融會(huì)貫通深入本質(zhì)

劉向權(quán) 劉子嶺

摘要：通過(guò)兩道經(jīng)典的“姊妹習(xí)題”的教學(xué)，從系統(tǒng)的角度審視數(shù)學(xué)，置散亂知識(shí)于系統(tǒng)之中，著眼于數(shù)學(xué)知識(shí)間的緊密聯(lián)系和內(nèi)在規(guī)律，以及數(shù)學(xué)思想方法的滲透，在融會(huì)貫通的過(guò)程中，透過(guò)紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象，深入數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：習(xí)題教學(xué) 聯(lián)系規(guī)律 思想滲透

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《新課標(biāo)》）在“課程實(shí)施”之“教學(xué)建議”部分明確指出：教學(xué)內(nèi)容是落實(shí)教學(xué)目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的載體。在教學(xué)中要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系?；谏鲜鲇^點(diǎn)，懷揣著對(duì)數(shù)學(xué)教研孜孜不倦的熱情，筆者對(duì)滬科版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材中兩道“姊妹習(xí)題”進(jìn)行了認(rèn)真挖掘與剖析，并嘗試在融會(huì)貫通中深入并揭露數(shù)學(xué)的本質(zhì)。本文將這兩道習(xí)題的教學(xué)設(shè)想、教學(xué)實(shí)施和教學(xué)思考對(duì)讀者加以分享，旨在為廣大初中數(shù)學(xué)教育同行提供教學(xué)參考，以求拋磚引玉。

一、習(xí)題呈現(xiàn)

習(xí)題1：已知，如圖1，AB∥A′B′，BC∥B′C′，BC交A′B′于點(diǎn)D。

求證：∠B=∠B′。

習(xí)題2：已知，如圖2，AB∥A′B′，BC∥B′C′，B′C′交AB于點(diǎn)D。

求證：∠B+∠B′=180°。

這兩道習(xí)題源自滬科版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第85頁(yè)第13章第2節(jié)“命題與證明”節(jié)末習(xí)題13.2中第7題、第8題。為便于敘述，本文分別將第7題、第8題稱(chēng)為“習(xí)題1”“習(xí)題2”。因這兩道習(xí)題在教材中連續(xù)出現(xiàn)且關(guān)系特殊，可共同抽象、歸納得到一個(gè)重要數(shù)學(xué)命題，故稱(chēng)它們?yōu)椤版⒚昧?xí)題”。

二、教學(xué)設(shè)想

“命題與證明”是初中生正式學(xué)習(xí)幾何證明的起始章節(jié)，通過(guò)翻閱滬科版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材可以發(fā)現(xiàn)，本節(jié)教材的教學(xué)內(nèi)容約需5個(gè)課時(shí)完成，而整節(jié)教材僅安排了9道習(xí)題，足見(jiàn)題目數(shù)量之少。因此，如何才能最大限度地發(fā)揮每道習(xí)題的教學(xué)價(jià)值與效益，無(wú)疑是對(duì)數(shù)學(xué)教師教學(xué)智慧的一大考驗(yàn)。讀者若能細(xì)細(xì)品味習(xí)題1、習(xí)題2的編排順序與邏輯關(guān)系，教材編寫(xiě)者的深刻意圖和巧妙設(shè)想便可見(jiàn)一斑。在本節(jié)兩道“姊妹習(xí)題”的教學(xué)中，如果僅停留在“完成證明”的膚淺層面，這無(wú)異于坐失良機(jī)。基于此，筆者試圖依托兩道“姊妹習(xí)題”的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生縱深挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)之間的微妙聯(lián)系和內(nèi)在規(guī)律，進(jìn)而將散亂的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化，讓學(xué)生在融會(huì)貫通中，透過(guò)紛繁復(fù)雜的外在現(xiàn)象，認(rèn)識(shí)事物的內(nèi)在本質(zhì)，進(jìn)而領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦。

三、教學(xué)實(shí)施

（一）引導(dǎo)分析，證明習(xí)題

教師：請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合習(xí)題1的條件和圖1進(jìn)行思考，這兩個(gè)角離得比較“遠(yuǎn)”，要證明∠B=∠B′，該怎么辦呢？

學(xué)生1：可以利用平行線的性質(zhì)，先證明∠B和∠B′都等于∠A′DC（或∠BDB′）。

教師：具體說(shuō)說(shuō)怎么書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程吧！

學(xué)生1選擇利用“兩直線平行，同位角相等”這一性質(zhì)（在實(shí)際教學(xué)中，也可能會(huì)有同學(xué)選擇利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”這一性質(zhì)）口述證明過(guò)程，其余同學(xué)補(bǔ)充如下：

證明∵AB∥A′B′，BC∥B′C′，（已知）

∴∠B=∠A′DC，∠B′=∠A′DC。（兩直線平行，同位角相等）

∴∠B=∠B′。（等量代換）

教師：在這里，∠A′DC就像一座“橋”，建立了∠B和∠B′之間的聯(lián)系，這個(gè)思路很巧妙！我們接著分析習(xí)題2，哪位同學(xué)來(lái)談?wù)勛约旱南敕ǎ?/p>

學(xué)生2：這道題也可以類(lèi)似地通過(guò)∠ADB′這座“橋”將∠B與∠B′聯(lián)系起來(lái)。

教師：請(qǐng)說(shuō)說(shuō)具體怎樣聯(lián)系。

學(xué)生2：利用平行線的性質(zhì)，先證∠ADB′+∠B′=180°，再由“兩直線平行，同位角相等”可證∠B=∠ADB′，從而得到∠B+∠B′=180°這一結(jié)論。

此題可先讓學(xué)生嘗試證明，再逐步規(guī)范證明過(guò)程，具體如下：

證明∵AB∥A′B′，（已知）

∴∠ADB′+∠B′=180°。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

∵BC∥B′C′，（已知）

∴∠B=∠ADB′。（兩直線平行，同位角相等）

∴∠B+∠B′=180°。（等量代換）

教師要善于鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度分析問(wèn)題，嘗試用不同方法解決問(wèn)題，只要思路清晰合理，方法得當(dāng)，均應(yīng)予以肯定。

（二）自然聯(lián)想，整合歸納

教師：對(duì)于習(xí)題1，在不改變題目條件的前提下，如果教材未給出圖形，你能通過(guò)聯(lián)想，畫(huà)出與圖1不同的圖形嗎？

學(xué)生3與同學(xué)充分交流討論，結(jié)合圖1聯(lián)想得到圖3。

教師：那么，對(duì)于習(xí)題2，如果將題目中的“B′C′交AB于點(diǎn)D”改為“BC交A′B′于點(diǎn)D”，其他條件和所要證明的結(jié)論不變，你還能畫(huà)出與圖2不同的圖形嗎？

學(xué)生4先自主嘗試畫(huà)圖，再與同學(xué)進(jìn)行必要的交流討論，聯(lián)系圖2得出圖4。

在引導(dǎo)學(xué)生嘗試畫(huà)出圖3、圖4時(shí)，個(gè)別同學(xué)可能只是簡(jiǎn)單地將圖1、圖2中的∠B′平移，便誤以為得到了新圖形，若遇此情況，教師需引導(dǎo)學(xué)生對(duì)前后所畫(huà)圖形加以比較分析，在不挫傷學(xué)生積極性的前提下予以明確否定，以免對(duì)其他同學(xué)造成誤導(dǎo)。

教師：接下來(lái)，我們能不能想辦法將上面四個(gè)圖形整合成一個(gè)圖形呢？

經(jīng)學(xué)生交流討論后畫(huà)出草圖，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)草圖進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，做出標(biāo)注得到圖5。

教師：結(jié)合整合后的圖5及習(xí)題1、習(xí)題2的證明，你能?chē)L試著歸納出結(jié)論嗎？

學(xué)生5：如果兩角的兩邊分別互相平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。

學(xué)生的語(yǔ)言未必簡(jiǎn)潔精煉，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)語(yǔ)言進(jìn)行梳理和推敲。

（三）梳理升華，發(fā)掘聯(lián)系

教師：但是，兩角何時(shí)相等，何時(shí)互補(bǔ)呢？

此時(shí)，若學(xué)生感到有難度，可審時(shí)度勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生從“兩組平行邊的射線方向”這一角度進(jìn)行思考分析。

學(xué)生6：當(dāng)兩組平行邊的射線方向全部相同（圖5中∠B和∠1）或全部相反（圖5中∠B和∠3）時(shí)，這兩個(gè)角相等。

學(xué)生7：當(dāng)兩組平行邊的射線方向一同一反（圖5中∠B和∠2，∠B和∠4）時(shí)，這兩個(gè)角互補(bǔ)。

學(xué)生6和學(xué)生7的回答未必如此準(zhǔn)確精練，只要大意正確，再加以引導(dǎo)和完善，師生便可逐步達(dá)成共識(shí)。

教師：如果我們將兩組平行邊射線方向相同的關(guān)系規(guī)定為“正”，方向相反的關(guān)系規(guī)定為“負(fù)”，進(jìn)而將兩角相等的關(guān)系規(guī)定為“正”，互補(bǔ)的關(guān)系規(guī)定為“負(fù)”，那么，剛才兩位同學(xué)梳理總結(jié)出的結(jié)論，可以怎樣描述呢？

學(xué)生8：“正、正”得“正”，“負(fù)、負(fù)”得“正”，“正、負(fù)”得“負(fù)”，“負(fù)、正”得“負(fù)”。

教師：還能描述得更簡(jiǎn)潔一些嗎？

學(xué)生8（回顧并聯(lián)系有理數(shù)乘、除法法則，與同伴進(jìn)行深入交流討論后回答）：“同號(hào)”得“正”，“異號(hào)”得“負(fù)”。

教師：原來(lái)，這和有理數(shù)乘、除法的符號(hào)法則竟然有如此微妙的聯(lián)系！

（四）平移直線，深化聯(lián)系

教師：如果我們?cè)囍揭茍D5中的直線EF，使它與射線BA所在的直線重合，得到圖6。大家對(duì)這個(gè)圖形熟悉嗎？

學(xué)生9：在七年級(jí)下冊(cè)第10章學(xué)習(xí)“平行線的性質(zhì)”時(shí)，經(jīng)常見(jiàn)到與圖6類(lèi)似的圖形。

教師：你說(shuō)得很好，也很具體！由于在圖6中仍然有∠ABC=∠1，∠ABC=∠3，∠ABC+∠4=180°，因此上述關(guān)系分別是對(duì)“兩直線平行（GH∥BC），同位角相等（∠ABC=∠1）”、“兩直線平行（GH∥BC），內(nèi)錯(cuò)角相等（∠ABC=∠3）”和“兩直線平行（GH∥BC），同旁內(nèi)角互補(bǔ)（∠ABC+∠4=180°）”這幾個(gè)性質(zhì)的生動(dòng)詮釋。

學(xué)生恍然大悟，用目光相互交流，思維得到碰撞，并向縱深發(fā)展。

教師：在圖6的基礎(chǔ)上，如果我們?cè)賹⒅本€GH平移，使其與射線BC所在的直線重合，得到圖7。這個(gè)圖中又蘊(yùn)含了哪些我們熟悉的數(shù)學(xué)知識(shí)呢？

學(xué)生10：兩角相等的定義。

學(xué)生11：平角的定義。

學(xué)生12：（鄰）補(bǔ)角的定義。

學(xué)生13：對(duì)頂角相等。

學(xué)生的回答未必如此全面、有序，也可能會(huì)有變化，必要時(shí)需稍作引導(dǎo)，逐步完善，進(jìn)而達(dá)成共識(shí)。

教師：由此看來(lái)，數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，有時(shí)竟如此讓人意想不到，卻又那么合情合理。

至此，數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系又得到深化，學(xué)生的心靈被徹底震撼，他們已深深折服于數(shù)學(xué)的無(wú)窮魅力。

（五）透過(guò)現(xiàn)象，揭露本質(zhì)

教師：從對(duì)兩道“姊妹習(xí)題”的證明開(kāi)始，一路走來(lái)，摸爬滾打，我們發(fā)現(xiàn)兩角相等的定義、平角的定義、（鄰）補(bǔ)角的定義、對(duì)頂角相等、平行線的性質(zhì)這些看似散亂的數(shù)學(xué)知識(shí)原來(lái)包括在同一個(gè)結(jié)論（如果兩角的兩邊分別互相平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)）之中?；蛘哒f(shuō)，它們?cè)揪蛯儆谕粋€(gè)系統(tǒng)。由此可見(jiàn)，要學(xué)好數(shù)學(xué)，我們就應(yīng)該善于透過(guò)現(xiàn)象……

學(xué)生：（齊答）看本質(zhì)！

教師總結(jié)點(diǎn)題，在幫助學(xué)生簡(jiǎn)化記憶數(shù)學(xué)結(jié)論、自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的同時(shí)，數(shù)學(xué)課堂也得到了升華，彰顯至高的教學(xué)境界。

四、教學(xué)思考

（一）從解決問(wèn)題到問(wèn)題解決

解題教學(xué)的最低境界是“為解題而解題”，解完一道再來(lái)一道，下課了，一節(jié)課自然也就結(jié)束了——這是低效甚至無(wú)效的解題教學(xué)，顯然沒(méi)有真正解決問(wèn)題，更沒(méi)有實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決。解題教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生“從最近聯(lián)想到優(yōu)化思維，從優(yōu)化思維到借題發(fā)揮，從借題發(fā)揮到解決問(wèn)題，從解決問(wèn)題到問(wèn)題解決”這樣一個(gè)螺旋生長(zhǎng)的思維鏈中去進(jìn)行解題訓(xùn)練。本節(jié)課，就兩道“姊妹習(xí)題”的教學(xué)而言，若僅以學(xué)生會(huì)證明兩道習(xí)題為目標(biāo)，教學(xué)效率固然會(huì)顯得很高，但教學(xué)效果則會(huì)大打折扣，教學(xué)效益也遠(yuǎn)未得到深入挖掘；若教師順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生由圖1、圖2分別聯(lián)想到圖3、圖4，通過(guò)整合圖形優(yōu)化思維，并借題發(fā)揮總結(jié)結(jié)論，再舉一反三運(yùn)用結(jié)論，基本上就能算作解決問(wèn)題了；而如果能在解決問(wèn)題的基礎(chǔ)上，努力發(fā)掘數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并將微妙的聯(lián)系逐步引向縱深，進(jìn)而將看似散亂的知識(shí)納入同一個(gè)系統(tǒng)中，便能稱(chēng)得上問(wèn)題解決了。

（二）從知識(shí)碎片到結(jié)構(gòu)體系

例題教學(xué)唯有立足當(dāng)下，承前啟后，一以貫之，既有必要的縱向延伸，又有適當(dāng)?shù)臋M向拓展，學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)才能獲得自然生長(zhǎng)。例題教學(xué)是這樣，習(xí)題教學(xué)也是如此。筆者以為，對(duì)于上述兩道“姊妹習(xí)題”的教學(xué)，大致可分為以下3個(gè)層次（或3種教學(xué)境界）。層次1：教師帶領(lǐng)學(xué)生依次完成兩道習(xí)題的證明后，再對(duì)證明思路和方法做簡(jiǎn)評(píng)或互評(píng)。層次2：在完成兩道習(xí)題證明后，教師進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生思考：這兩道習(xí)題之間有何內(nèi)在聯(lián)系？通過(guò)習(xí)題證明，你能歸納出一個(gè)怎樣的數(shù)學(xué)結(jié)論？層次3：在習(xí)題證明、點(diǎn)評(píng)完畢后，教師先引導(dǎo)學(xué)生抽象歸納數(shù)學(xué)結(jié)論，再進(jìn)一步鼓勵(lì)學(xué)生展開(kāi)適當(dāng)聯(lián)想，啟發(fā)、引導(dǎo)他們對(duì)習(xí)題1、習(xí)題2的原圖（前文中的圖1、圖2）加以變換、整合，從而建立起“兩角相等”“平角”“（鄰）補(bǔ)角”“對(duì)頂角”“平行線的性質(zhì)”這些數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，揭示數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律與本質(zhì)。

顯然，教學(xué)層次1充其量只算完成了習(xí)題證明，僅停留在單純利用“平行線的性質(zhì)”這一知識(shí)點(diǎn)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的層面，數(shù)學(xué)知識(shí)無(wú)疑被嚴(yán)重碎片化了。而從教學(xué)層次2到數(shù)學(xué)層次3，則逐步揭示了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了前后貫通。縱觀這3個(gè)不同的教學(xué)層次，還會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)知識(shí)已實(shí)現(xiàn)由“點(diǎn)”到“線”、由“線”到“面”的飛躍，碎片化的數(shù)學(xué)知識(shí)已逐漸形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)構(gòu)體系。

（三）從觀察現(xiàn)象到深入本質(zhì)

因圖1和圖2中都有“兩角相等”“平角”“（鄰）補(bǔ)角”“對(duì)頂角”“平行線性質(zhì)”的“影子”，且在證明兩道“姊妹習(xí)題”時(shí)主要用到了這些數(shù)學(xué)知識(shí)，而這些數(shù)學(xué)知識(shí)又分散在滬科版七年級(jí)數(shù)學(xué)教材上、下冊(cè)不同的章節(jié)中。故教師引導(dǎo)學(xué)生完成習(xí)題證明后，順便帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)回顧這些知識(shí)內(nèi)容，這一做法不僅有用而且很有必要。但問(wèn)題是，如果教師走馬觀花式地帶領(lǐng)學(xué)生將這些數(shù)學(xué)知識(shí)“過(guò)一遍”，這樣的處理方式不僅過(guò)于膚淺、粗糙，數(shù)學(xué)課堂也會(huì)顯得索然無(wú)味。其實(shí)，只有教師真正做到了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)方法的高位理解，才能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力。在此前提下，教師與學(xué)生一起將相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)“理一遍”，便能撥開(kāi)籠罩在數(shù)學(xué)課堂上的“團(tuán)團(tuán)迷霧”，化“觀察現(xiàn)象”為“深入本質(zhì)”。

參考文獻(xiàn)：

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責(zé)任編輯：唐丹丹