APOS理論下培養(yǎng)數(shù)學(xué)代數(shù)思維的研究

李士英

【摘要】APOS理論在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用可以培養(yǎng)學(xué)生的自主思維，對于促進代數(shù)思維能力的提升有著積極的作用。結(jié)合教學(xué)實際，論述APOS理論在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)思維能力的應(yīng)用過程，分析各環(huán)節(jié)的教學(xué)策略，并結(jié)合實際案例證明了該方法的有效性。

【關(guān)鍵詞】APOS理論；小學(xué)數(shù)學(xué)；代數(shù)思維

APOS理論的本質(zhì)在于強化學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，增強過程體驗從而達到深化學(xué)生認(rèn)知促進代數(shù)思維能力主動建構(gòu)的目的。本文將APOS理論在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用劃分為“前方程”孕育、關(guān)系式過渡以及系統(tǒng)建構(gòu)，通過這三個思路在不同的教學(xué)階段強化學(xué)生對代數(shù)方法的感知，提升學(xué)生的代數(shù)運算能力，進而促使學(xué)生建立代數(shù)模型，實現(xiàn)代數(shù)思維的培養(yǎng)和提升。

一、“前方程”，有意孕育

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中代數(shù)思維的培養(yǎng)是一個長期的滲透過程，并不僅僅存在于高年級的方程階段。因此，教師應(yīng)挖掘前期教材中與方程代數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)描述，有意識地結(jié)合“前方程”向?qū)W生展示代數(shù)思維的具體表述形式，從一種具象表述的角度輔助學(xué)生建立對代數(shù)的初步認(rèn)知，促進后續(xù)代數(shù)思維能力的培養(yǎng)。

1.創(chuàng)設(shè)情境，認(rèn)識等號性質(zhì)

在低年級階段學(xué)生的思維以具體形象思維為主，這就要求教師能夠創(chuàng)設(shè)直觀生動的可視化情境，助力學(xué)生在情境中感知代數(shù)思想。從算數(shù)思維到代數(shù)思維轉(zhuǎn)換的核心之一在于對等號關(guān)系性質(zhì)的深度認(rèn)識，將其與大于、小于這兩種比較大小的符號做出區(qū)分，明確“相等”的概念，深度認(rèn)識等號的相等關(guān)系。

結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗創(chuàng)設(shè)活動情境，可以有效地把握滲透代數(shù)思維的契機，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。比如，在學(xué)習(xí)“6～10認(rèn)識和加減法”時，在課本中通常會有6=□+□=□+□的問題，針對這些問題，創(chuàng)設(shè)活動情境：“同學(xué)們喜歡玩蹺蹺板嗎？如果我們想讓其保持平衡應(yīng)該怎么做呢？”根據(jù)生活經(jīng)驗同學(xué)們會回答需要兩邊有相等的質(zhì)量才會平衡。此時教師通過多媒體設(shè)備給出蹺蹺板的簡畫，并在其左側(cè)畫出6顆糖果，并給出6個卡片選項，其中每個卡片上分別畫有1～6顆糖果，讓學(xué)生選擇用哪兩個卡片放在右側(cè)可以使蹺蹺板平衡。根據(jù)活動經(jīng)驗，同學(xué)們會給出答案分別為6和0；1和5；2和4以及兩個3，并得出對應(yīng)的算式為6=6+0=5+1=2+4=3+3。通過觀察式子并聯(lián)系生活經(jīng)驗，同學(xué)們會發(fā)現(xiàn)等式兩邊的位置互換以及右側(cè)兩個數(shù)的順序交換并不會影響蹺蹺板的平衡，從而深度理解了相等的含義，學(xué)生深度認(rèn)識了等號在數(shù)學(xué)學(xué)科中的重要含義，為代數(shù)意識培養(yǎng)做好了鋪墊。

2.語言描述，滲透符號意識

符號語言描述是形成代數(shù)思維的第一步，在小學(xué)階段符號語言包括數(shù)字符號、關(guān)系符號、變元符號、字母符號以及圖示符號等幾種，分別代表了不同的數(shù)學(xué)含義，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生大膽地使用符號語言做出數(shù)學(xué)過程描述，促使學(xué)生在自然表述的過程中理解符號所表征的數(shù)學(xué)含義，實現(xiàn)符號意識的孕育。

比如，在學(xué)習(xí)“運算定律”這一小節(jié)時，針對不同的運算律以及簡化運算的方式給出典型例題，鼓勵學(xué)生利用不同的語言表述方式對簡化運算的過程進行表述，比較不同表述形式的異同。給出例題如下：88+104+96、234-66-34。針對上述兩個算式均可以利用運算定律實現(xiàn)簡便運算，對于式1，其可以表示為88+（104+96）=88+200=288，這種方式利用了加法的結(jié)合律，用符號語言可以表示為a+b+c=a+（b+c）。對于式2，利用連減運算的定律可以表示為234-（66+34）=234-100=134，同理將其用符號語言表示為a-b-c=a-（b+c）。學(xué)生在使用不同語言形式表述的過程中不僅思路愈發(fā)清晰，同時提升了利用代數(shù)語言進行表達的能力。

3.繪制圖示，解決算術(shù)問題

代數(shù)能力的實踐運用是培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)思維的最直接方式，在實踐中學(xué)生可以直觀地感受到代數(shù)的應(yīng)用價值和解題方法，從而促進學(xué)生對符號代數(shù)的理解。因此，教師應(yīng)結(jié)合實際算數(shù)問題的解決，鼓勵學(xué)生以繪制代數(shù)圖示的方式，將抽象的代數(shù)運算過程具象化，從而加深對代數(shù)運算的理解。

利用符號圖示表示抽象的算術(shù)運算過程，不僅可以訓(xùn)練學(xué)生的符號意識，同時可以將抽象的運算過程具象化，從而深化學(xué)生的理解。比如，對于5+7、8+8、9+2等存在進位的算式，引領(lǐng)學(xué)生利用不同的符號對數(shù)字進行表示，規(guī)定一個○代表10，△代表5，而◇代表1，用符號替換上述算式然后分析運算過程，發(fā)現(xiàn)對于算式5+7會得到兩個△和兩個◇，其中兩個△正好表示一個○，所以對其進行替換，隨后得到一個○和兩個◇，也就是說最后的運算結(jié)果為12，其中兩個△替換為一個○的過程就表征了算術(shù)運算中的進位過程。在上述課堂教學(xué)過程中，學(xué)生通過繪制圖示的方式直觀地表示了復(fù)雜抽象的算術(shù)運算過程，在這種表述轉(zhuǎn)換的過程中學(xué)生直觀地感受到了代數(shù)圖示的魅力，對于學(xué)生代數(shù)思維的孕育有著積極的作用。

二、“關(guān)系式”，做好過渡

小學(xué)中年級階段是代數(shù)思維能力培養(yǎng)的過渡階段，發(fā)揮著承上啟下的作用。在這一階段教師應(yīng)在“前方程”孕育的基礎(chǔ)上，深度挖掘這一階段需要了解的關(guān)于公式計算以及運算定律等代數(shù)關(guān)系式，引領(lǐng)學(xué)生細致分析代數(shù)關(guān)系式與算術(shù)運算之間的關(guān)聯(lián)，做好算術(shù)運算與代數(shù)運算之間的過渡講解。

1.多元表征，分析數(shù)量變化

鼓勵學(xué)生通過多元表征描述數(shù)量變化是培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)思維的高效方法。通過多種形式的表征方法不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表述能力，同時在不同描述方式的轉(zhuǎn)變過程中有助于培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)特征理解，助力學(xué)生深度理解代數(shù)內(nèi)容和實際問題之間的關(guān)聯(lián)。

適當(dāng)?shù)恼n堂提問是引領(lǐng)學(xué)生積極參與多元表征的常見手段。比如，在學(xué)習(xí)“倍的認(rèn)識”這一小節(jié)內(nèi)容時，需要學(xué)生建立并理解倍的概念，結(jié)合實操活動和課堂提問帶領(lǐng)學(xué)生積累感性經(jīng)驗，用不同語言形式表達數(shù)量之間的關(guān)系。首先讓學(xué)生自己在草稿紙上分別繪制出2、6、10個小蘋果，然后分析3幅圖中蘋果之間的數(shù)量關(guān)系。同學(xué)們首先利用已知的數(shù)量關(guān)系表達方式分析出前兩堆蘋果的數(shù)量相差4，后兩堆蘋果數(shù)量相差也是4這一數(shù)量關(guān)系。在此基礎(chǔ)上教師引導(dǎo)學(xué)生用倍的方式去理解這一關(guān)系，此時學(xué)生的表述轉(zhuǎn)換為第二堆蘋果相當(dāng)于三堆第一幅畫中蘋果數(shù)量的和，而第三幅圖則需要5堆第一幅畫中的蘋果數(shù)量。從而可以帶出后兩堆的數(shù)量分別是第一堆數(shù)量的3和5倍這一數(shù)量關(guān)系。不同的表征方式會牽扯出不同的數(shù)量關(guān)系，教師應(yīng)給予學(xué)生充分的鼓舞，引導(dǎo)學(xué)生通過多元表征的轉(zhuǎn)換感知數(shù)量關(guān)系的不同分析方法，理解熟練關(guān)系的本質(zhì)特征，促進代數(shù)思維的發(fā)展提升。

2.科學(xué)變式，熟悉公式定律

公式定律是利用代數(shù)對數(shù)學(xué)關(guān)系的抽象表示，是最能體現(xiàn)代數(shù)思維的知識點。針對公式定律的學(xué)習(xí)，教師應(yīng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實際問題開展科學(xué)變式，從不同的角度理解公式的具體含義，從代數(shù)表述的轉(zhuǎn)換過程中熟悉公式定律。

根據(jù)已有的公式定律，轉(zhuǎn)換已知條件求解未知量是科學(xué)變式的常見方法。在學(xué)習(xí)“面積”時，需要同學(xué)們掌握面積計算公式，并且能夠根據(jù)該公式合理的變式計算不同的未知量。在課堂教學(xué)中提出問題：“一個長方形操場的長和寬分別是26米和14米，問該場地的面積是多少？”上述問題是考查了學(xué)生對面積公式的掌握程度，但是需要學(xué)生根據(jù)已知條件合理地對S=長×寬進行變式，在已知長和寬分別為26和14，根據(jù)S=a×b可以計算出S=26×14=364平方米。在變式運算的過程中學(xué)生能夠深度地感受公式中蘊含的代數(shù)思想，理解不同數(shù)學(xué)量在運算中的實際含義。通過科學(xué)變式練習(xí)，學(xué)生在熟悉公式定律的同時對代數(shù)思維的實際運用有了深刻的理解，在解決有關(guān)數(shù)量關(guān)系計算的問題時也能夠更加得心應(yīng)手，從不同的角度利用代數(shù)方式思考問題。

3.題組練習(xí)，提升綜合能力

代數(shù)思維的培養(yǎng)不能脫離數(shù)學(xué)學(xué)科在生活中的實際應(yīng)用，大量的生活公式和問題在提煉為數(shù)學(xué)問題后都是通過代數(shù)表示的，因此教師應(yīng)有針對性地設(shè)計題組練習(xí)，強化學(xué)生提煉生活問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)代數(shù)模型的能力，從而促進學(xué)生代數(shù)思維能力的提升。

及時地開展應(yīng)用問題專題教學(xué)，組織學(xué)生提煉應(yīng)用問題中的數(shù)學(xué)代數(shù)模型是提升學(xué)生文化綜合能力的有效手段。比如，設(shè)計應(yīng)用專題課堂，引導(dǎo)學(xué)生在總價、單價與數(shù)量；路程、速度和時間等生活應(yīng)用問題中感知代數(shù)表示的數(shù)量關(guān)系。提出問題如下：“一支圓珠筆售價5元，小紅需要購買五只這樣的圓珠筆應(yīng)準(zhǔn)備多少錢才夠用？”根據(jù)已有的數(shù)量關(guān)系公式，同學(xué)們對上述問題進行提煉，應(yīng)根據(jù)總價=單價×數(shù)量求解，單價和數(shù)量均是5，計算出總價為25元。通過有針對性的題組練習(xí)，學(xué)生可以在解題過程中深刻理解不同的數(shù)量公式對應(yīng)的應(yīng)用場景，在熟練掌握應(yīng)用數(shù)學(xué)計算解決問題的同時深化對于公式代數(shù)描述的理解，從而促進學(xué)生代數(shù)意識的發(fā)展，為代數(shù)思維能力的發(fā)展做好鋪墊。

三、“系統(tǒng)性”，建構(gòu)模型

代數(shù)思維的培養(yǎng)應(yīng)具有系統(tǒng)性的培育架構(gòu)，在實現(xiàn)“前方程”代數(shù)意識孕育以及代數(shù)關(guān)系式的過渡發(fā)展后，教師應(yīng)結(jié)合簡易方程的教學(xué)以及數(shù)學(xué)模型思想的滲透系統(tǒng)性地為學(xué)生建立代數(shù)思維的概念，落實代數(shù)內(nèi)容的本質(zhì)教學(xué)。

1.數(shù)形結(jié)合，強化函數(shù)思想

函數(shù)從數(shù)量的變換角度分析了數(shù)量之間的關(guān)系，是代數(shù)思想的重要體現(xiàn)之一。在學(xué)習(xí)代數(shù)內(nèi)容時教師應(yīng)充分利用函數(shù)思想，引導(dǎo)學(xué)生分析變量、因變量以及常量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。最后，教師借助圖形內(nèi)容直觀地展示數(shù)量之間的關(guān)聯(lián)，助力學(xué)生建立圖形與代數(shù)關(guān)系之間的關(guān)聯(lián)，感受變與不變的數(shù)量本質(zhì)特征。

比如，在學(xué)習(xí)“簡易方程”時，提出問題如下：“現(xiàn)需要在一面墻的周圍圍上三面籬笆，與墻面組成一個長方形，現(xiàn)在已知墻面的長度為3米，請問如何表達所需的籬笆總長度呢？”針對這一問題教師應(yīng)首先帶領(lǐng)學(xué)生繪制出相應(yīng)的幾何圖形模型，在圖形中直觀地感受數(shù)與形的關(guān)聯(lián)。通過圖形繪制學(xué)生發(fā)現(xiàn)墻面充當(dāng)了長方形的一條邊，根據(jù)長方形的周長公式L=2×（長+寬）可表達出所需籬笆的長度L為3+2×邊長。在這一代數(shù)表達式中，L和邊長都是未知量，并且L隨著邊長變化而變化，此時教師及時地滲透函數(shù)思想，以邊長分別為2和4為例，讓學(xué)生理解籬笆長度隨著這一邊長變化而變化的關(guān)系。通過圖形的繪制，助力學(xué)生迅速地建立數(shù)學(xué)模型，基于抽象的文字表述提煉出對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，進而通過未知數(shù)設(shè)定寫出其對應(yīng)的代數(shù)表達式。

2.動手操作，抽象知識本質(zhì)

代數(shù)思維的培養(yǎng)應(yīng)注重學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中的主體性，設(shè)置生動有趣的課堂活動，引領(lǐng)學(xué)生在動手操作中獲取豐富的代數(shù)運算體驗，實現(xiàn)對抽象知識本質(zhì)的理解，促進代數(shù)運算模型的建構(gòu)，落實從算數(shù)思維到代數(shù)思維的轉(zhuǎn)變。

強化課堂學(xué)習(xí)中的實踐操作環(huán)節(jié)，將抽象的代數(shù)文字表述轉(zhuǎn)換為學(xué)生可以實際觸摸的實物，可以有效地落實代數(shù)本質(zhì)的感知。在學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”時，組織課堂活動，在一個盒子內(nèi)防止不同形狀的紙片，紙片上用字母的形式給出了形狀參數(shù)，比如，在其中三角形紙片內(nèi)寫著底邊為a，高為h，長方形紙片上標(biāo)有長為a，寬為b。學(xué)生依次抽取紙片，根據(jù)抽取的紙片形狀以及紙片上標(biāo)有的形狀參數(shù)寫出對應(yīng)的紙片面積大小。這一過程不僅需要學(xué)生掌握每種形狀的面積公式，同時需要學(xué)生實際運用代數(shù)方法對面積公式進行表述，比如對于三角形紙片學(xué)生應(yīng)給出答案S=a×h÷2，長方形紙片則給出S=a×b。在游戲活動中，學(xué)生的積極性得到了充分的調(diào)動，在歡快的氛圍中迅速掌握了用字母表示數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)。教師應(yīng)結(jié)合符號代數(shù)的抽象特性靈活地開展動手活動，促使學(xué)生在實際操作中感受代數(shù)本質(zhì)，實現(xiàn)算術(shù)運算到代數(shù)表示的轉(zhuǎn)變。

3.聯(lián)系生活，指導(dǎo)整體代入

方程是與實際生活應(yīng)用聯(lián)系十分緊密的知識點，同時也是最直接地體現(xiàn)出代數(shù)思維在實際生活中應(yīng)用方式的學(xué)習(xí)內(nèi)容。因此，教師應(yīng)有意識地在課堂教學(xué)中聯(lián)系生活實際問題，引領(lǐng)學(xué)生在生活情境下整體代入方程與代數(shù)知識，在應(yīng)用過程中提升學(xué)生的代數(shù)思維能力。

結(jié)合實際生活問題，引領(lǐng)學(xué)生針對實際問題提煉出等量關(guān)系并通過設(shè)定未知數(shù)實現(xiàn)方程求解是培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)思維能力的最直接方法。在學(xué)習(xí)“交易方程”時，引入生活問題“已知光在空氣中每秒可以傳播30萬千米，這個距離十分長，比地球赤道長度的7倍還大2萬千米，請計算地球的赤道長度？”對于這一問題，首先帶領(lǐng)學(xué)生明確題干中給出的等量關(guān)系為光速和赤道長度之間的數(shù)量關(guān)系，并且光速已經(jīng)給出，此時設(shè)赤道長度為x，結(jié)合兩者之間的數(shù)量關(guān)系可以列出方程30=7x+2，解方程可得x=4，從而計算出地球的赤道長度為4萬千米。通過實際問題的引入，鼓勵學(xué)生通過分析題意明確等量關(guān)系進而將生活問題整體代入到數(shù)學(xué)方程求解的問題中可以迅速地實現(xiàn)實際問題的求解，同時完成APOS理論教學(xué)的最后應(yīng)用建構(gòu)環(huán)節(jié)，促進學(xué)生代數(shù)思維應(yīng)用能力的提升。

綜上所述，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的代數(shù)思維培養(yǎng)不能局限于高年級階段的教材內(nèi)容，應(yīng)充分挖掘貫穿于不同階段的代數(shù)相關(guān)內(nèi)容和“前方程”雛形，基于APOS理論將代數(shù)思維的培養(yǎng)劃分為三個主要階段，從代數(shù)內(nèi)容的具體形式、具象形式以及抽象形式三個環(huán)節(jié)促進學(xué)生代數(shù)思維能力的培養(yǎng)提升。

【參考文獻】

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