵樹(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)間隔，起點(diǎn)處的這棵樹(shù)落單多出來(lái)了?？脭?shù)比間隔數(shù)多1，也就是間隔數(shù)比棵數(shù)少1。

師：同學(xué)們用一一對(duì)應(yīng)的方法理解了“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”。請(qǐng)你用這樣的方法和同桌互相說(shuō)說(shuō)，怎么理解“棵數(shù)＝間隔數(shù)”，“棵數(shù)=間隔數(shù)-1”？（再借助課件直觀演示，促進(jìn)理解）

師（展示作品）：有的同學(xué)選擇的數(shù)據(jù)不是20 米，而是10 米、15 米、25 米、30 米……總長(zhǎng)變了，間隔長(zhǎng)度5 米不變，什么會(huì)變？但什么不變？

生7：總長(zhǎng)變了，間隔長(zhǎng)度不變，間隔數(shù)會(huì)變，棵數(shù)也會(huì)變，但相同種樹(shù)情況的規(guī)律不變。

師：如果小路的全長(zhǎng)是n 米呢？你會(huì)列式嗎？

生7：兩端都栽，棵數(shù)=n÷5+1；只栽一端，棵數(shù)=n÷5；兩端都不栽，棵數(shù)=n÷5-1。

（四）應(yīng)用模型，驗(yàn)證猜測(cè)

學(xué)生獨(dú)立完成例題，教師巡視指導(dǎo)，指名回答，呈現(xiàn)三種解法。

（五）解決問(wèn)題，內(nèi)化模型

教師給出兩道習(xí)題，要求學(xué)生獨(dú)立完成，可以同桌交流解題思路及注意點(diǎn)，再全班交流。

（六）全課總結(jié)，提升感悟

師：通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們肯定收獲滿滿，和大家分享分享！

生1：遇到復(fù)雜的問(wèn)題，可以化繁為簡(jiǎn)。

生2：我們可以用畫(huà)線段圖的方法解決植樹(shù)問(wèn)題。

生3：我們要認(rèn)真審題，根據(jù)題中的已知條件先判斷是植樹(shù)問(wèn)題的哪種類型，再用對(duì)應(yīng)的規(guī)律解答。

生4：植樹(shù)問(wèn)題的三種類型反映的都是棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系，可以用一一對(duì)應(yīng)的方法來(lái)理解記憶。

結(jié) 語(yǔ)

總之，教師要立足《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，以全局視角，整體把握單元教學(xué)，根據(jù)單元教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生學(xué)情，把零散的、關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整合，設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，獲得學(xué)習(xí)能力的提高，達(dá)到核心素養(yǎng)的階段培養(yǎng)目標(biāo)。