教材中定義新數(shù)試題素材新探
——基于6 174黑洞數(shù)的試題編制

張 豪 張維忠

(浙江師范大學(xué)教育學(xué)院 321004)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》強(qiáng)調(diào)試題命制不僅要堅(jiān)持素養(yǎng)立意,凸顯育人導(dǎo)向,注重應(yīng)用性、探究性和綜合性試題的編制,更重要的是需要設(shè)置合理問題考查學(xué)生的思維過程,讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的運(yùn)用和實(shí)踐探究質(zhì)疑的經(jīng)驗(yàn)積累過程[1]．縱觀近幾年全國各地中考試題,新定義試題憑借背景新穎、解法多元、考查深入等特點(diǎn)逐漸成為中考的熱門題型．其中,定義新數(shù)這一類型的試題以初中核心知識為載體,以新概念作為思維的出發(fā)點(diǎn)、增長點(diǎn)與突破點(diǎn),以基本思想為手段,以數(shù)學(xué)思考為導(dǎo)引,對于觸動學(xué)生深層思維思考至關(guān)重要[2]．但定義新數(shù)試題究竟新在何處,如何才能觸動學(xué)生深層思考?

1 定義新數(shù)試題觸動深層思考的關(guān)鍵:合適的問題梯度與合理的開放空間

在數(shù)學(xué)課程中,學(xué)生往往被期待要領(lǐng)會比教材本身更多的數(shù)學(xué)．推理訓(xùn)練這一途徑通過學(xué)生接觸并解決難度日益增加的問題能夠達(dá)到這一目標(biāo)．事實(shí)上,定義新數(shù)試題恰源于教材又高于教材,意在通過類比、引申或拓展給出新數(shù)概念,讓學(xué)生通過閱讀理解明晰定義本質(zhì)從而解決難度日益增加的問題,深度考查學(xué)生概括、思辨等推理能力[3]．

2013年成都中考的本位數(shù)、2017年長沙中考的和諧數(shù)、2020年常州中考的特征數(shù)……隨著近年來數(shù)學(xué)中考定義新數(shù)試題的不斷涌現(xiàn)和命題探索,定義新數(shù)試題不僅素材逐漸豐富,而且在推動學(xué)生對試題進(jìn)行深度思考方面不斷深入．這些學(xué)生不熟知的情景是新穎、公平且具有挑戰(zhàn)性的,需要學(xué)生深入理解定義并挖掘關(guān)鍵條件和本質(zhì),旨在讓學(xué)生通過推理解決問題,引發(fā)深度思考．然而部分定義新數(shù)試題依舊停留在依葫蘆畫瓢的表面應(yīng)用,究其原因在于缺乏合適的問題梯度與合理的開放空間,沒有觸及新數(shù)被定義背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法,難以觸動學(xué)生深層的理性思考．

例1(2019年重慶數(shù)學(xué)中考第22題)現(xiàn)在我們來研究一種特殊的自然數(shù)——“純數(shù)”．定義:對于自然數(shù)n,在計(jì)算n+(n+1)+(n+2)時,各數(shù)位都不產(chǎn)生進(jìn)位,則稱這個自然數(shù)n為“純數(shù)”．

(1)判斷2 019和2 020是否是“純數(shù)”,請說明理由;

(2)求不大于100的“純數(shù)”的個數(shù)．

從(1)(2)兩問的解決過程入手可以發(fā)現(xiàn),被創(chuàng)造出來的純數(shù)的定義只是為了讓學(xué)生依據(jù)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算的套用,做題方向明確且不會給學(xué)生帶來思維切入的束手無策,屬于定義新數(shù)試題思維開放空間不夠深入的一個實(shí)例．但若我們針對第(2)問進(jìn)行改編,將問題設(shè)置改為“列出不大于100的純數(shù),簡述一下你是如何快速判斷這些數(shù)是純數(shù)的”,就將題目原本依葫蘆畫瓢的重心轉(zhuǎn)移到了如何判斷100之內(nèi)的數(shù)為純數(shù)的思想方法角度上來,尤其是題目中簡述的要求大大增加了題目的開放性,促使學(xué)生對本題進(jìn)行思維層面的深度思考．

例2若一個正整數(shù)能表示為兩個正整數(shù)的平方差,則稱這個正整數(shù)為“智慧數(shù)”．如3=22-12,7=42-32,8=32-12,因此3,7,8都是智慧數(shù)．

(1)18智慧數(shù),2 017智慧數(shù).(填“是”或者“不是”)

(2)除1外的正奇數(shù)一定是智慧數(shù)嗎?說明理由．

從(1)(2)兩問的設(shè)置來看,對2 017是否為智慧數(shù)的判斷,其實(shí)是除1外的正奇數(shù)一定是智慧數(shù)的一種特例．但是對學(xué)生來講,直接從定義的角度猜想2 017是不是兩個正整數(shù)的平方差、是哪兩個正整數(shù)的平方差太具挑戰(zhàn)性．若是先將第(2)小問提前,則更能引導(dǎo)學(xué)生用已知的完全平方公式(n+1)2=n2+2n+1去表示2n+1這一奇數(shù)通項(xiàng),去確定除1外的正奇數(shù)一定是智慧數(shù),但這也就缺少了一個特殊的正奇數(shù)為智慧數(shù)的直觀實(shí)例感受．由此可見,定義新數(shù)試題需設(shè)置合適的問題梯度,為學(xué)生挖掘新數(shù)背后的數(shù)學(xué)思想方法提供良好工具,避免學(xué)生無所適從．

例3(1990年北京市競賽卷)一個非零自然數(shù)若能表示為兩個非零自然數(shù)的平方差,則稱這個自然數(shù)為“智慧數(shù)”,比如16=52-32,故16是一個“智慧數(shù)”．在自然數(shù)列中,從1開始起,第 1 990個“智慧數(shù)”是.

例3通過“第1 990個智慧數(shù)是什么”的提問設(shè)置了極大的開放空間,蘊(yùn)含分類討論的數(shù)學(xué)思想,旨在讓學(xué)生摸透智慧數(shù)的定義本質(zhì)．突破本題的關(guān)鍵在于明確如何在自然數(shù)列中選擇數(shù)成為智慧數(shù)．結(jié)合定義我們可以發(fā)現(xiàn)判斷一個數(shù)是否為智慧數(shù),關(guān)鍵在于這個數(shù)能否寫成兩個非零自然數(shù)的和與差的乘積的形式,抓牢(n+1)2-n2=2n+1,(n+1)2-(n-1)2=4n這些特殊的平方計(jì)算公式,不難發(fā)現(xiàn)每個大于1的奇數(shù)和每個大于4且是4的倍數(shù)的偶數(shù)都是智慧數(shù)．基于此,從奇數(shù)智慧數(shù)與偶數(shù)智慧數(shù)的特征入手,就可以求得第1 990個智慧數(shù)．

結(jié)合例2、例3來看,對于智慧數(shù)問題的編制,1990年北京市競賽卷更加能觸動學(xué)生的深層思考,但要求學(xué)生直接從奇數(shù)與偶數(shù)中確定智慧數(shù)的特征太具挑戰(zhàn)性．如若站在“除1外的正奇數(shù)一定是智慧數(shù)嗎?說明理由”的開放性問題基礎(chǔ)上設(shè)置新的問題階梯,則可更快、更準(zhǔn)確地觸動學(xué)生思維．將例3的問題設(shè)置改為:

(1)除1外的正奇數(shù)一定是智慧數(shù)嗎?說明理由．

(2)在自然數(shù)列中,從1開始起,第1 990個“智慧數(shù)”是.

(3)在自然數(shù)列中,從1開始起,第k個“智慧數(shù)”是.

這樣的編制不僅保留了例2中的開放性問題的啟發(fā)作用,更是在正奇數(shù)的規(guī)律展示后,將例3求第1 990個智慧數(shù)的思維方法一般化,要求學(xué)生更深層次地回歸本質(zhì)理解該題,更能觸動學(xué)生思維的活躍性．

綜上可見,設(shè)置合適的問題梯度、合理的開放空間對促進(jìn)定義新數(shù)試題更好地觸動學(xué)生的深層思維、展現(xiàn)試題的育人功能至關(guān)重要．

2 一道定義新數(shù)試題實(shí)例編制構(gòu)思:新探課本素材和挖掘思想方法

定義新數(shù)試題雖然呈現(xiàn)了新的形式和概念,但是透過概念本質(zhì)發(fā)現(xiàn)其仍舊是與教材上的知識密切關(guān)聯(lián)的,比如智慧數(shù)的概念就與平方公式息息相關(guān)．那么教材在介紹有理數(shù)、實(shí)數(shù)這些與數(shù)有關(guān)的章節(jié)知識時,是否早已暗藏了一些“新數(shù)”的影子?由此,筆者再次回歸教材重新探尋課本素材并深入挖掘思想方法,以下呈現(xiàn)一道定義新數(shù)試題的編制的心路歷程．

·新探課本素材

北師大版七年級上冊數(shù)學(xué)教材在第二章《有理數(shù)及其運(yùn)算》習(xí)題2.17問題解決部分有這樣一道題:寫出一個四位數(shù),它的各個數(shù)位上的數(shù)字都不相等(如6 731)．用這個四位數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字組成一個最大數(shù)和一個最小數(shù),并用最大數(shù)減去最小數(shù),得到一個新四位數(shù)．對于得到的新四位數(shù),重復(fù)上面的過程,又得到一個新四位數(shù)．一直重復(fù)下去,你發(fā)現(xiàn)了什么?請借助計(jì)算器幫助你進(jìn)行探索．

浙江教育出版社《數(shù)學(xué)作業(yè)本(七年級上)》(2021年版)第18頁第7題也類似地讓學(xué)生利用計(jì)算器,按照流程圖(圖1)操作并猜想規(guī)律．

圖1

這兩道題都意在讓學(xué)生利用計(jì)算器來驗(yàn)證一個特殊的性質(zhì):任意數(shù)字不全相等的四位數(shù),經(jīng)過“由這四位數(shù)的四個位數(shù)的數(shù)字組成最大數(shù)減去最小數(shù)的差”的反復(fù)運(yùn)算,在有限步(7步)之內(nèi)必得出6 174,隨后運(yùn)算結(jié)果均為6 174．這個神奇的數(shù)最早由印度數(shù)學(xué)家卡普雷卡爾發(fā)現(xiàn),也曾被稱作馬丁猜想．但僅僅利用計(jì)算器進(jìn)行驗(yàn)算并不能在習(xí)題所呈現(xiàn)的思想方法層面進(jìn)行深度挖掘,究竟為何各數(shù)位不全相等的四位數(shù)會掉入6 174的循環(huán)陷阱這一問題背后的思想方法才是寶藏與精華所在,這為圍繞6 174這一循環(huán)的“黑洞數(shù)”進(jìn)行試題編制、觸動初中學(xué)生深層數(shù)學(xué)思維提供了極大空間與可能．

·挖掘思想方法

由于這個問題僅涉及9 990個四位數(shù)(包括有0在千位的情況)[4],顯然可以借助技術(shù)手段通過枚舉的方法驗(yàn)證這個猜想,但這就缺少了這道題用于啟發(fā)學(xué)生思維的靈魂所在．那么不借助技術(shù)手段,可以通過哪些方法直接將其背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法傳遞給初中生?結(jié)合已有研究,可以采取以下兩種方法突破:

方法1 蔣榮清[4]將組成這個四位數(shù)的四個數(shù)字設(shè)為a,b,c,d,且a≥b≥c≥d(a,b,c,d不全相同),則經(jīng)過一次運(yùn)算得到的新四位數(shù)k1=1 000a+100b+10c+d-1 000d-100c-10b-a=999(a-d)+90(b-c)的取值僅與(a-d),(b-c)的取值有關(guān),共有54個．在這54個四位數(shù)中,又有一部分?jǐn)?shù)在組成四位數(shù)的數(shù)字上相同,可歸為同類數(shù)．因此只需對剩下的30個同類數(shù)進(jìn)行逐一驗(yàn)證即可．

可見,對于6 174黑洞數(shù)的發(fā)現(xiàn)和證明方法蘊(yùn)含著寶貴的思想財(cái)富,倘若能將其轉(zhuǎn)化為定義新數(shù)試題,通過設(shè)置合適的問題梯度與合理的開放空間讓學(xué)生進(jìn)行自主探索,則學(xué)生在思維方面將受益無窮．

3 黑洞數(shù)的試題編制及其教學(xué)思考:融會思想方法和觸動深層思考

編題16 174這一神奇的四位數(shù)被稱為“黑洞數(shù)”,因?yàn)閷τ谌我庖粋€各個數(shù)位上的數(shù)字不全相等的四位數(shù),我們將這個四位數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字組成一個最大數(shù)減去它們組成的一個最小數(shù),得到一個新的四位數(shù),再重復(fù)這個步驟,總能在7次運(yùn)算之內(nèi)得到6 174．

(1)用6 174,6 731,8 964這三個四位數(shù)進(jìn)行上述運(yùn)算,分別需要幾次才能得到6 174?

(2)我們將組成任意一個四位數(shù)的四個數(shù)字設(shè)為a,b,c,d,且a≥b≥c≥d(a,b,c,d不全相同),觀察發(fā)現(xiàn)進(jìn)行一次運(yùn)算后得到的新四位數(shù)的取值與a,b,c,d存在什么聯(lián)系,有幾種取值可能?

(3)在(2)的基礎(chǔ)上,經(jīng)過一次運(yùn)算得到的這幾種四位數(shù)在數(shù)的組成上存在什么共同特點(diǎn)?談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn)．

編題1的設(shè)問意在將蔣榮清對黑洞數(shù)證明的思想方法巧妙地融入試題讓學(xué)生進(jìn)行探究．首先,第(1)問旨在讓學(xué)生經(jīng)過實(shí)踐,發(fā)現(xiàn)6 174經(jīng)過1步運(yùn)算即陷入循環(huán),6 731,8 964則分別經(jīng)過3步、7步陷入循環(huán),讓學(xué)生直觀感受到6 174黑洞數(shù)的神奇．第(2)問在題干部分先完成對四位數(shù)的設(shè)元,旨在讓學(xué)生從一般結(jié)構(gòu)入手探究6 174為何能成為黑洞數(shù),“得到的新四位數(shù)的取值與a,b,c,d存在什么聯(lián)系”的詢問意在讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)新四位數(shù)的取值僅與(a-d),(b-c)的取值有關(guān),從而確定對9 990個四位數(shù)的黑洞性質(zhì)研究只需轉(zhuǎn)化為對54個特殊的四位數(shù)的研究．第(3)問則留下了更大的思考空間,通過詢問經(jīng)過一次運(yùn)算后所得四位數(shù)的組成特點(diǎn),旨在讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)第(2)問轉(zhuǎn)化的54個特殊四位數(shù)研究的“同類性”——即在數(shù)位組成上4個數(shù)相同的四位數(shù),再經(jīng)過一次運(yùn)算后得到的四位數(shù)相同．

從整個題目上看,小題設(shè)置上讓學(xué)生先經(jīng)過運(yùn)算切身體驗(yàn)黑洞數(shù)的循環(huán)性,再從一般的代數(shù)角度設(shè)元思考,然后讓學(xué)生總結(jié)發(fā)現(xiàn)四位數(shù)的運(yùn)算規(guī)律,深度考查設(shè)元、分類、歸納等思想．教師針對此題進(jìn)行教學(xué)時,不僅可以讓學(xué)生直觀感受數(shù)學(xué)中考定義新數(shù)難題的課本來源及其變形過程,強(qiáng)調(diào)其本質(zhì)——思想方法的內(nèi)核,還能通過僅用30個同類數(shù)完成替代9 990個四位數(shù)的證明,達(dá)到潛移默化傳遞數(shù)學(xué)簡潔美、形式美的效果．

編題2對于任意一個各個數(shù)位上的數(shù)字都不相等的四位數(shù),我們用這個四位數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字組成一個最大數(shù)減去它們組成的一個最小數(shù),得到一個新的四位數(shù),重復(fù)這個步驟,若能在有限次運(yùn)算之內(nèi)得到一個重復(fù)循環(huán)出現(xiàn)的四位數(shù),就把這個神奇的四位數(shù)稱為“黑洞數(shù)”,那么黑洞數(shù)有幾個?具體數(shù)值又是多少呢?

編題2的設(shè)問將孫傳龍等對于黑洞數(shù)猜想的代換思想首先進(jìn)行簡單的闡述,再靈活地融入試題讓學(xué)生進(jìn)行探究．題干講清楚了尋找黑洞數(shù)的初等數(shù)學(xué)方法,保留了開放空間讓學(xué)生自行尋找并驗(yàn)證a-d,b-c-1,10+c-1-b,10+d-a與a,b,c,d分別相等的多種可能性,留下了足夠的探索空間讓學(xué)生去驗(yàn)證當(dāng)且僅當(dāng)a-d=b,b-c-1=d,10+c-1-b=a,10+d-a=c時,黑洞數(shù)有唯一解,為6 174．

此題分類情況復(fù)雜,如何選取一個合適的分類標(biāo)準(zhǔn)并進(jìn)行驗(yàn)證對學(xué)生來說是一大難點(diǎn),但解題方向十分明確,學(xué)生對分類情況的處理也能夠體現(xiàn)思維的深度．雖然這道題涉及四元一次方程組及其解法,屬超綱知識,但是站在消元的思想方法角度上,其本質(zhì)與三元一次方程組一致,且未知數(shù)的系數(shù)均為±1,計(jì)算消元處理不難．教師可以將其作為三元一次方程組及其解法的拓展練習(xí),在驗(yàn)證消元水平能力的同時深度考查學(xué)生的分類討論思想應(yīng)用能力．