漫談?wù)奂埢顒釉诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中的實施

呂小兵

(江蘇省江陰市南菁高級中學(xué)實驗學(xué)校 214400)

在“做數(shù)學(xué)”理念的引領(lǐng)下,圍繞數(shù)學(xué)折紙活動開展的數(shù)學(xué)實驗教學(xué)(以下簡稱“折紙教學(xué)”)得到一線教師與專家學(xué)者的廣泛關(guān)注．一般意義而言,折紙教學(xué)取材方便,貼近學(xué)生生活實際,能讓學(xué)生動手動腦、開發(fā)智力和陶冶情操．然而作為數(shù)學(xué)教學(xué)的折紙活動,如何實現(xiàn)與教學(xué)內(nèi)容有機結(jié)合,更好地承載數(shù)學(xué)學(xué)科育人功能,在這個領(lǐng)域仍需要廣大教師積極探索．筆者結(jié)合教學(xué)實踐談一談自己的理解,拋磚引玉,與讀者交流．

1 折紙教學(xué)的意蘊

意蘊是指一個事物的內(nèi)容或意義．折紙看似簡單,若從數(shù)學(xué)的角度加以研究則意蘊深妙,至今已發(fā)展出一門被稱為折紙幾何學(xué)的分支．折紙教學(xué)中的“紙”一般忽略其顏色、厚度,可以具有一定的初始形狀,如三角形、矩形等．“折”是指為了實現(xiàn)某個特定目的所進行的對折操作,折后會在紙上留下折痕．對于折紙的“合法”操作,公認為有以下7種:兩點折線、兩點對折、兩線對折、過點對折、點折到線、雙點到線和點線線點[1]．其中前5種可以用尺規(guī)作圖完成,后2種則因借用了三維空間,使得折紙可以完成尺規(guī)作圖所不能解決的問題．

折紙教學(xué)的意蘊首先體現(xiàn)在對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)上,通過活動,學(xué)生獲得手腦協(xié)同、啟思明理之效．如果教師對折紙教學(xué)的意蘊缺乏理解,就會產(chǎn)生活動的目標(biāo)不明、規(guī)則不清、“數(shù)學(xué)味”不濃、內(nèi)隱性知識挖掘不充分等表現(xiàn),造成“紙上得來終覺淺”的觀感．

案例1“折”還是“不折”?

在一次公開課中,授課教師對八年級“等腰三角形的性質(zhì)”一課作出下列教學(xué)設(shè)計:

(1)課前請學(xué)生準(zhǔn)備各種不同類型的等腰三角形紙片;

(2)課上請學(xué)生將紙片對折,并觀察兩個底角的關(guān)系,歸納出等腰三角形“等邊對等角”的性質(zhì);

(3)繼續(xù)觀察折痕與底邊的關(guān)系、折痕與頂角的關(guān)系,歸納出等腰三角形“三線合一”的性質(zhì);

(4)在歸納出結(jié)論之后,嘗試進行演繹推理,進而證明等腰三角形的性質(zhì)定理．

應(yīng)該說整個教學(xué)內(nèi)容完成得十分順利,課堂氣氛活躍．在闡述設(shè)計意圖時,該教師認為學(xué)生通過折紙進行操作探究,可以直觀感知等腰三角形中各種要素之間的聯(lián)系,進而發(fā)展幾何直觀和邏輯推理能力,感受到成功的樂趣．

實際上,問題恰恰出在教學(xué)過程的過于“順利”與“活躍”上．針對八年級的學(xué)生,尤其是在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的班級,用折紙來引入等腰三角形的性質(zhì)有明顯的弊端．其背后的思考就是如此的折紙活動是否“稚化”了學(xué)生思維,導(dǎo)致課堂上缺少有含金量的生成．

由于學(xué)生對等腰三角形紙片進行折疊,都會采用同一種操作,并在紙片上留下一道折痕,這種唯一性限制了學(xué)生的想象,也弱化了學(xué)生觀察圖形、添加輔助線的能力．在不作提示下,學(xué)生的思維處于發(fā)散狀態(tài),可能會產(chǎn)生各種想法,并進行多元的數(shù)學(xué)表達．有意思的是,歐幾里得在編寫《幾何原本》時將命題“等邊對等角”排得比較靠前,以致證明時只有“邊角邊”可用,因此他采用的就是一種現(xiàn)在看起來不常規(guī)的思路．

認知教育心理學(xué)家奧蘇貝爾指出:影響學(xué)習(xí)最重要的原因是學(xué)生已經(jīng)知道了什么,應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識狀況進行教學(xué)．可以說,教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生學(xué)情永遠是實現(xiàn)折紙教學(xué)意蘊的起點．筆者認為,在本課教學(xué)中,不妨將折紙活動“懸置”,先給學(xué)生充分的時間進行自主探索．在經(jīng)歷了共同學(xué)習(xí)之后,對部分仍有困難的學(xué)生,用折紙活動輔助理解．實驗探究、直觀發(fā)現(xiàn)、推理論證都是研究圖形的重要途徑,折紙教學(xué)作為一種實驗探究教學(xué),其設(shè)計應(yīng)充分考慮學(xué)生在認知需求方面的差異．

2 折紙教學(xué)的開發(fā)

文[2]在比較了中日兩國教科書中折紙活動的設(shè)置后指出:中日兩國數(shù)學(xué)教科書中設(shè)置折紙活動的目的不同,中國將折紙視為一種單純的活動,主要讓學(xué)生在折紙活動中體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),而日本則將折紙看作發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的一種手段,旨在通過折紙培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的精神,即前者是“在折紙中體驗數(shù)學(xué)”,后者是“將折紙融入數(shù)學(xué)”．要做到將折紙融入數(shù)學(xué),這無疑為今后折紙教學(xué)的開發(fā)指明了方向,筆者認為可以從以下幾個方面進行嘗試.

2.1 將折紙融入幾何教學(xué)

數(shù)學(xué)折紙活動一般發(fā)生于幾何教學(xué)中,首先需要分析折紙與幾何學(xué)科的聯(lián)系．折紙與尺規(guī)作圖一樣,都對現(xiàn)實世界的經(jīng)驗進行了抽象,但是這種抽象并未完全舍棄物理背景,其本質(zhì)上仍然是建立在經(jīng)驗直覺之上．在日常教學(xué)中,教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生了解折紙與尺規(guī)作圖的聯(lián)系以及折紙的基本規(guī)則,幫助學(xué)生順利地表達操作過程．

案例2折三角形的“心”．

在學(xué)習(xí)了三角形的重心、內(nèi)心、垂心、外心等知識之后,學(xué)生可以通過折三角形紙片來確定這些“心”的位置,二者的聯(lián)系見表1．

表1 折三角形的“心”與尺規(guī)作圖的對照

在幾何教學(xué)中借助折紙活動,有助于學(xué)生理解圖形與圖形的關(guān)系,發(fā)展空間觀念和推理能力．

2.2 將折紙融入代數(shù)教學(xué)

圖1

目前而言,學(xué)生在折紙中的學(xué)習(xí)仍然比較單一,著眼點在于某一個幾何知識的體驗或者建構(gòu)．與日本折紙教學(xué)相比,我們還缺少在代數(shù)教學(xué)方面的嘗試．

學(xué)生借助動作表征能更好地上升到對符號表征的理解,這正是具身認知的優(yōu)勢．另一方面,折紙的過程既可以復(fù)盤再現(xiàn),也可以推進新的問題．學(xué)生回顧知識或者繼續(xù)思考,這些都是將折紙融入數(shù)學(xué)的體現(xiàn)．

由于折紙運用了三維空間,因此其中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理也比尺規(guī)作圖復(fù)雜．教師結(jié)合教學(xué)需要,可以設(shè)計出許多與折紙有關(guān)的代數(shù)問題．例如:

問題1如圖2,點E,F分別是矩形紙片ABCD的邊AD,BC上的點,將紙片沿著EF折疊,B′F與AD交于點G,試探究:怎樣折能夠使△EFG的面積最大?

(此為一次函數(shù)問題)

圖2 圖3

問題2如圖3,將正方形紙片ABCD折疊,使折痕①與邊AB平行,打開后再次折疊使點B和點E重合,出現(xiàn)折痕②,兩條折痕交于點G．將上述操作重復(fù)進行若干次,可以觀察到點G的不同位置形成一條曲線,試探究:這是一條怎樣的曲線?

(此為二次函數(shù)問題)

2.3 將折紙融入作業(yè)設(shè)計

在素養(yǎng)目標(biāo)的指引下,當(dāng)今的數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計正在發(fā)生改變．帶有數(shù)學(xué)任務(wù)的折紙活動完全可以設(shè)計為學(xué)生作業(yè),從而打破紙筆作業(yè)“一統(tǒng)天下”的局面,使得數(shù)學(xué)作業(yè)能夠體現(xiàn)過程性、加強活動性、重視差異性,實現(xiàn)紙筆作業(yè)難以達到的效果．在九年級學(xué)習(xí)了“相似三角形”之后,筆者設(shè)計了一份這樣的作業(yè):

案例3折三等分點．

問題1利用尺規(guī)作圖,作出線段AB的一個三等分點,你有哪些方法?

學(xué)生典型作法如圖4、圖5所示．

圖4 圖5

問題2取一張正方形紙片,你能通過折紙折出一邊上的三等分點嗎?如果你有方法(控制在6步之內(nèi)),畫出示意圖,闡釋其中的原理．最后從折法是否簡捷、是否具有一般性等角度對自己的方案進行評價．

學(xué)生實際提交的方案有很多,有的圖案繪制精美,有的理論敘述嚴謹．根據(jù)其中所用知識大體可分為三類:相似、勾股定理、三角函數(shù)．有一些折法與著名的日本芳賀和夫折紙三大定理一致,當(dāng)然也有一些折法是錯誤的．鑒于此,備課組迅速跟進,制作了相應(yīng)教學(xué)課件“‘紙’愛數(shù)學(xué)”,充分發(fā)揮了這節(jié)課的教學(xué)價值．以下是其中兩個教學(xué)片斷:

圖6是學(xué)生提交的一種折法,并認為這種折法具有巧合性．教師點評:這種折法是有可能一次成功的,但是它是一個零概率事件．

圖7是一種學(xué)生進行不下去的折法．教師點評:注意觀察3乘3的正方形和4乘4的正方形,它們之間具有的位似關(guān)系．從失敗到成功往往只有一步之遙(再折一次即可)!

圖6 圖7 圖8

圖8是教師開發(fā)的一種“半成品”方案,請學(xué)生思考這種折法有沒有利用價值(注意折痕BF,DE的交點相當(dāng)于△ABD的重心)．讓學(xué)生再次感受“多走一步就會成功”的體驗．

3 折紙教學(xué)的實施建議

3.1 合理安排教學(xué)方式

林崇德指出:在少年期的思維中,抽象邏輯思維開始占優(yōu)勢,但在很大程度行還屬于經(jīng)驗型,他們的邏輯思維需要感性經(jīng)驗的直接支持[3]．因此,在七年級開展折紙教學(xué)應(yīng)當(dāng)以直觀為主,學(xué)生在折紙活動中對折垂線、平行線、三角形的三線等基本任務(wù)形成動作表征,增強空間觀念．而在八年級與九年級應(yīng)當(dāng)開展一些具有較高思維含量的折紙教學(xué)．

《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》對數(shù)學(xué)教學(xué)的課程目標(biāo)、內(nèi)容目標(biāo)、實施建議、學(xué)業(yè)評價都提出了具體指導(dǎo)．教師應(yīng)在課標(biāo)的指導(dǎo)下靈活開展折紙教學(xué),可以是一個課堂教學(xué)片段,也可以是一節(jié)完整的實驗課,甚至是一個多課時、跨學(xué)科的項目式學(xué)習(xí),也可以設(shè)計為課后作業(yè)．以“圖形與幾何”“數(shù)與代數(shù)”兩大主題中篩選出的部分題材為例,來說明折紙教學(xué)的安排與建議(表2)．

3.2 善用數(shù)學(xué)實驗教材

數(shù)學(xué)實驗教材可以很好地彌補基礎(chǔ)教材在指導(dǎo)學(xué)生活動方面的不足．以蘇科版《數(shù)學(xué)實驗教材(九年級全一冊)》為例,該教材中設(shè)計了三個課時

表2 部分折紙教學(xué)的教學(xué)方式建議

的折紙活動,分別是:利用圓形紙片折出正六邊形;利用正方形紙片折出黃金矩形;利用正方形和等邊三角形紙片折出一些特殊角,并計算這些角度的三角函數(shù)值[4]．這三個活動分布在圓、相似三角形、銳角三角函數(shù)等章節(jié)的學(xué)習(xí)中．

要發(fā)揮出教材中有關(guān)折紙教學(xué)應(yīng)有的價值,關(guān)鍵在于如何整合以適應(yīng)學(xué)生發(fā)展的需要．在利用圓形紙片折正六邊形的教學(xué)中,可以設(shè)置如下:

初始環(huán)節(jié)可以是設(shè)計折圓心、折圓內(nèi)接正方形等簡單任務(wù),以便逐漸過渡;拓展環(huán)節(jié)可以設(shè)計本質(zhì)不變的進階任務(wù),以利于遷移,如:改變紙形為正方形,你還能折出正六邊形嗎?引導(dǎo)學(xué)生抓住構(gòu)造正六邊形的中心角60°這個解決問題的關(guān)鍵．

教師創(chuàng)造性地使用教材,方能促進折紙教學(xué)能與常規(guī)教學(xué)一樣做到“源于教材,高于教材”．

3.3 著力于學(xué)生能力發(fā)展

不能發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力的折紙教學(xué)應(yīng)當(dāng)堅決予以摒棄．喻平認為,數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的形成和發(fā)展依賴兩類知識,分別是外顯性知識和內(nèi)隱性知識．外顯性知識是外顯的、靜態(tài)的結(jié)果型知識;內(nèi)隱性知識是指不以文本形式顯性表述的,潛藏于顯性知識深層的知識,包括數(shù)學(xué)知識的文化元素、數(shù)學(xué)知識的過程元素、數(shù)學(xué)知識的邏輯元素、數(shù)學(xué)知識的背景元素、學(xué)生錯誤認知資源、外顯知識的推廣與拓展等,品格與價值觀的培養(yǎng)基本上依托于內(nèi)隱性知識的作用[5]．如果局限于顯性知識,把折紙教學(xué)僅僅作為單一知識的教學(xué)或者某一道題的教學(xué),那就違背了折紙教學(xué)的初衷,不利于實現(xiàn)以數(shù)學(xué)折紙活動發(fā)展學(xué)生關(guān)鍵能力、提升學(xué)生品格和價值觀的高層次目標(biāo)．

事實上,在數(shù)學(xué)折紙活動中蘊含著豐富的隱性知識,例如折紙有關(guān)的數(shù)學(xué)文化:作為古希臘尺規(guī)作圖三大難題之一的三等分角,利用折紙可以輕松實現(xiàn),其中的道理是什么;折紙有關(guān)的德育:學(xué)生在折紙的過程中發(fā)展持續(xù)探索和永不言棄的精神;折紙中的美學(xué):利用矩形紙片可以折出黃金矩形;折紙中的審辨性思維:學(xué)生在面對一種錯誤折法時,如何進行證否．這些都是提升教學(xué)厚度、促進學(xué)生開展深度學(xué)習(xí)的資源．

總而言之,盡管學(xué)界對于折紙在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的價值已經(jīng)有充分的認識,但是在初中階段關(guān)于折紙教學(xué)的內(nèi)涵挖掘仍是一片藍海．如何將折紙自然而然地融入到學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中去,需要一線教師的廣泛實踐與研究．

折紙教學(xué)目標(biāo)的立意不能局限于“一折一得”,而應(yīng)圍繞學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展需要進行整體思考,在培養(yǎng)“四基”、提升“四能”的基礎(chǔ)上,進一步探索折紙教學(xué)對學(xué)生的數(shù)學(xué)價值觀念、數(shù)學(xué)思維品格、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等方面的提升作用．