新教材“基本不等式”習(xí)題難度的比較研究*

倉(cāng)萬(wàn)林 李 紅

(江蘇省江陰市要塞中學(xué)數(shù)學(xué)寫作工作室 214432)

1 前言

教科書是教師進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)和學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)資源,直接影響著教學(xué)的成效．近年來(lái),在核心素養(yǎng)視域下,中外不同版本中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書的比較研究已成為數(shù)學(xué)教育研究熱點(diǎn)之一．

習(xí)題是數(shù)學(xué)教科書的重要組成部分,在學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解、數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)思想方法的掌握等方面具有舉足輕重的作用,也對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)產(chǎn)生不可忽視的影響．習(xí)題配置在一定程度上反映了數(shù)學(xué)教科書的特征,如編寫者的價(jià)值取向和編寫風(fēng)格等．因此,習(xí)題研究是教科書研究的一個(gè)重要方面．如王建磐、鮑建生對(duì)中國(guó)、美國(guó)、法國(guó)、俄羅斯、澳大利亞的六套高中數(shù)學(xué)教科書中習(xí)題綜合難度進(jìn)行了比較研究[1]．

依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》,相關(guān)出版社相繼出版了多個(gè)版本的數(shù)學(xué)教科書,呈現(xiàn)出一(課)標(biāo)多(版)本的局面．本文選取了2019年最新版的人民教育出版社A版(以下簡(jiǎn)稱人教A版)、人民教育出版社B版(以下簡(jiǎn)稱人教B版)、北京師范大學(xué)出版社(以下簡(jiǎn)稱北師大版)、上海教育出版社(以下簡(jiǎn)稱滬教版)、江蘇鳳凰教育出版社(以下簡(jiǎn)稱蘇教版)、湖南教育出版社(以下簡(jiǎn)稱湘教版)、湖北教育出版社(以下簡(jiǎn)稱鄂教版)七版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)中“基本不等式”內(nèi)容習(xí)題進(jìn)行比較研究．相比于高校學(xué)者的宏觀研究,這是一線高中數(shù)學(xué)教師有可能研究的問(wèn)題．同時(shí),本文也是《七種版本新教材“基本不等式”內(nèi)容的比較研究》[2]一文的延續(xù)．

2 習(xí)題比較

數(shù)學(xué)教材是由正文、例題、習(xí)題三部分有機(jī)組成的[3]．本研究中的習(xí)題包含了例題,在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中,教師會(huì)根據(jù)教學(xué)情況更換例題,也會(huì)出現(xiàn)將例題作為作業(yè)的情況．

習(xí)題在教科書中占比較大,其配置情況直接影響著學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量．在各種版本的教科書中,習(xí)題均由例題、隨堂練習(xí)、小節(jié)習(xí)題、復(fù)習(xí)參考題四種形式構(gòu)成．例題一般跟隨在知識(shí)點(diǎn)之后,主要特點(diǎn)是“例”,即講解完某一知識(shí)點(diǎn)便設(shè)置相應(yīng)的例題來(lái)展示其具體應(yīng)用,通常會(huì)有詳細(xì)的解析和規(guī)范的解答過(guò)程．根據(jù)出現(xiàn)的位置不同,習(xí)題還有隨堂練習(xí)、小節(jié)習(xí)題以及章末復(fù)習(xí)參考題等.隨堂練習(xí)是對(duì)所學(xué)知識(shí)和例題的進(jìn)一步深化;小節(jié)習(xí)題一般位于某一節(jié)之后,起到鞏固和綜合的作用;復(fù)習(xí)參考題位于章節(jié)最后,題量較大,主要考查學(xué)生對(duì)整章知識(shí)的掌握程度．小節(jié)習(xí)題和復(fù)習(xí)參考題一般根據(jù)知識(shí)點(diǎn)模塊分為A組、B組、C組,難度逐級(jí)遞增．

2.1 習(xí)題呈現(xiàn)方式

習(xí)題呈現(xiàn)方式體現(xiàn)了教科書編寫特色．雖然本文只研究一小節(jié)內(nèi)容的習(xí)題,但從整體上梳理習(xí)題的結(jié)構(gòu)有助于我們更好地理解問(wèn)題．多種版本教科書中例題的呈現(xiàn)方式差異不大,例題之外的習(xí)題有豐富而實(shí)用的個(gè)性化設(shè)置.在新版教科書中,例題之外的習(xí)題按難度進(jìn)行分類設(shè)置已經(jīng)基本形成共識(shí),除鄂教版僅在復(fù)習(xí)參考題中進(jìn)行分類外,其余六版教科書均從隨堂練習(xí)就開(kāi)始進(jìn)行分組設(shè)計(jì),其中人教B版中隨堂練習(xí)以A、B組形式直接列出,另外五版教科書中的練習(xí)是以基本不等式證明和基本不等式實(shí)際應(yīng)用分別設(shè)置,相當(dāng)于進(jìn)行了分組．在小節(jié)習(xí)題和復(fù)習(xí)參考題中,人教B版、北師大版、滬教版、鄂教版均用A、B、C組形式分組(滬教版中的“拓展與思考”、鄂教版中的“思考與實(shí)踐”相當(dāng)于C組題)．人教A版教材以“復(fù)習(xí)鞏固、綜合應(yīng)用、拓廣探索”、蘇教版教材以“感受·理解、思考·應(yīng)用、探究·拓展”形式對(duì)習(xí)題進(jìn)行了分類;湘教版用“學(xué)而時(shí)習(xí)之、溫故而知新、上下而求索”進(jìn)行分類,從一個(gè)側(cè)面體現(xiàn)了教科書對(duì)數(shù)學(xué)文化的重視．

2.2 習(xí)題數(shù)量

要想理解、掌握一個(gè)知識(shí)點(diǎn),就需要適當(dāng)?shù)木毩?xí),但練習(xí)的次數(shù)要有度,過(guò)度的練習(xí)會(huì)給學(xué)生帶來(lái)學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān),這也是經(jīng)常困擾教師教學(xué)的一個(gè)問(wèn)題．七版數(shù)學(xué)教科書的各類習(xí)題數(shù)量如表1所示.

表1 七版數(shù)學(xué)教科書習(xí)題數(shù)量

由表1可知,習(xí)題數(shù)量最少的是北師大版,僅有19題,由于北師大版教科書將“基本不等式”小節(jié)放置在初高中銜接內(nèi)容中,因此在題目數(shù)量上較少;最多的是人教B版,有37題．七版教科書中習(xí)題數(shù)量的中位數(shù)是25,方差為47.48．小節(jié)習(xí)題所占的比重最大．新教材的習(xí)題數(shù)量均略多于相應(yīng)版本舊教材,更強(qiáng)調(diào)學(xué)生練習(xí)．

圖1 數(shù)學(xué)課程綜合難度模型

2.3 習(xí)題難度

2002年,鮑建生借鑒Nohara的數(shù)學(xué)題“綜合難度”分析框架,建立了數(shù)學(xué)課程綜合難度模型[4],如 圖1．史寧中等從課程深度、課程廣度和課程時(shí)間三個(gè)因素建立了課程難度模型[5].2013年,郭民、史寧中又修正了課程難度模型[6]．

本文根據(jù)鮑建生修正后的綜合難度模型進(jìn)行研究,見(jiàn)表2．這個(gè)模型操作簡(jiǎn)單,使用方便,相對(duì)較好地量化了數(shù)學(xué)題的綜合難度．

表2 數(shù)學(xué)習(xí)題難度因素與水平

權(quán)重的加權(quán)平均值,dij表示第i個(gè)難度因素上第j個(gè)水平的權(quán)重(dij=j),nij表示屬于第i個(gè)難度因素上第j個(gè)水平的題目個(gè)數(shù),n表示題目總個(gè)數(shù)．

由于本文研究的習(xí)題數(shù)量不太多,筆者以人教A版教科書習(xí)題為例,給出習(xí)題難度分析結(jié)果(表3).

表3 人教A版教材習(xí)題難度一欄表

按同樣方式,得到另外六版教科書習(xí)題的難度分析表,在此基礎(chǔ)上,匯總七版教科書習(xí)題難度因素加權(quán)平均統(tǒng)計(jì)結(jié)果(表4).

表4 七版教科書習(xí)題難度因素加權(quán)平均統(tǒng)計(jì)

下面,先按照每個(gè)難度因素分別對(duì)七版教科書進(jìn)行定量分析和定性描述,然后再?gòu)木C合難度上進(jìn)行比較．

2.3.1 在背景水平上的差異

從表4可以看出七版數(shù)學(xué)教科書在背景因素水平上差異較大:滬教版中屬于“無(wú)背景”水平習(xí)題比例最高,為74.07%,人教B版的比例也在70%以上,與之形成鮮明對(duì)比的是,人教A版和湘教版比例均為44%,北師大版最低,僅為42.11%．這反映出教科書編寫者對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的觀點(diǎn)有很大的差異,體現(xiàn)在實(shí)際教學(xué)中,一線教師對(duì)新教材中應(yīng)用問(wèn)題的態(tài)度有很大的分化．在“有背景”的問(wèn)題中,在與生產(chǎn)生活相關(guān)的“個(gè)人生活”和“公共常識(shí)”方面,人教A版、湘教版、北師大版占比超過(guò)了50%．在“科學(xué)情境”上,七版教科書處于較低的水平,僅人教A版、人教B版、蘇教版中各有1個(gè)問(wèn)題．

當(dāng)然,由于研究對(duì)象的特殊性,對(duì)七版高中數(shù)學(xué)教科書進(jìn)行背景水平的測(cè)量具有一定的片面性．事實(shí)上,七版教科書中,許多有背景的問(wèn)題并不在例題中,多數(shù)教材都偏向在引入部分和探究建模部分設(shè)置有情景的問(wèn)題．

2.3.2 在數(shù)學(xué)認(rèn)知水平上的差異

七版高中數(shù)學(xué)教科書習(xí)題在數(shù)學(xué)認(rèn)知水平上的差異分析結(jié)果如圖2所示．

圖2 七版數(shù)學(xué)教科書習(xí)題在數(shù)學(xué)認(rèn)知水平上的比較

從整體來(lái)看,七版教科書都是“理解”水平的習(xí)題最多,“識(shí)記”水平的次之,“探究”水平的習(xí)題最少,僅在蘇教版中出現(xiàn)過(guò)1個(gè)“探究”水平的習(xí)題．“理解”水平的習(xí)題占比一般在80%左右,其中人教A版的比例最低,為64%,鄂教版的比例最高,為90%,其他幾個(gè)版本差異不明顯．在“應(yīng)用”水平上,人教A版的比例最高,為16%,是其他版本的2～3倍．總的來(lái)說(shuō),七版教科書“探究”水平的習(xí)題較少,部分問(wèn)題出現(xiàn)在“閱讀與思考”或者“信息技術(shù)應(yīng)用”等欄目中．這也說(shuō)明了高中教科書更加重視讓學(xué)習(xí)者理解領(lǐng)會(huì)知識(shí),而不僅僅是簡(jiǎn)單的計(jì)算和概念識(shí)記．同時(shí)從圖表中可以發(fā)現(xiàn),人教A版“識(shí)記”水平的習(xí)題占比為20%,與其形成鮮明對(duì)比的是,鄂教版中僅有5%,這是鄂教版習(xí)題總量在七版教科書中數(shù)量最少的原因之一．

2.3.3 在運(yùn)算水平上的差異

七版教科書中均沒(méi)有出現(xiàn)“復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算”水平的習(xí)題,這與“基本不等式”內(nèi)容在新教材中的位置前移有關(guān),也從一個(gè)側(cè)面解釋了部分一線教師在教學(xué)時(shí)會(huì)受原教材和評(píng)價(jià)的影響,產(chǎn)生很多不適應(yīng)．在“簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算”上,占比最高的前兩位是鄂教版(90%)和湘教版(88%),人教A版的最低(48%)．不同版本側(cè)重點(diǎn)差異較大:人教A版、人教B版、滬教版教材在“無(wú)運(yùn)算”“數(shù)值運(yùn)算”與“簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算”方面的比例相當(dāng);鄂教版和湘教版更重視“簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算”,其次是“數(shù)值運(yùn)算”．“無(wú)運(yùn)算”習(xí)題比例非常低,僅在蘇教版和湘教版中出現(xiàn)了少量無(wú)運(yùn)算的習(xí)題．

2.3.4 在推理水平上的差異

由表4不難看出,七版教科書習(xí)題以“無(wú)推理”和“簡(jiǎn)單推理”水平為主,在這兩個(gè)水平上基本保持一致,占比均在50%左右．在“復(fù)雜推理”層次上,人教A版和蘇教版分別有一個(gè)習(xí)題．人教B版推理水平的習(xí)題占比為56.76%,明顯高于其他幾個(gè)版本,滬教版推理水平的習(xí)題占比較低,為37.04%.

2.3.5 在知識(shí)含量水平上的差異

統(tǒng)計(jì)表明,七版教科書在知識(shí)含量水平上趨向一致,都是隨知識(shí)點(diǎn)數(shù)量的增加,習(xí)題所占比例逐漸減小,且大部分題目?jī)H含1～2個(gè)知識(shí)點(diǎn),均沒(méi)有出現(xiàn)“三個(gè)知識(shí)點(diǎn)”水平的問(wèn)題．七版教科書習(xí)題在“一個(gè)知識(shí)點(diǎn)”水平的占比在60%左右,蘇教版占比最高,為65.71%,湘教版最低,為52%．在“兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)”水平的習(xí)題占比40%．這體現(xiàn)出新教材習(xí)題考查的知識(shí)點(diǎn)更加全面,有利于鍛煉學(xué)生解題能力,提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

2.3.6 綜合難度的差異

表5給出了七版教科書習(xí)題在五個(gè)難度因素上的排序情況,現(xiàn)在利用綜合難度模型計(jì)算其綜合難度值．

通過(guò)對(duì)習(xí)題難度因素加權(quán)平均值的統(tǒng)計(jì),得到下面的雷達(dá)圖,見(jiàn)圖3．

圖3 七版數(shù)學(xué)教科書習(xí)題綜合難度的比較

2.4 結(jié)論

研究表明,人教A版、人教B版的整體水平差異不大．滬教版的知識(shí)綜合程度不高．七版高中數(shù)學(xué)教科書習(xí)題在綜合難度上都沒(méi)有保持5個(gè)難度因素之間的平衡,知識(shí)含量因素的加權(quán)均值相比其他4個(gè)因素要小很多,在“認(rèn)知要求”和“運(yùn)算”上要求都比較高．因此,教科書習(xí)題的選擇和編寫應(yīng)注意與數(shù)學(xué)內(nèi)容緊密結(jié)合,充分考慮其特殊性,適當(dāng)兼顧各個(gè)難度因素之間的平衡．

表5 七種版本教材習(xí)題難度因素排序

3 研究啟示和教學(xué)建議

3.1 研究啟示

3.1.1 改善習(xí)題呈現(xiàn)方式

習(xí)題的設(shè)置在很大程度上會(huì)影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解及其數(shù)學(xué)思維的形成過(guò)程[7]．各個(gè)版本的新教材中,例題的呈現(xiàn)方式可以適當(dāng)豐富,與其余的習(xí)題在結(jié)構(gòu)上形成有機(jī)銜接．雖然七版教科書中多數(shù)對(duì)例題之外的習(xí)題進(jìn)行了分層處理,但沒(méi)有根據(jù)不同的知識(shí)技能目標(biāo)進(jìn)行更加細(xì)致具體的分層處理．建議小節(jié)習(xí)題分為“鞏固題”“應(yīng)用題”“復(fù)習(xí)題”“開(kāi)放題”等,章復(fù)習(xí)參考題以“技能”“性質(zhì)”“應(yīng)用”“拓展”4個(gè)方面分層次呈現(xiàn),體現(xiàn)較完善的習(xí)題呈現(xiàn)方式,并分配相應(yīng)數(shù)量的習(xí)題．

3.1.2 適當(dāng)增加探索性和開(kāi)放性習(xí)題

從研究的結(jié)果中不難發(fā)現(xiàn),七版教科書中處于探究分析、復(fù)雜推理和復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算等高層次水平的習(xí)題占比較少.需要在注重雙基、重視概念練習(xí)的前提下,重視較高數(shù)學(xué)認(rèn)知水平的培養(yǎng),降低與例題形式完全相同、直接模仿例題解答的練習(xí)題比例,提高較高認(rèn)知水平的練習(xí)題比例．新課標(biāo)提倡豐富多彩的學(xué)習(xí)方式,如探究學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)等,建議教科書中適當(dāng)設(shè)置“開(kāi)放題”(探究題、動(dòng)手實(shí)踐題、合作交流題),方式上可采用現(xiàn)在越來(lái)越多教師和學(xué)生感興趣的數(shù)學(xué)寫作等形式．

3.2 教學(xué)建議

在實(shí)際教學(xué)中,教師應(yīng)全方位參考多版本教科書,取長(zhǎng)補(bǔ)短,選擇合適的教學(xué)內(nèi)容,并根據(jù)學(xué)情選擇性地進(jìn)行拓展延伸．

教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化融入課程的實(shí)踐.習(xí)題作為數(shù)學(xué)教科書的重要組成部分,也要體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的價(jià)值．基本不等式內(nèi)容中包含著豐富的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容,如人教A版和蘇教版等教科書中廣泛應(yīng)用的“弦圖”、基本不等式的無(wú)字證明等,在教學(xué)中應(yīng)引起重視．

致謝:本文寫作得到了眾多專家的指導(dǎo),如蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院嚴(yán)亞強(qiáng)教授、周超教授,華東師范大學(xué)出版社劉祖希老師,廣西教育期刊社陸順演老師,溧陽(yáng)市教師發(fā)展中心教研員胡云飛老師,浙江杭州第九中學(xué)龔雷老師等,一并感謝．