例談用一元一次方程解應(yīng)用題

摘 要：一元一次方程是初中數(shù)學(xué)的重要知識點(diǎn)，是解決應(yīng)用題的常用工具.為掌握不同類型應(yīng)用題解題方法，提高一元一次方程應(yīng)用題解題效率，應(yīng)針對不同應(yīng)用題類型，采取不同的授課方法，這也是學(xué)生把握破題的關(guān)鍵.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；應(yīng)用題；一元一次方程

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）17-0035-03

收稿日期：2023-03-15

作者簡介：

鄒鳳（1982.8-），女，廣西壯族自治區(qū)梧州人，碩士，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

一元一次方程應(yīng)用題主要有配套問題、工程問題、盈虧問題、方案問題、行程問題和幾何問題^[1].列一元一次方程的關(guān)鍵在于尋找到等量關(guān)系，教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)將抽象問題具體化，幫助學(xué)生理解、尋找等量關(guān)系，提高其應(yīng)用一元一次方程的解題技能.

1 配套問題

配套問題在初中數(shù)學(xué)中較為常見，創(chuàng)設(shè)的情境描述的是整體與局部的關(guān)系^[2].尋找等量關(guān)系可從時間、參與人數(shù)總量入手.

例1 某生產(chǎn)廠家設(shè)計一種儲物柜.每個儲物柜由兩扇門、三個抽屜、一個框架構(gòu)成.一個工人每天可以做5扇門或者3個抽屜或者2個框架.如果共有38名工人，要求全部參加工作，如何分配可使得工人每天的工作剛好能配套完成一定數(shù)量的柜子，并計算每天完成柜子的數(shù)量.

該情境中柜子、框架、抽屜、門之間存在隱含的等量關(guān)系，只要設(shè)出其中一個變量，則可順利地表示出剩余變量.同時要求學(xué)生思考工人數(shù)量與對應(yīng)部件間的對應(yīng)關(guān)系，構(gòu)建一元一次方程.

2 工程問題

工程問題是初中數(shù)學(xué)中極為常見的問題.解答該類問題的難點(diǎn)在于如何理解每天工作量和天數(shù)之間的關(guān)系.很多學(xué)生不明白為什么將總工程量看做“1”.為幫助學(xué)生更好地突破這一難點(diǎn)，應(yīng)以學(xué)生熟悉的生活情境為切入點(diǎn)，對工作效率加以解釋，即將整個工程量看做1，則每天完成的工作量為1/天數(shù)^[3].在此基礎(chǔ)上為使學(xué)生活學(xué)活用，應(yīng)做好例題展示，看其能否正確回答.

例2 某道路改造工程由1號單位施工計劃30天能夠完成，結(jié)果在施工10天時接到通知需要提前8天完成工程.為完成施工要求剩余工程由1號和2號單位共同完成，結(jié)果如期完成施工任務(wù).

（1）若要求2號單位單獨(dú)完成該工程，需要多少天？

（2）若1號和2號單位同時進(jìn)場，完成整個工程需要多少天？

圍繞問題情境設(shè)計如下問題：

（1）1號單位的工作效率是多少？

（2）接到通知時1號單位完成的工程量該怎么表示？

（3）兩單位合作的天數(shù)是多少？搞清楚者三個問題便不難列出正確的一元一次方程.

根據(jù)題干描述還需明白兩個單位合作的過程中1號單位的工作效率并未發(fā)生改變，認(rèn)識到這一點(diǎn)從2號單位的工作效率入手問題便迎刃而解.

3 盈虧問題

盈虧問題與人們的生活密切相關(guān)，多數(shù)應(yīng)用題情境都來源于人們的生活.運(yùn)用一元一次方程解答該類應(yīng)用題的關(guān)鍵在于明確成本、售價、利潤、打折之間的關(guān)系，尤其借助百分比和成本表示售價時應(yīng)能正確表示出來，明白打折就是按照對應(yīng)價格的百分之多少出售.

例3 某商店出售甲、乙兩種商品.兩種商品的成本總價為300元.其中甲、乙商品分別按照60%、50%的利潤率出售.銷售過程中均按照標(biāo)價9折出售，該商店總獲利114元.

（1）甲、乙兩種商品的成本各多少元？

（2）若該商店投入1 000元購進(jìn)這兩種商品，每種商品至少購進(jìn)1個，則如何安排進(jìn)貨獲利最大？

情境中給出兩種商品的成本價之和以及出售規(guī)則.授課時要求學(xué)生從甲、乙商品中的其中一個商品入手設(shè)參數(shù)，看其能否正確表示出售價格，以及如何圍繞“114元”構(gòu)建一元一次方程.

解析 （1）設(shè)甲商品的成本價為x元，則乙商品的成本價為（300-x）元，則對應(yīng)的標(biāo)價分別為（1+60%）x，（300-x）（1+50%），則根據(jù)題意可列一元一次方程：0.9（1+60%）x+0.9（300-x）（1+50%）-300=114，解得x=100，則甲、乙兩種商品的成本分別為100元、200元.（2）根據(jù)題意甲、乙兩種商品的利潤分別為0.9（1+60%）×100-100=44元，0.9×（1+50%）×200-200=70元，相當(dāng)于花費(fèi)100元利潤為35元.顯然進(jìn)的甲商品越多，獲利越多，則乙商品只進(jìn)1個，甲商品進(jìn)8個.

4 方案問題

方案問題往往給出多個方案，要求學(xué)生選擇最佳方案.吃透題意，尋找參數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.為提高學(xué)生條理分析問題的意識與能力，要求學(xué)生在讀題后，要對題干中的“關(guān)鍵詞”進(jìn)行分類，分別尋找等量關(guān)系.

例4 使用甲、乙兩種車運(yùn)送貨物.兩車同時參與運(yùn)輸需各運(yùn)12趟，支付4 800元費(fèi)用.若甲、乙兩車均單獨(dú)運(yùn)完，則乙車運(yùn)輸趟數(shù)是甲車的兩倍，且乙車每趟運(yùn)費(fèi)比甲車少100元.

（1）甲、乙兩車每趟的運(yùn)費(fèi)是多少？

（2）若僅使用一種車，甲、乙兩車每趟還需分別支付40元，20元的損失費(fèi)，單獨(dú)使用哪輛車運(yùn)完該批貨物支出的總費(fèi)較少，總費(fèi)用是多少？

情境中涉及兩個非常重要的關(guān)鍵詞“運(yùn)費(fèi)”“趟數(shù)”.其中圍繞“總運(yùn)費(fèi)”“甲乙運(yùn)費(fèi)的關(guān)系”可列出對應(yīng)的一元一次方程.圍繞“兩車單獨(dú)運(yùn)輸?shù)奶藬?shù)”以及隱含的工程量為“1”可列出對應(yīng)一元一次方程，求出參數(shù)后計算出單獨(dú)使用甲、乙的總費(fèi)用.

5 行程問題

行程問題是初中數(shù)學(xué)中一類結(jié)合實(shí)際且較有意思的問題^[4].部分習(xí)題以圖象設(shè)問兼顧考查學(xué)生的讀圖能力，解題的關(guān)鍵在于吃透圖象縱軸、橫軸表示的含義，明確變化點(diǎn)表示的含義.

例5 甲、乙兩地相距為480 km，A、B兩車分別從甲乙兩點(diǎn)開始相向而行，A車到達(dá)乙地立即返回，B車到達(dá)甲地停止.其中B車的速度為80 km/h.兩車離各自出發(fā)地的距離y（km）和行駛時間x（h）之間的關(guān)系如圖1所示.

（1）圖中m、n的值分別是多少？

（2）求出P點(diǎn)坐標(biāo)，并解釋該點(diǎn)的實(shí)際意義.

圖象中的隱含信息較多，學(xué)生需根據(jù)題干描述將A、B兩車的運(yùn)動圖象對應(yīng)起來.兩個圖線的起始點(diǎn)并不相同，意味著A、B兩車并不是在同一時間出發(fā)的，這一點(diǎn)應(yīng)給予學(xué)生引導(dǎo)使其引起足夠重視，如可詢問其哪輛車先出發(fā)，哪輛車后出發(fā)中間相隔多長時間等.

解析 （1）根據(jù)題干描述折線為A車的運(yùn)動圖象，直線為B車的運(yùn)動圖象.由圖像知A車單程用時4小時，則雙程用時8 h.B車速度為80 km，用時480÷80=6 h，則m=8，n=6.5；（2）P點(diǎn)表示A車返回甲地時距甲地的距離和B車距離乙地的距離相等.由（1）可知A車的運(yùn)動速度為480÷4=120 km/h.設(shè)A車行駛時間為x h，2×480-120x=80（x-0.5）解得x=5，則80×（5-0.5）=360，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（5，360）.P點(diǎn)表示的意義為A車行駛5 h后A、B兩車距離各自出發(fā)點(diǎn)的距離為360 km.

6 幾何問題

部分幾何類的應(yīng)用題需運(yùn)用一元一次方程知識解答.解答幾何類應(yīng)用題常需畫出草圖以更好地揭示相關(guān)參數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系，但是部分習(xí)題圍繞“距離”設(shè)計的有陷阱，使學(xué)生難以識別.為提高學(xué)生解題的正確性，應(yīng)為其剖析“陷阱”設(shè)在何處，如何加以識別，尤其通過展示應(yīng)用題的具體解題過程，啟發(fā)其在以后列一元一次方程時能更為全面地考慮問題.

綜上所述，用一元一次方程解應(yīng)用題時應(yīng)做好題型的歸類，并做好不同題型解題方法的探尋、應(yīng)用以及總結(jié).

參考文獻(xiàn)：

［1］石蓮花.核心素養(yǎng)視域下初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的實(shí)踐與探索：以“一元一次方程的應(yīng)用”教學(xué)為例[J].現(xiàn)代教學(xué)，2022（09）：63-64.

[2] 梁飛.提升一元一次方程應(yīng)用題教學(xué)效果的三個策略[J].廣西教育，2021（01）：121，123.

[3] 范志德.關(guān)于初中數(shù)學(xué)一元一次方程應(yīng)用解題研究[J].天津教育，2019（33）：155-156.

[4] 丁麗娟.初中數(shù)學(xué)一元一次方程應(yīng)用題解題研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（16）：63-64.

［責(zé)任編輯：李 璟］