換元法思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

摘 要：在初中數(shù)學(xué)中，存在著大量的抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)難題，有的必須采用換元法才能順利求解。初中數(shù)學(xué)教師要深刻領(lǐng)會(huì)換元法思想，靈活地把握“化歸”“轉(zhuǎn)化”的思維，激發(fā)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的積極性，促進(jìn)學(xué)生思考，提高其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。文章對(duì)換元法思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用原則進(jìn)行了簡(jiǎn)單分析，探討了在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用換元法思想的具體策略，以進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合思維。

關(guān)鍵詞：換元法思想；初中數(shù)學(xué)教學(xué)；應(yīng)用策略

作者簡(jiǎn)介：韋小云（1982—），女，廣西壯族自治區(qū)南寧市第三中學(xué)。

換元法思想是初中數(shù)學(xué)中非常重要的一種思想，它可以減少學(xué)生學(xué)習(xí)的困難，提升學(xué)生的邏輯思考能力和解題能力。新課程改革為中學(xué)數(shù)學(xué)教育帶來(lái)了新的發(fā)展契機(jī)，讓換元法的使用范圍越來(lái)越廣，為學(xué)生解決問(wèn)題提供了更快捷的途徑，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)具有重要意義。然而，在教學(xué)實(shí)踐中仍存在著一些誤區(qū)，比如有的教師講解的換元法不夠準(zhǔn)確，有的教師忽略了換元后新變量的取值范圍，有的教師只講授換元理論而忽略了實(shí)踐，等等。在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，積極培養(yǎng)學(xué)生的“轉(zhuǎn)化”“化歸”的思維，并通過(guò)設(shè)計(jì)多種形式的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，把換元法思想融入課堂教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生靈活地解決各種數(shù)學(xué)問(wèn)題，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和自覺(jué)性，從而加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的辨證認(rèn)識(shí)。

一、換元法思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用原則

（一）適用性原則

換元法在實(shí)際運(yùn)用中有一定的講究，并非所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題都適合使用換元法。有的時(shí)候，學(xué)生會(huì)盲目地進(jìn)行換元，導(dǎo)致解決問(wèn)題的效率下降。在日常的學(xué)習(xí)中，常采用換元法解決因式分解或不等式證明、求解問(wèn)題，其基本思想是用新的變量代替原來(lái)的變量，從而解決問(wèn)題。教師可以運(yùn)用換元法的思維進(jìn)行教學(xué)，并逐漸將換元法的概念滲透到課堂中，使學(xué)生能熟練運(yùn)用換元法，并能把復(fù)雜的問(wèn)題進(jìn)行合理的分解、轉(zhuǎn)換，使之變成簡(jiǎn)單的問(wèn)題。隨著我國(guó)教育改革的不斷深化，中考數(shù)學(xué)試題的考試范圍越來(lái)越廣，很多題目都可采用換元法解答［1］。因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納、整合，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，從而達(dá)到素質(zhì)教育的目標(biāo)。

（二）結(jié)構(gòu)性原則

換元法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵手段，在應(yīng)用的過(guò)程中應(yīng)注意問(wèn)題的結(jié)構(gòu)性。每一道數(shù)學(xué)題都有其內(nèi)在的構(gòu)造，我們只有掌握了構(gòu)造的規(guī)律，才能使換元法的應(yīng)用更加得心應(yīng)手，事半功倍。針對(duì)數(shù)學(xué)題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，我們可以采用整體換元法、三角換元法、均值換元法等方法，不同的換元法在不同類型的題中具有不一樣的作用。例如，當(dāng)我們碰到一個(gè)根號(hào)問(wèn)題時(shí)，可以采用三角變換的方法，把它轉(zhuǎn)換成一個(gè)三角函數(shù)求最值的問(wèn)題。但如果我們碰到的是奇偶性或者定義域等函數(shù)問(wèn)題，則不能采用換元法，因?yàn)樗鼤?huì)使原始函數(shù)的自變量發(fā)生變化。換元法的運(yùn)用一般分為四個(gè)階段：一是設(shè)置新元，引入合適的輔元；二是換元，用一個(gè)新的元素取代原來(lái)的一個(gè)舊的元素；三是解新元，將數(shù)量關(guān)系具象化；四是對(duì)原始問(wèn)題中的未知元素進(jìn)行求解，以增強(qiáng)問(wèn)題的解析性。

（三）等價(jià)性原則

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們要善于運(yùn)用變量替代，使數(shù)學(xué)問(wèn)題顯示出其基本性質(zhì)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)注意等價(jià)性原則，即新變量的取值范圍應(yīng)與原始變量保持一致，否則會(huì)影響解題的效果。在平時(shí)的訓(xùn)練中，教師可以增加一些有針對(duì)性的練習(xí)，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主換元和等效變換。教師要根據(jù)學(xué)生的解題思路來(lái)引導(dǎo)和指正，這樣才能更快地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題所在，有利于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造力。等值觀念在數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)中有舉足輕重的作用，教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)等價(jià)性原則，從多個(gè)方面了解問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，漸進(jìn)、持久地滲透等價(jià)思想。

二、換元法思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

（一）低次換高次

方程是中考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容。在初中階段，學(xué)生所接觸到的方程有一元一次方程、一元二次方程、分式方程、二元一次方程等。然而，在考試中，為考驗(yàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力，往往還會(huì)出現(xiàn)解高次方程的問(wèn)題。盡管數(shù)學(xué)教材中沒(méi)有介紹解高次方程的內(nèi)容，但只要學(xué)生仔細(xì)想一想，用換元法就能得到答案。利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，把高次方程轉(zhuǎn)換成低次方程，這就是換元法思想最好的體現(xiàn)。此類題型對(duì)提高學(xué)生的解題準(zhǔn)確度和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣是很有幫助的［2］。在證明不等式時(shí)，有時(shí)需要換元，有時(shí)還要用到三角函數(shù)，教師要提醒學(xué)生注意題中的圈套，防止錯(cuò)位換元，影響解題速度。換元的關(guān)鍵在于設(shè)置新元，這要視題目具體情況而定。學(xué)生要注意觀察數(shù)學(xué)公式，用另外一個(gè)未知數(shù)代替原來(lái)的未知數(shù)，這樣就可以更好地解決問(wèn)題。在教學(xué)實(shí)踐中，教師常常會(huì)發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生死記硬背換元方法，對(duì)所學(xué)的換元策略進(jìn)行了簡(jiǎn)單重復(fù)的運(yùn)用，卻不能對(duì)新的換元策略進(jìn)行有效的探索。因此，在教學(xué)中，教師要讓每次換元都能促使學(xué)生動(dòng)腦思考，引導(dǎo)學(xué)生把握住問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)，把問(wèn)題的隱含條件在腦中清楚地呈現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生徹底領(lǐng)悟換元法思想，從而在考試中應(yīng)用自如。

（二）已知換未知

在數(shù)學(xué)中，轉(zhuǎn)換現(xiàn)象隨處可見(jiàn)。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要讓學(xué)生把不確定的數(shù)量轉(zhuǎn)換成已知的數(shù)量，并能熟練地使用等值替換。這樣，學(xué)生在遇到陌生的數(shù)學(xué)難題時(shí)，可以轉(zhuǎn)換思維，將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為學(xué)過(guò)的問(wèn)題，這不僅活躍了學(xué)生的解題思維，而且還能降低出錯(cuò)的概率。數(shù)學(xué)主要以數(shù)量關(guān)系與空間形態(tài)為主要研究對(duì)象，當(dāng)學(xué)生在實(shí)際生活中碰到無(wú)法確定的量與量之間的關(guān)系時(shí)，可以采用換元法來(lái)解決，把握“不變量”，并通過(guò)它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，找出解決問(wèn)題的線索。在審題過(guò)程中，學(xué)生要找到一種等量關(guān)系，把一個(gè)特定的例子變成一類數(shù)學(xué)問(wèn)題。有些學(xué)生在遇到數(shù)學(xué)題太長(zhǎng)、太復(fù)雜時(shí)，會(huì)產(chǎn)生抗拒心理，沒(méi)有耐心。對(duì)于這種情況，教師要做好心理輔導(dǎo)工作，多和學(xué)生溝通，聽(tīng)取他們對(duì)于換元法的理解，讓他們更好地認(rèn)識(shí)換元法的使用。換元法并非單一存在，有時(shí)還可結(jié)合數(shù)形變換、分類討論、配方法等。通過(guò)將抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的具體圖象相結(jié)合，能使學(xué)生在每一道題中都獲得新鮮的體驗(yàn)，從而產(chǎn)生學(xué)習(xí)的欲望和動(dòng)力。教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，設(shè)計(jì)各種形式的數(shù)學(xué)練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生靈活的換元思維，使其掌握各種換元方法，從而達(dá)到最佳的解題效果［3］。

（三）逆向換正向

有的學(xué)生在解題時(shí)往往只會(huì)使用固定的思路，一旦遇到新類型的題目，就會(huì)陷入困境，想不出解決問(wèn)題的方法。對(duì)于這種情況，教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生轉(zhuǎn)變思維模式，突破傳統(tǒng)思維的桎梏。借助逆向思維解決問(wèn)題，可讓學(xué)生茅塞頓開，同時(shí)提高他們思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。特別是在解答區(qū)間問(wèn)題時(shí)，學(xué)生若從正面找不到突破口，則可以嘗試從反面加以思考。教師可以讓學(xué)生制作一份“錯(cuò)誤筆記”，把他們?cè)谌粘W(xué)習(xí)中所遇到的逆向換元方法整合起來(lái)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行反復(fù)的練習(xí)，以提高自己的數(shù)學(xué)能力。在新課程背景下，對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維的培養(yǎng)具有重要意義。這不僅可以使學(xué)生更好地理解新的觀念，幫助學(xué)生掌握教材，還能啟發(fā)學(xué)生的思維，幫助他們解決難題。逆向思維與換元思維可以同時(shí)滲透到代數(shù)題的訓(xùn)練中。代數(shù)題的傳統(tǒng)求解方法是尋找未知數(shù)值，再把它引入一個(gè)未知的方程中，最后得到一個(gè)結(jié)果。有些時(shí)候這樣做既費(fèi)時(shí)又麻煩，而利用逆向思維，從相反的角度來(lái)思考代數(shù)問(wèn)題，可以節(jié)約大量的時(shí)間。

（四）數(shù)值換圖形

圖形題是中學(xué)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的一種類型題，具有較高的難度，要求學(xué)生具有較好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和較強(qiáng)的解題能力，能夠?qū)?shù)值與圖形進(jìn)行合理轉(zhuǎn)換，這樣有利于簡(jiǎn)化抽象問(wèn)題，并把握轉(zhuǎn)換思想的本質(zhì)?！耙孕沃鷶?shù)”“以數(shù)輔形”是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中普遍采用的教學(xué)方法。比如，在拋物線知識(shí)的教學(xué)中，涉及數(shù)形換元，教師可以為學(xué)生提供一些轉(zhuǎn)換思路，幫助學(xué)生加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的印象。在考試中遇到可使用換元法的圖形題時(shí)，學(xué)生應(yīng)靈活地進(jìn)行換元，并根據(jù)已知的數(shù)值關(guān)系迅速找到解題的突破口。在教學(xué)過(guò)程中，教師要讓學(xué)生逐步掌握正確的解題思路，不斷提升自己的思維水平。對(duì)于一些比較復(fù)雜的圖形題，教師可以組織學(xué)生開展學(xué)習(xí)活動(dòng)，發(fā)揮集體的智慧，以小組協(xié)作的方式來(lái)解決問(wèn)題?；顒?dòng)結(jié)束后，教師對(duì)學(xué)生小組協(xié)作的全面評(píng)估，有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心和團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力［4］。

（五）一元換多元

在求解方程的過(guò)程中，學(xué)生遇到更多的是從多元到一元的轉(zhuǎn)換。如將三元一次方程組轉(zhuǎn)換為一元一次方程，最常用的方法就是將三元一次方程組變成二元一次方程，然后再變成一元一次方程，這樣的步驟可以讓求解過(guò)程更清楚。數(shù)學(xué)的本質(zhì)是思維方式，在教學(xué)中，是思維將各種數(shù)學(xué)知識(shí)連接起來(lái)的。教師要堅(jiān)持新課改的理念，以例題的形式展示數(shù)學(xué)思維，幫助學(xué)生克服對(duì)陌生題型的恐懼心理，增強(qiáng)其對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用。方程式在教學(xué)中能起到承前啟后的作用，為后期函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。教師要引導(dǎo)學(xué)生整理相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，優(yōu)化解題思路，逐步減少困難，巧妙地求解問(wèn)題，讓換元法在實(shí)際中得到充分的應(yīng)用。教師可搜集一元一次方程和二元一次方程的經(jīng)典題型，讓學(xué)生去發(fā)掘它們之間的聯(lián)系和差異，分析如何靈活地進(jìn)行換元，從而完善自身的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。教師也可以與學(xué)生分享一些數(shù)學(xué)競(jìng)賽的題目，如怎樣用換元法來(lái)解決多元不定方程等，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)不同換元法進(jìn)行思考，激發(fā)創(chuàng)造性思維，從而增強(qiáng)數(shù)學(xué)課堂的凝聚力和吸引力。換元法能使公式簡(jiǎn)化，符合學(xué)生的理解方式，使運(yùn)算更加簡(jiǎn)單、快速，并能提高學(xué)生思考的能力。例如，分式方程是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)問(wèn)題，很多學(xué)生對(duì)其感到陌生，無(wú)法靈活地解決相關(guān)難題。在教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)換元把分式方程轉(zhuǎn)換成整式方程，提高學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力，使其更好地理解這類問(wèn)題。教師還要提醒學(xué)生對(duì)最后得出的答案進(jìn)行檢驗(yàn)，一是驗(yàn)證其解是否為分式方程，二是驗(yàn)證其與題意的一致性。

（六）平面換空間

初中生的空間想象、抽象思維能力尚不健全，在分析立體幾何問(wèn)題時(shí)往往會(huì)有一些疏漏。因此，教師要善于利用換元法進(jìn)行教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫鎲?wèn)題。對(duì)未知變量進(jìn)行巧妙的置換，有利于立體幾何問(wèn)題的解決。在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，多處內(nèi)容反映了空間與平面的轉(zhuǎn)換，因此，教師要對(duì)教材進(jìn)行深入的研究，歸納其轉(zhuǎn)化的形式與規(guī)律。教師可利用多媒體設(shè)備向?qū)W生演示三維立體圖的轉(zhuǎn)換過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生注意幾何圖形的構(gòu)造特點(diǎn)，通過(guò)選取適當(dāng)?shù)淖冊(cè)獊?lái)增強(qiáng)學(xué)生的空間想象力，使其自主地發(fā)現(xiàn)各種圖形之間的關(guān)系，提高數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)效率。在平時(shí)的教學(xué)中教師會(huì)發(fā)現(xiàn)，有的學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)變成平面問(wèn)題，但因?yàn)椴粫?huì)計(jì)算，所以一直得不到答案。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，學(xué)會(huì)靈活地使用三角函數(shù)、均值不等式、坐標(biāo)法、導(dǎo)數(shù)等數(shù)學(xué)工具，以求出問(wèn)題的解。換元法思想具有多維、多向的特點(diǎn)，需要學(xué)生多思考、多探究、多嘗試，學(xué)習(xí)使用“小題大做”“大題小做”的解題方式，以更好地發(fā)展能力［5］。

結(jié)語(yǔ)

綜上所述，換元法是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要組成部分，它可以簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生更好地解決問(wèn)題。初中數(shù)學(xué)教師要勇于創(chuàng)新，在教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用換元法，建立數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的思維方式，并在不斷積累經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程中，逐步提升自己的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)。同時(shí)，教師要積極探討換元法在實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題中的運(yùn)用，以幫助學(xué)生更好地解決各種不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣，為學(xué)生今后的發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

［參考文獻(xiàn)］

李元杰.初中數(shù)學(xué)解題中換元法例題解析［J］.數(shù)理天地（初中版），2022（18）：29-30.

陳鋌.如何用換元法求三類函數(shù)的值域［J］.語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)（高中版中旬），2022（9）：53-54.

洪聯(lián)平.妙用換元法化簡(jiǎn)二次根式［J］.中學(xué)生數(shù)學(xué)，2022（18）：9-10.

李光寰.換元法思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.學(xué)周刊，2022（23）：54-56.

孟小娟.怎樣用換元法解初中數(shù)學(xué)題［J］.語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)（初中版），2021（12）：26-27.